Análisis Matemático II · Guía completa de la materia

Análisis Matemático II (CB001, ex 61.03 / 81.01) tiene muchos cursos, pero las evaluaciones son unificadas para todos: el mismo examen el mismo día. El régimen, las fechas y los temas de cada parcial salen de las páginas públicas de la cátedra en el campus (régimen de cursada, programa analítico y cronograma oficial del 2C2026); los números sobre qué toman salen de contar los exámenes reales (más abajo). Esta guía no es material de la cátedra: la propia cátedra aclara que «sólo son válidas la bibliografía indicada en el programa y las publicaciones de la cátedra», así que ante cualquier diferencia, manda lo que diga el campus.

El régimen (vigente desde el 1C2025)

Las fechas del 2C2026

Qué entra en cada parcial, TP por TP

La cátedra deja dicho en el cronograma que «la Guía de T.P. indica el nivel de exigencia de las evaluaciones». Por eso cada sección de esta guía trabaja sobre los ejercicios de la guía de TP vigente (1C2025, TP I a X, 259 ejercicios numerados), citados con su número.

Qué toman de verdad: lo que dicen 120 exámenes reales

Las guías de cada parcial (que cuelgan de esta) se armaron sobre los exámenes reales que circularon de 2022 a julio de 2026: 54 exámenes del 1er parcial (parciales, diferidos, recuperatorios y un libre), con 270 ejercicios, y 66 segundos parciales, recuperatorios, integradores y libres, con 325. Cada ejercicio se clasificó por el método que pide. Lo que más cae, contado:

Cuenta cada examen una vez por tipo, según el método central de cada ejercicio. De los 66 exámenes del 2do, 49 son integradores de 2022 a febrero de 2025, del régimen anterior.

El examen libre

Cómo usar esta guía y sus hijas

El TP I es la caja de herramientas geométrica de toda la materia: vectores, rectas y planos, cónicas, cuádricas y las nociones de topología (entorno, interior, frontera, abierto, cerrado, acotado, compacto, conexo). Entra en el 1er parcial (TP I a V). En los 54 primeros parciales reales que tenemos (2022 a 2026), el tipo A (dominio, topología y conjuntos de nivel) aparece en 40 de los 54 exámenes y es el Ej 1 en 30 de ellos; en los 14 exámenes de 2025 y 2026, es el Ej 1 en 10. La consigna casi no cambia: "sea D el dominio natural de f; grafique D, su interior y su frontera; indique si D es abierto, cerrado, acotado y/o conexo". Para eso necesitás exactamente lo de esta sección: reconocer las curvas del borde (casi siempre cónicas, después de completar cuadrados), dibujar la región con el borde lleno o punteado según pertenezca o no, y clasificar con las definiciones. Las cuádricas, los planos y las rectas vuelven en todo el resto de la materia (plano tangente, curvas intersección, integrales de superficie).

1. Vectores en ℝ² y ℝ³: norma, producto escalar y producto vectorial

Un punto de ℝⁿ es una n-upla X = (x₁, …, xₙ). Cuando lo sumás o lo multiplicás por un número lo pensás como vector (una flecha desde el origen). El vector que va de A a B es AB = B − A. Las operaciones que se usan todo el cuatrimestre:

El producto vectorial se calcula como el determinante formal de la matriz de filas (ǐ, ǰ, ǩ), (u₁, u₂, u₃), (v₁, v₂, v₃) desarrollado por la primera fila. Es anticonmutativo: v × u = −u × v, y su sentido sigue la regla de la mano derecha (ǐ × ǰ = ǩ). El área de un triángulo de vértices A, B, C es ½ ‖AB × AC‖.

2. Rectas y planos

Recta en ℝ². Hay tres formas, y conviene pasar de una a otra sin pensar:

• Vectorial o paramétrica: X = P + λ d, λ ∈ ℝ (un punto P y un vector director d ≠ 0).
• General: ax + by = c. El vector (a, b) es normal a la recta (perpendicular a d).
• Explícita: y = mx + b, con m = tg α, donde α ∈ [0, π), α ≠ π/2, es el ángulo que forma la recta con el semieje x positivo medido en sentido antihorario. Las rectas verticales x = k no tienen pendiente. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y perpendiculares si m₁m₂ = −1 (con normales: paralelas si las normales son paralelas, perpendiculares si las normales son ortogonales).

Recta en ℝ³. X = P + λ d sigue valiendo; en paramétricas, x = x₀ + λd₁, y = y₀ + λd₂, z = z₀ + λd₃. Despejando λ salen las simétricas (x − x₀)/d₁ = (y − y₀)/d₂ = (z − z₀)/d₃ (si algún dᵢ = 0, esa coordenada queda fija). Cada igualdad es un plano: en ℝ³ una recta necesita dos ecuaciones; una sola ecuación lineal es un plano. Si la recta viene como intersección de dos planos, su dirección es d = n₁ × n₂. El segmento AB es X = A + λ(B − A) con λ ∈ [0, 1], y el punto medio es (A + B)/2.

Plano en ℝ³. Con un punto P y un vector normal n = (a, b, c): n · (X − P) = 0, o sea ax + by + cz = d. Por tres puntos no alineados A, B, C: n = AB × AC. Si en la ecuación falta una variable, el plano es paralelo a ese eje: 2x + y = 4 en ℝ³ contiene la dirección (0, 0, 1). Los planos coordenados son x = 0 (el plano yz), y = 0 y z = 0; "perpendicular al eje z" significa normal (0, 0, 1), es decir z = constante.

La fórmula de la distancia al plano es una proyección: si P está en el plano, la distancia de P₀ al plano es la longitud de la proyección de P₀ − P sobre n, que vale |n · (P₀ − P)|/‖n‖, y n · P = d. Entre dos planos paralelos ax + by + cz = d₁ y ax + by + cz = d₂ (misma normal) la distancia es |d₁ − d₂|/‖n‖. Por ejemplo, la distancia de (2, −1) a la recta 3x + 4y = 12 es |6 − 4 − 12|/5 = 2.

1. Plano por tres puntos A, B, C: armá AB y AC ▸ n = AB × AC (si da 0, los puntos están alineados y hay infinitos planos) ▸ d = n · A ▸ controlá que B y C cumplan la ecuación.
2. Posición relativa de dos rectas en ℝ³: compará las direcciones ▸ si son paralelas, probá si un punto de una está en la otra ▸ si no, plantéa P₁ + t d₁ = P₂ + s d₂, resolvé dos ecuaciones y verificá la tercera: si se cumple, secantes; si no, alabeadas.
3. Intersección recta y plano: reemplazá x(λ), y(λ), z(λ) en la ecuación del plano ▸ una solución: un punto; identidad 0 = 0: contenida; absurdo como 0 = 5: paralela.

3. Conjuntos definidos por ecuaciones: qué se dibuja y en qué espacio

Una ecuación F(x, y) = 0 en ℝ² suele ser una curva; una ecuación F(x, y, z) = 0 en ℝ³ suele ser una superficie. La misma ecuación describe conjuntos distintos según el espacio, y eso es lo primero que mira el Ej 1 de la guía:

Recursos para leer una ecuación antes de graficar:

• Suma de cuadrados igual a 0: cada cuadrado es 0. (x − 1)² + y² = 0 es el punto (1, 0). Igual a un negativo: vacío.
• Producto igual a 0: unión de los conjuntos donde se anula cada factor. (x − y)(x² + y² − 1) = 0 es la recta y = x unida a la circunferencia unidad (se cortan en (√2/2, √2/2) y (−√2/2, −√2/2)).
• Valores absolutos: |a| = |b| ⟺ a = b o a = −b (así |x| = |y| son las dos rectas y = ±x); si no, separá por cuadrantes. |x| + |y| = 1 es el cuadrado de vértices (±1, 0) y (0, ±1): en el primer cuadrante es el segmento x + y = 1, y por simetría el resto.
• Despejar cuando se puede: x − 2|y| + 1 = 0 es x = 2|y| − 1, dos semirrectas que salen de (−1, 0).
• Completar cuadrados cuando aparecen x² y x juntos (apartado siguiente).
• xy = k: hipérbola equilátera con asíntotas en los ejes; para k > 0 está en el 1er y 3er cuadrante.

4. Cónicas: formas canónicas y completar cuadrados

Las cónicas son los conjuntos del plano que se describen con una distancia:

• Circunferencia: puntos a distancia r de un centro C = (h, k): (x − h)² + (y − k)² = r².
• Elipse: puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante, PF₁ + PF₂ = 2a.
• Hipérbola: puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante en valor absoluto, |PF₁ − PF₂| = 2a.
• Parábola: puntos que equidistan de un foco F y de una recta d (la directriz).

La ecuación general sin término xy, Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0, se clasifica mirando los signos de A y C antes de hacer cuentas, y las cuentas deciden si es degenerada:

1. Agrupá los términos en x y los términos en y.
2. En cada grupo sacá factor común el coeficiente del cuadrado: 9x² − 36x = 9(x² − 4x).
3. Completá: x² + βx = (x + β/2)² − β²/4. Ojo que lo que restás queda multiplicado por el factor común.
4. Pasá las constantes al segundo miembro.
5. Si el segundo miembro es positivo, dividí para que quede 1 y leé centro y semiejes. Si es 0 o el signo no permite soluciones, es degenerada.
6. Los semiejes son las raíces de los denominadores: (x − 2)²/(4/3) tiene semieje √(4/3), no 4/3.

5. Superficies cuádricas

Una cuádrica es una superficie de ecuación de segundo grado en x, y, z. Para reconocerla y dibujarla se usa el método de las trazas: cortarla con planos paralelos a los coordenados (z = k, x = k, y = k). Cada corte es una cónica, y la forma en que esas cónicas cambian con k arma la superficie. Hay nueve familias no degeneradas; abajo están con su eje sobre el eje z (si el papel de las variables se permuta, se permuta el eje).

Superficies de revolución. Si los dos coeficientes que acompañan a las variables "no distinguidas" son iguales (a = b), las trazas perpendiculares al eje son circunferencias y la superficie es de revolución alrededor de ese eje. En ese caso aparece la combinación x² + y² (para eje z), que es r², el cuadrado de la distancia al eje. La regla para construirla: si la curva z = g(y), y ≥ 0, del plano yz gira alrededor del eje z, la superficie es z = g(√(x² + y²)). Así, la parábola z = y² genera el paraboloide z = x² + y²; la hipérbola y² − z² = 1 genera el hiperboloide de una hoja x² + y² − z² = 1; la recta z = y genera el cono z² = x² + y² (las dos hojas, si girás la recta entera). Para reconocer la curva que gira (la generatriz), cortá con un plano que contenga al eje, por ejemplo x = 0.

1. Llevá la ecuación a forma canónica completando cuadrados en cada variable (eso traslada el centro o el vértice).
2. Contá cuántas variables están al cuadrado: tres ▸ elipsoide, hiperboloides o cono; dos y la tercera lineal ▸ paraboloides; dos y falta la tercera ▸ cilindro elíptico o hiperbólico; una al cuadrado y otra lineal ▸ cilindro parabólico.
3. Mirá los signos con el segundo miembro positivo (si quedó negativo, multiplicá todo por −1 antes de contar los −) y si está igualado a 0.
4. Identificá el eje: la variable distinguida (la del signo distinto en hiperboloides y cono, la lineal en los paraboloides, la que falta en los cilindros).
5. Confirmá con dos trazas: una perpendicular al eje y una que lo contenga.
6. Degenerados: suma de tres cuadrados = 0 es un punto; de dos cuadrados = 0 en ℝ³ es una recta; = negativo es vacío; diferencia de dos cuadrados = 0 son dos planos (x² − y² = 0 es x = ±y).

6. Regiones del plano definidas por inecuaciones

Un sistema de desigualdades define una región, y lo que se evalúa es que la dibujes bien con su borde. La convención que se usa en todos los parciales: trazo lleno si los puntos de esa curva pertenecen al conjunto, trazo punteado si no; punto lleno si pertenece, punto hueco si no.

1. Listá todas las condiciones (las del enunciado y, si el conjunto es un dominio, las que impone la fórmula; eso se trata en la sección 4 de la guía, la del TP III).
2. Para cada una, dibujá la curva de igualdad: llena si la desigualdad es ≤ o ≥, punteada si es <, > o ≠.
3. Cada curva parte el plano en regiones. Si la expresión es continua, su signo es constante en cada región: probá un punto por región y quedate con las que cumplen.
4. Las comas son "y" (intersección); un "o" es unión.
5. Revisá los puntos especiales: donde un borde lleno se encuentra con uno punteado, ese punto no pertenece (falla la condición punteada); los puntos sueltos que cumplen todo van llenos.
6. Revisá el resultado con un par de puntos fáciles, por ejemplo el origen.

Por qué alcanza un punto de prueba: si g es continua y g(A) > 0 > g(B), cualquier camino continuo de A a B pasa por un punto donde g = 0 (teorema de Bolzano aplicado a g sobre el camino). Por eso el signo sólo puede cambiar cruzando la curva g = 0 (o un lugar donde g no está definida). Para productos y cocientes: pq < 0 ⟺ p y q tienen signos opuestos; p/q ≥ 0 ⟺ (p ≥ 0 y q > 0) o (p ≤ 0 y q < 0).

7. Topología en ℝⁿ: entornos y clasificación de puntos

Toda la topología de la materia se arma con una sola idea: mirar qué hay muy cerca de un punto. "Muy cerca" se formaliza con bolas.

• Bola abierta de centro A y radio r > 0: B(A, r) = {X ∈ ℝⁿ : ‖X − A‖ < r}. En ℝ es el intervalo (a − r, a + r); en ℝ², un disco sin su circunferencia; en ℝ³, una bola maciza sin su superficie. La síntesis de la cátedra la llama esfera abierta y la escribe E(A, r): es lo mismo.
• Bola cerrada: ‖X − A‖ ≤ r. Esfera (en ℝ², circunferencia): ‖X − A‖ = r.
• Entorno de A: cualquier conjunto que contenga alguna bola abierta centrada en A. Entorno reducido E*(A): un entorno sin el propio punto A (en la práctica, B(A, r) − {A}, es decir 0 < ‖X − A‖ < r).

Dado un conjunto S ⊂ ℝⁿ, cada punto A de ℝⁿ cae en exactamente uno de estos tres casos:

Y, por otro lado, dos tipos que miran el entorno reducido:

Con eso se definen los conjuntos asociados: el interior int S (o S°), el exterior ext S, la frontera ∂S (los tres juntos son todo ℝⁿ, sin superponerse), el derivado S′ (los puntos de acumulación) y la clausura S̄ = S ∪ ∂S = S ∪ S′. Además ∂S = ∂(ℝⁿ − S): un conjunto y su complemento tienen la misma frontera, porque la definición de frontera es simétrica en S y su complemento.

8. Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos y conexos

• Abierto: todos sus puntos son interiores (S = int S).
• Cerrado: contiene a todos sus puntos de acumulación (así lo define la síntesis de la cátedra). Equivale a: contiene a su frontera (∂S ⊂ S); su complemento es abierto; S = S̄.
• Acotado: cabe en una bola centrada en el origen: existe R con ‖X‖ < R para todo X ∈ S.
• Compacto: cerrado y acotado.
• Convexo: para todo par de puntos de S, el segmento que los une está en S.
• Arco-conexo: dos puntos cualesquiera de S se pueden unir con una curva continua contenida en S ("ir de uno al otro sin salir de S"). Es la noción de conexo que se usa en la materia; cuando un parcial pregunta si D es "conexo", se justifica así.

Abierto y cerrado no son opuestos. "No es abierto" no implica "es cerrado". Las cuatro combinaciones existen:

Acotado. Para probar que lo es, encontrá un R concreto (por ejemplo, si S está dentro de x² + y² ≤ 4, sirve R = 3). Para probar que no, mostrá puntos de S de norma tan grande como quieras: una semirrecta, una rama, (0, t) con t → ∞.

Compacto. En la cátedra se define como cerrado y acotado (en general eso es un teorema, el de Heine-Borel). Importa por el teorema de Weierstrass: una función continua sobre un compacto no vacío alcanza máximo y mínimo absolutos. Es lo que vas a usar en extremos absolutos (TP V). Si falta una hipótesis puede fallar: f(x) = x en (0, 1) no tiene máximo (no cerrado) y en [0, +∞) tampoco (no acotado).

Arco-conexo. Para probar que sí:

• Si es convexo (discos, semiplanos, intersecciones de convexos), el segmento sirve de camino.
• Si no es convexo, describí un camino: radial y después por un arco (anillos), o bajando a una franja que atraviesa todo el conjunto.
• La unión de dos arco-conexos que comparten un punto es arco-conexa.

Para probar que no: buscá una función g continua en S que no se anule en ningún punto de S y que tome valores positivos y negativos en S. Si hubiera un camino dentro de S entre un punto con g > 0 y otro con g < 0, por Bolzano g se anularía en algún punto del camino, que está en S: absurdo. Ejemplo: en {xy < 0}, g(x, y) = x vale 1 en (1, −1), vale −1 en (−1, 1) y nunca es 0 en S.

Cómo se resuelve el Ej 1 típico ("grafique D, int D y ∂D; ¿es abierto, cerrado, acotado, conexo?"):

1. Escribí D como sistema de condiciones.
2. Llevá cada borde a forma canónica (completar cuadrados) y dibujalo lleno o punteado según la desigualdad.
3. Elegí la región con puntos de prueba y marcá los cruces (huecos donde se encuentra un borde punteado).
4. Interior: en general, las mismas condiciones con todas las desigualdades estrictas; controlá con el Ejemplo 18 en la cabeza (curvas sacadas, puntos aislados, semiejes sueltos).
5. Frontera: los tramos de cada curva que realmente bordean D (no la curva entera), las curvas o puntos sacados del medio y los puntos aislados. Escribila como unión de tramos con sus restricciones.
6. Clasificá con un argumento por propiedad: abierto ⟺ no tiene puntos frontera (señalá uno que pertenezca para decir que no); cerrado ⟺ contiene su frontera (señalá uno que no pertenezca para decir que no); acotado con un R o con una sucesión que se escapa; conexo con un camino o con la función que cambia de signo sin anularse.

Una función vectorial de una variable le asigna a cada número t un punto (o un vector) del plano o del espacio. Su imagen, cuando la función es continua y t recorre un intervalo, es una curva. En este TP aprendés a ir y volver entre la curva como conjunto de puntos (dada por ecuaciones cartesianas) y la curva como recorrido (dada por una parametrización), a derivar componente a componente y a usar la derivada para escribir la recta tangente y el plano normal. Entra en el 1er parcial (TP I a V).

Cuánto pesa, contado sobre los 54 exámenes reales del 1er parcial del corpus (2022 a julio de 2026): las curvas (tipo B: parametrización, recta tangente, plano normal, curva intersección de dos superficies) son el tema principal de un ejercicio en 32 de los 54 exámenes (25 de los 39 de 2022 a 2024 y 7 de los 14 de 2025 y 2026), y aparecen como tema secundario en 8 ejercicios más. Cuando caen, lo más común es que sean el Ej 3 (11 veces) o el Ej 5 (9 veces). Y hay un dato que ordena todo el estudio: en 31 de esos 32 ejercicios la curva no viene parametrizada, viene dada por dos ecuaciones (dos superficies que se cortan, o una superficie y la condición sobre su proyección). Sólo uno (recuperatorio del 8/7/25) da la parametrización hecha. O sea: lo que se entrena es parametrizar una curva intersección y sacarle la tangente.

1. Funciones vectoriales de una variable

Una función vectorial de una variable es g : D ⊂ ℝ → ℝⁿ con n ≥ 2, g(t) = (g₁(t), g₂(t), …, gₙ(t)). Cada componente g_k : D → ℝ es una función escalar de una variable, de las de Análisis I. Todas las componentes tienen que estar definidas en el mismo conjunto D, así que el dominio natural de g es la intersección de los dominios naturales de las componentes.

2. Límite y continuidad: todo se hace componente a componente

Límite. Sea t₀ un punto de acumulación de D. L ∈ ℝⁿ es el límite de g cuando t → t₀ si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, para todo t ∈ D con 0 < |t − t₀| < δ, vale ‖g(t) − L‖ < ε. Es la definición de Análisis I con el valor absoluto cambiado por la norma.

Por qué vale. Para cada componente, |g_k(t) − L_k| ≤ ‖g(t) − L‖ ≤ |g₁(t) − L₁| + … + |gₙ(t) − Lₙ|. La desigualdad de la izquierda dice que si el vector se acerca a L, cada componente se acerca a la suya; la de la derecha, que si todas las componentes se acercan, el vector también. Consecuencia práctica: si una sola componente no tiene límite, g no tiene límite.

Continuidad. g es continua en t₀ ∈ D si lím_t→t₀ g(t) = g(t₀). Por lo anterior, g es continua en t₀ si y sólo si cada componente es continua en t₀. Las funciones de siempre (polinomios, exponencial, logaritmo, trigonométricas, raíces, módulo) son continuas donde están definidas, y también sus sumas, productos, cocientes con denominador no nulo y composiciones. Preguntar si g es continua en un punto que no está en D no tiene sentido.

3. Curva: la imagen de una función continua sobre un intervalo

Definición (la de la cátedra). Si g : I ⊂ ℝ → ℝⁿ, con I un intervalo y g continua en I, el conjunto imagen C = g(I) se llama curva. Se escribe con su ecuación paramétrica vectorial X = g(t), t ∈ I, donde X es el punto genérico de ℝⁿ y t es el parámetro. Separando componentes salen las ecuaciones paramétricas (x = g₁(t), y = g₂(t), …), y eliminando t se llega a una ecuación cartesiana (o un sistema): la que relaciona las coordenadas sin parámetro.

Las dos condiciones están por algo. Un intervalo es un conjunto "de un solo trazo" (conexo) y la imagen continua de un conexo es conexa: una curva se dibuja sin levantar el lápiz. Por eso xy = 1 parametrizada como (t, 1/t), t ≠ 0, no cumple la definición: el dominio ℝ − {0} no es un intervalo y la imagen son dos ramas separadas (cada rama, con t > 0 o con t < 0, sí es una curva).

Sentido de recorrido. La parametrización no sólo dice qué puntos forman la curva: dice en qué orden se recorren. A medida que t crece, g(t) se mueve en el sentido de los arcos crecientes, que en el dibujo se marca con una flecha. El mismo conjunto admite infinitas parametrizaciones: (t, t²) y (1 − t, (1 − t)²) con t ∈ [0, 1] dibujan el mismo arco de parábola, la primera de (0, 0) a (1, 1) y la segunda al revés (TP II, ej. 2).

4. Catálogo de parametrizaciones

5. Curva intersección de dos superficies: cómo elegir el parámetro

Es lo que más se toma. El enunciado da dos superficies Σ₁ y Σ₂ y la curva es C = Σ₁ ∩ Σ₂. No hay una receta única, pero casi siempre una de estas estrategias funciona en dos renglones.

1. Pasá todo a cartesiana. Si una superficie viene parametrizada, eliminá los parámetros. Ejemplos tomados de parciales: X = (2u², u, v) es la superficie x = 2y²; X = (u, v, u² + 2v²) es z = x² + 2y². En 8 de los 32 ejercicios de tipo B una de las dos superficies viene en forma paramétrica.
2. Elegí el parámetro.
   • Si una ecuación ya despeja una variable en función de otra (y = 2x² + 1, x = y², y = 4 − x), tomá esa otra como parámetro: x = t o y = t.
   • Si una ecuación es un cilindro circular o elíptico (x² + y² = R², x² + z² = R², x²/a² + y²/b² = 1), poné coseno y seno en esas dos variables.
   • Si ninguna sirve, combiná las dos ecuaciones para eliminar una variable (restando, igualando o sustituyendo). Lo que queda es la proyección de la curva sobre un plano coordenado, casi siempre una circunferencia o una elipse: parametrizá esa proyección.
3. Despejá la variable que falta de cualquiera de las dos ecuaciones. Si aparece una raíz con ±, usá las restricciones del enunciado (z < 0, y > 0, z = √(…)) para elegir el signo; si no hay ninguna, la curva tiene dos ramas.
4. Fijá el intervalo del parámetro con las inecuaciones del enunciado (o [0, 2π] si es cerrada).
5. Controlá: reemplazá g(t) en las dos ecuaciones (tiene que dar una identidad) y buscá el t₀ del punto que te dan.

6. Derivada de una función vectorial

Si t₀ es interior a D, la derivada de g en t₀ es

El cociente incremental es un vector cuyas componentes son los cocientes incrementales de cada g_k, así que, por el teorema de límites de arriba, g es derivable en t₀ si y sólo si cada componente lo es, y g′(t₀) = (g₁′(t₀), …, gₙ′(t₀)). Derivar es derivar cada componente con las reglas de Análisis I.

Qué significa. g(t₀ + h) − g(t₀) es la cuerda que une dos puntos de la curva, y dividirla por h no le cambia la dirección (si h < 0 la cuerda apunta hacia atrás, pero al dividir por un número negativo vuelve a apuntar hacia adelante). Cuando h → 0 la cuerda gira hasta quedar tangente: g′(t₀), si no es nulo, es un vector tangente a la curva en g(t₀) y apunta en el sentido de recorrido. Si t es el tiempo, g′ es la velocidad.

Cuándo hay que usar la definición. Cuando g está definida por partes o con un valor suelto en un punto (TP II, ej. 4). Derivar la fórmula de t ≠ t₀ y evaluar no prueba nada: hay que plantear el cociente incremental en t₀. Y antes, mirá la continuidad: derivable implica continua (componente a componente), así que si alguna componente salta, g′(t₀) no existe y no hace falta más cuenta.

Norma constante ⟹ vector perpendicular a su derivada. Si ‖g(t)‖ = c para todo t de un intervalo, entonces g(t) · g′(t) = 0 para todo t. Demostración: g · g = ‖g‖² = c²; derivando con la regla del producto escalar, 2 g · g′ = 0. Geométricamente: si la curva vive sobre una esfera (o circunferencia) centrada en el origen, la velocidad es tangente a la esfera, perpendicular al radio. Vale la vuelta: si g · g′ = 0 en todo un intervalo, la derivada de ‖g‖² es cero y ‖g‖ es constante. Y la misma cuenta aplicada a g′ dice que si la rapidez ‖g′‖ es constante, la aceleración es perpendicular a la velocidad.

7. Velocidad, rapidez y aceleración

Si g(t) es la posición en el tiempo t: velocidad v(t) = g′(t) (vector tangente a la trayectoria, en el sentido del movimiento), rapidez ‖g′(t)‖ (un número: lo que marca el velocímetro) y aceleración a(t) = g″(t). Con posición en metros y tiempo en segundos, la velocidad y la rapidez van en m/s y la aceleración en m/s².

Velocidad con rapidez dada. Si te dicen que algo recorre una curva con rapidez r en cierto sentido, la velocidad es r por el versor tangente: v = ± r g′(t₀)/‖g′(t₀)‖, con el signo que corresponda al sentido pedido. La parametrización que uses para conseguir la dirección no importa.

8. Reparametrización y sentido de recorrido

Si φ : J → I es continua y biyectiva entre intervalos (entonces es estrictamente monótona), h = g ∘ φ recorre la misma curva. Si φ es creciente, en el mismo sentido; si es decreciente, en el sentido opuesto. La forma más simple de dar vuelta el sentido de g : [a, b] → ℝⁿ es

Por la regla de la cadena, h′(s) = φ′(s) g′(φ(s)): el vector tangente cambia de largo y quizás de sentido, pero no de dirección. Por eso la recta tangente en un punto no depende de la parametrización, siempre que las dos sean regulares ahí. Si φ′ se anula, puede aparecer un punto singular artificial: (t³, t³) es la recta y = x reparametrizada con φ(t) = t³, y en t = 0 su derivada es (0, 0).

9. Punto regular, punto simple, curvas cerradas y simples

Definiciones de la síntesis de la cátedra, para una curva C de ecuación X = g(t), t ∈ I:

La regularidad depende de la parametrización. Que g′(t₀) = 0 dice algo de g, no necesariamente de la curva. Compará:

10. Recta tangente, plano normal y recta normal

Si A = g(t₀) es un punto simple y regular de C, con d = g′(t₀) ≠ 0:

El plano normal es el plano que pasa por A y es perpendicular a la tangente: su vector normal es justamente g′(t₀). En ℝ² el papel del plano normal lo hace la recta normal. Para un gráfico y = f(x) en ℝ² todo esto es lo de Análisis I: tangente y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀) y, si f′(x₀) ≠ 0, normal y − f(x₀) = −(x − x₀)/f′(x₀); si f′(x₀) = 0, la tangente es horizontal y la normal es la vertical x = x₀.

1. Parametrizá la curva si no viene parametrizada (apartado 5).
2. Encontrá t₀ con g(t₀) = A resolviendo las ecuaciones componente a componente. Si hay un solo t₀ en el intervalo, el punto es simple.
3. Derivá y evaluá: d = g′(t₀). Si d = 0, no sigas con esta parametrización (apartado 9).
4. Escribí X = A + u d y, en ℝ³, (X − A) · d = 0 desarrollado como ax + by + cz = k.
5. Control rápido: A tiene que cumplir la ecuación del plano, y d tiene que ser perpendicular a los gradientes de las dos superficies (si la curva es intersección).

11. Las preguntas típicas sobre la tangente: cómo traducirlas

Contados los 32 ejercicios de tipo B del corpus: en 8 piden los puntos donde la tangente cumple una condición (paralela a un plano o a un eje), en 7 la recta tangente y algo más (dónde corta un plano, un plano tangente u otra recta), en 6 la recta tangente sola, en 6 el plano normal, en 3 la derivada direccional de una función en la dirección tangente y en 2 un parámetro para que dos tangentes coincidan o sean paralelas. Dos enunciados se repiten idénticos en otra fecha (15/5/23 y 13/5/24; 13/11/23 y 21/10/24). Con d = g′(t) el vector tangente:

Después de resolver, revisá que cada punto hallado sea regular: si en ese t la derivada es nula, ahí no hay tangente que sea paralela a nada.

12. Tangente sin parametrizar: d = ∇F(A) × ∇G(A)

Cuando la curva es C: F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 y parametrizarla es un lío, hay un atajo. Se apoya en dos cosas que vienen después: el gradiente ∇F = (F′_x, F′_y, F′_z), vector de derivadas parciales (TP III), y el hecho de que ∇F(A) es normal a la superficie de nivel F = 0 en A, que se justifica en la sección 6 junto con las funciones implícitas. Acá lo usás como receta.

Si ∇F(A) × ∇G(A) = 0 las normales son paralelas: las superficies son tangentes en A y el resultado no dice nada. Puede pasar cualquier cosa; por ejemplo, la esfera x² + y² + z² = 3 y el plano x + y + z = 3 se tocan sólo en (1, 1, 1), y ahí no hay curva.

Trampas que se pagan caras

Acá empieza el cálculo en varias variables: funciones f : D ⊂ ℝⁿ → ℝᵐ, qué dominio tienen, cómo se dibujan con curvas de nivel, cuándo tienen límite, cuándo son continuas, cómo se derivan y qué significa ser diferenciable, que es el concepto central de todo el 1er parcial (TP I a V). Cubre los apartados 1, 2, 3, 4 (sólo la diferenciabilidad) y 6 del TP III; el plano tangente, la aproximación lineal y las superficies paramétricas están en la sección 5.

Cuánto pesa, contado en los 54 exámenes reales del 1er parcial: el ejercicio de límite, continuidad, direccionales y diferenciabilidad por definición (tipo C) apareció como ejercicio propio en 20 de los 54 (y en otros 4 como parte de un ejercicio de otro tema); 16 de esos 20 son de 2022 a 2024 y 4 del régimen nuevo (2025 y 2026, 14 exámenes). Casi siempre es una función partida en (0, 0). El de dominio, topología y conjuntos de nivel (tipo A, compartido con el TP I) está en 40 de los 54, fue el Ej 1 en 30 de ellos, y en 2025 y 2026 apareció en 12 de los 14 exámenes. Entre los dos, es la sección que más puntos regala si la sabés hacer con método.

1. Campos escalares y vectoriales: el dominio natural

Una función f : D ⊂ ℝⁿ → ℝᵐ es escalar si m = 1 (con n > 1 se llama campo escalar: temperatura, altura, potencial) y vectorial si m > 1 (con n > 1, campo vectorial: f = (f₁, …, f_m), una velocidad, una fuerza). Las componentes f_k son campos escalares que comparten el mismo dominio.

El dominio natural es el conjunto más grande de puntos donde la fórmula da un número real. Se arma con la intersección de todas las restricciones; en un campo vectorial, además, se intersecan los dominios de las componentes.

2. El análisis topológico del dominio (el Ej 1 de casi todos los parciales)

Las definiciones son las del TP I: A es interior a S si algún entorno E(A) está incluido en S; exterior si algún E(A) no tiene puntos de S; frontera si todo E(A) tiene puntos de S y puntos que no son de S. S es abierto si todos sus puntos son interiores; cerrado si contiene a todos sus puntos de acumulación (equivalente: contiene a su frontera); acotado si entra en una bola; compacto si es cerrado y acotado; conexo si entre dos puntos cualesquiera de S hay un camino que no sale de S. Lo que cambia en este tema es que el conjunto viene dado por desigualdades, y eso permite leer casi todo sin pensar punto por punto.

Esa lectura es una guía para dibujar; la justificación que se pide en el parcial es geométrica: "el punto P está en D y es frontera porque todo entorno suyo tiene puntos fuera de D", con el punto concreto.

1. Restricciones. Escribí cada condición (tabla del apartado 1) y juntalas con "y".
2. Curvas de borde. Pasá cada desigualdad a igualdad y reconocé la curva (recta, circunferencia completando cuadrados, elipse, parábola, hipérbola). Hallá dónde se cortan: esos puntos suelen ser los que deciden la respuesta.
3. Lado correcto. Para cada curva, probá un punto de prueba que no esté sobre ella.
4. Dibujo con código. Borde que entra en D: trazo lleno. Borde que no entra: trazo cortado. Puntos sueltos que no entran (cortes entre un borde que entra y uno que no): círculo vacío.
5. Clasificación. Abierto, cerrado, acotado, compacto, conexo, cada uno con un punto testigo o una razón de una línea. Si piden interior o frontera, dibujalos por separado: el interior es D sin los puntos de su frontera; la frontera son todos los tramos de borde que realmente limitan a D (no las curvas enteras), entren o no en D.
6. Nivel pedido (si lo hay): resolvé f = k dentro de D, nunca en todo el plano.

3. Gráfico y conjuntos de nivel

El gráfico de f : D ⊂ ℝ² → ℝ es la superficie G_f = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, z = f(x, y)} ⊂ ℝ³. Para n = 3 el gráfico vive en ℝ⁴ y no se dibuja: ahí sólo hay conjuntos de nivel.

Para n = 2 son curvas de nivel (lo que se ve en un mapa topográfico: la curva de nivel k es la sombra sobre el plano xy del corte del gráfico con el plano z = k). Para n = 3 son superficies de nivel. Tres propiedades que se usan sin decirlo:

• N_k es vacío si k no está en la imagen de f. Un ejercicio que dice "si quedan definidos" te está avisando de esto.
• Los conjuntos de nivel de valores distintos no se cortan (un punto no puede tener dos valores) y entre todos cubren D.
• Si un nivel parece contener un punto que no está en D, ese punto se saca. Es el error más frecuente en la parte b) del Ej 1.

Lectura del dibujo. Si tomás niveles equiespaciados (k = 1, 2, 3…), donde las curvas se juntan la superficie es empinada y donde se separan es plana. En el paraboloide z = x² + y² las circunferencias tienen radio √k y se van juntando; en el cono z = √(x² + y²) tienen radio k y quedan igual de separadas.

4. Límite doble: definición y álgebra

Sea f : D ⊂ ℝⁿ → ℝ y A un punto de acumulación de D (todo entorno reducido E*(A) tiene puntos de D; A puede no estar en D). Decimos que lím_X→A f(X) = L si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

Lo que cambia respecto de una variable: en ℝ hay dos formas de acercarse a un punto (por izquierda y por derecha); en ℝ² hay infinitas (rectas, parábolas, espirales), y el límite existe sólo si todas llevan al mismo L. Si existe, es único. Para un campo vectorial, el límite existe si y sólo si existe el de cada componente, y se arma componente a componente.

Álgebra de límites. Si f → L y g → M, entonces f ± g → L ± M, f·g → L·M, f/g → L/M (si M ≠ 0), y si φ de una variable es continua en L, φ(f(X)) → φ(L). Consecuencia: polinomios, cocientes con denominador no nulo en A, raíces, exponenciales, logaritmos y trigonométricas se resuelven evaluando. Sólo hay que pensar cuando aparece una indeterminación, típicamente 0/0.

5. Límites iterados

Son dos límites de una variable, uno adentro del otro: lím_x→a(lím_y→b f(x, y)) y lím_y→b(lím_x→a f(x, y)). Geométricamente, acercarse primero en vertical y después en horizontal, o al revés. La relación con el límite doble:

• Si existe el límite doble L y existen los límites de adentro, los dos iterados valen L. Por eso, si los iterados dan distinto, el doble no existe.
• Si los iterados dan igual, no se puede concluir nada.
• El doble puede existir aunque un iterado no exista.

6. Para probar que el límite NO existe: caminos

Límite por una curva (TP III, ej. 6). Si C es una curva que pasa por A y C − {A} ⊂ D, L_C es el límite tomando sólo puntos de C. Si existe L, entonces L_C = L para toda curva C. La prueba es inmediata: el δ que sirve para todos los X de E*(A) ∩ D sirve en particular para los de C. Las dos consecuencias son las que se usan:

Qué curvas probar. Primero los ejes (x = 0, y = 0) y las rectas y = mx, sustituyendo y simplificando: si el resultado depende de m, ya está. Si todas las rectas dan lo mismo, buscá la curva que equilibra los grados del denominador: con x⁴ + y², hacé que x⁴ e y² sean del mismo orden, o sea y = kx²; con x² + y⁴, x = ky²; en general, con x^p + y^q, y = k x^p/q. Con esa curva todos los términos quedan de la misma potencia de x y el resultado depende de k. Si te muestran conjuntos de nivel que pasan por el punto (ej. 8), esos conjuntos son los caminos: sobre N_k la función vale k constante.

El ejercicio 8 del TP (la figura de arriba) apareció casi textual en el tema 1 del recuperatorio del 3/6/2023 (el tema 2 trae la misma función con x e y intercambiadas): "Sea f(x, y) = x² + 2x2x² + y². Sean D el dominio natural de f y sea N_k(f) el conjunto de nivel k de f. Grafique los conjuntos N₀(f), N_1/4(f) y N₁(f), y explique por qué lo obtenido implica que no existe lím_{(x,y)→(0,0)} f(x, y)." La explicación que esperan es la del criterio: sobre cada conjunto de nivel la función es constante, y hay conjuntos de nivel distintos (0, 1/4 y 1) que llegan al origen, así que los límites por esas curvas difieren.

7. Para probar que el límite SÍ existe: acotar

La herramienta es el sándwich: si |f(X) − L| ≤ g(X) en un E*(A) y g(X) → 0, entonces f → L. En la práctica, casi siempre es la propiedad "cero por acotada es cero": si f = φ·β con φ → 0 y β acotada cerca de A, entonces f → 0. Las desigualdades que hacen todo el trabajo cerca de (0, 0):

Regla de los grados (para orientarte, no para justificar): cerca del origen, si el numerador tiene grado total mayor que el denominador, el límite suele ser 0 y se prueba acotando; si tiene el mismo grado, suele no existir y se prueba con rectas; si el denominador mezcla grados (x⁴ + y²), hay que mirar las curvas que lo equilibran. Para contar grados, sen u cuenta como u.

Coordenadas polares. Para un límite en A = (a, b), escribí x = a + r cos θ, y = b + r sen θ, con r = ‖X − A‖ > 0. Entonces f(X) = g(r, θ), y X → A equivale a r → 0⁺ sea cual sea θ. El criterio correcto es:

8. Continuidad

f es continua en A ∈ D si existe lím_X→A f(X) y es igual a f(A). No tiene sentido preguntar por la continuidad en un punto que no está en el dominio: ahí sólo se puede preguntar si existe el límite, y si existe se puede extender por continuidad definiendo f(A) como ese límite. Sumas, productos, cocientes con denominador no nulo y composiciones de continuas son continuas; un campo vectorial es continuo si y sólo si lo son sus componentes.

Funciones partidas. En los puntos donde la fórmula es una sola expresión continua no hay nada que analizar. Hay que analizar sólo los puntos donde cambia la definición:

• Partida en un punto (f = expresión si X ≠ A, f(A) = c): calculás el límite de la expresión en A y lo comparás con c.
• Partida en una curva (una expresión de cada lado, o un valor sobre la curva): en cada punto P de la curva, el límite por cada lado es el valor de la expresión de ese lado en P (si es continua hasta el borde). f es continua en P si los valores de los dos lados coinciden entre sí y con f(P). Eso da una ecuación que, intersecada con la curva, te dice en qué puntos de la curva es continua.

9. Derivadas direccionales y parciales

Sea A interior a D y ř un versor (‖ř‖ = 1). La derivada direccional de f en A según ř es

si ese límite (de una variable, bilateral: h → 0 por los dos lados) existe y es finito. Mide la razón de cambio de f cuando te movés desde A en la dirección ř: geométricamente, la pendiente de la curva que resulta de cortar el gráfico con el plano vertical que pasa por A en la dirección ř. La misma fórmula con un vector r no unitario define la derivada respecto del vector, y cumple f′(A, c r) = c f′(A, r); en particular f′(A, −ř) = −f′(A, ř) (cambiá h por −h).

Las derivadas parciales son las direccionales según los versores canónicos: f′_x(A) = f′(A, (1, 0)) y f′_y(A) = f′(A, (0, 1)). Como en f′_x sólo varía x, se calculan con las reglas prácticas de una variable, tratando a las otras variables como constantes.

Cuándo NO se puede usar la regla práctica y hay que ir a la definición:

1. En un punto donde la función está partida (el origen de casi todos los parciales).
2. En un punto donde la expresión derivada no tiene sentido aunque f sí lo tenga (por ejemplo, una raíz que se anula: √(x² + y²) en el origen).
3. Fuera del dominio no hay derivada: ni se plantea.

En el origen, con f partida y f(0, 0) = 0, la definición queda especialmente simple, y es la cuenta del parcial:

Se hace con (u, v) genérico, de una sola vez, y al final se separan los casos que haya que separar (por ejemplo v = 0 si v queda en un denominador).

10. Derivadas sucesivas y teorema de Schwarz

Si las parciales existen en un entorno, se pueden volver a derivar: f″_xx = (f′_x)′_x, f″_xy = (f′_x)′_y (primero x, después y), f″_yx = (f′_y)′_x, f″_yy. Con n variables hay n^k derivadas de orden k. f es de clase C^k en un abierto si todas sus derivadas parciales hasta el orden k existen y son continuas ahí. El dominio de cada derivada es, como mucho, el de f (aunque la expresión que te da la regla práctica tenga sentido en más puntos).

11. Diferenciabilidad: la definición

En una variable, derivable significa que la curva tiene recta tangente: f(a + h) ≈ f(a) + f′(a) h con un error que es chico comparado con h. En varias variables, tener derivadas no alcanza para eso (apartado 9). La noción buena es pedir directamente la aproximación lineal.

Para un campo escalar, si f es diferenciable la L es forzosamente L(H) = ∇f(A)·H, con ∇f(A) = (f′_x(A), f′_y(A)) el gradiente. Despejando, la definición que se usa en los ejercicios es:

El numerador es el resto (el error de la aproximación lineal); diferenciable quiere decir que el resto tiende a 0 más rápido que la distancia ‖H‖. Con A = (a, b) y H = (x − a, y − b), el límite es doble y se trabaja con las herramientas de los apartados 6 y 7. Un campo vectorial es diferenciable si y sólo si lo es cada componente; su L tiene como matriz la matriz jacobiana Df(A), cuya fila i es el gradiente de la componente f_i (m filas, n columnas). Para un campo escalar, Df(A) es la fila ∇f(A).

12. Condiciones necesarias: lo que te da gratis ser diferenciable

Si f es diferenciable en A:

1. f es continua en A. Porque f(A + H) − f(A) = ∇f(A)·H + ‖H‖φ(H) → 0.
2. Existen todas las derivadas direccionales, y
3. se calculan con el gradiente: f′(A, ř) = ∇f(A)·ř. Prueba: tomá H = hř en la definición. Queda [f(A + hř) − f(A)]/h = ∇f(A)·ř + (|h|/h) φ(hř), y el último término tiende a 0 porque |h|/h es acotado. Entonces f′(A, ř) es lineal en ř: con ř = (u, v), tiene que ser de la forma a u + b v, con a = f′_x(A) y b = f′_y(A).

Por contrarrecíproco, cada una es un filtro para probar que f NO es diferenciable: no es continua, o falta alguna direccional, o las direccionales no son de la forma f′_x(A) u + f′_y(A) v. Pasar los tres filtros no prueba nada: hay que ir a la definición.

Consecuencia geométrica del gradiente (se usa en la sección 5, acá sólo la idea): como f′(A, ř) = ∇f(A)·ř = ‖∇f(A)‖ cos α, la direccional es máxima en la dirección de ∇f(A) y vale ‖∇f(A)‖, mínima en la opuesta y vale −‖∇f(A)‖, y nula en las direcciones perpendiculares a ∇f(A). Por ejemplo, f = x e^y en (2, 0): ∇f = (1, 2), máxima √5 según (1, 2)/√5. Esto vale sólo si f es diferenciable: en una función partida que no lo es, las direcciones de máxima y de nula se buscan maximizando la expresión de f′(A, ř) sobre la circunferencia unitaria (TP III, ej. 44).

13. Condición suficiente: C¹

Idea de la prueba: f(a + h, b + k) − f(a, b) se parte en un paso horizontal y uno vertical, y a cada uno se le aplica el teorema del valor medio de una variable: queda f′_x(ξ, b + k) h + f′_y(a, η) k con ξ, η intermedios. La continuidad de las parciales en A permite cambiar esos puntos intermedios por A con un error que, dividido por ‖H‖, tiende a 0.

Es la forma normal de justificar diferenciabilidad fuera de los puntos problemáticos: "las derivadas parciales son cocientes (o composiciones) de funciones continuas con denominador no nulo en un entorno de A, entonces f ∈ C¹ ahí y es diferenciable". En el ejercicio de la función partida esto resuelve todos los puntos distintos del origen; el origen se hace por definición.

La recíproca es falsa: f = (x² + y²) sen(1/(x² + y²)), f(0, 0) = 0, es diferenciable en el origen (|f|/‖H‖ ≤ ‖H‖ → 0, con ∇f = (0, 0)) pero f′_x(x, 0) = 2x sen(1/x²) − (2/x) cos(1/x²) no tiene límite cuando x → 0 (TP III, ej. 47). Y sí se usa al revés por contrarrecíproco: si f no es diferenciable en A, sus parciales no pueden ser continuas en A (siempre que existan en un entorno). Es exactamente lo que preguntaron el 24/10/2022 y el 10/12/2024.

14. El cuadro de implicaciones

El (e) es el que muestra que la linealidad de las direccionales es necesaria pero no suficiente. Comprobación: |x³y| ≤ |x|·|x²y| y |x²y| ≤ (x⁴ + y²)/2, así que |f| ≤ |x|/2 → 0 (continua); f(hu, hv)/h = h u³ vh²u⁴ + v² → 0 para todo ř; y sobre y = x², f/‖H‖ = x/2|x|√(1 + x²), que tiende a 1/2 por la derecha.

15. El ejercicio de parcial: función partida en (0, 0), procedimiento completo

En los exámenes reales la consigna combina, en distinto orden, estas preguntas: continuidad en el origen, existencia de las parciales (a veces "en todo punto"), derivadas direccionales en toda dirección, versores con direccional nula, diferenciabilidad, y si las parciales pueden ser continuas. Las funciones son casi siempre de la forma (algo)/(x² + c y²) o con grados mezclados (x⁴ + y², x² + y⁴), con sen en el numerador. Este procedimiento contesta cualquier combinación:

1. Mirá los grados (sen u cuenta como u). Numerador de grado mayor que el denominador: la apuesta es "continua"; mismo grado: "no continua" (buscá dos rectas); denominador con grados mezclados: probá la curva que lo equilibra. Esto es sólo para saber qué vas a intentar demostrar.
2. Continuidad. Si la apuesta es que sí: acotá |f| ≤ (algo → 0) con las desigualdades del apartado 7 y concluí lím = 0 = f(0, 0). Si es que no: mostrá dos caminos con límites distintos (o uno que no dé f(0, 0)). Escribí la conclusión con la definición: "no existe el límite, luego f no es continua en (0, 0)".
3. Direccionales, con ř = (u, v) genérico: f′((0, 0), ř) = lím_h→0 f(hu, hv)/h. Simplificá las h; usá sen(hv)/h → v. Si queda un denominador que se anula para alguna dirección, separá ese caso y hacelo aparte.
4. Parciales: son el caso ř = (1, 0) y ř = (0, 1) del paso 3, o se calculan directo con f(h, 0)/h y f(0, h)/h. Si piden "en todo punto", agregá: fuera del origen, por regla práctica (cociente de derivables con denominador no nulo).
5. Diferenciabilidad, por filtros en orden: (i) si no es continua, no es diferenciable; (ii) si falta alguna direccional, no lo es; (iii) si f′((0, 0), ř) ≠ f′_x(0, 0) u + f′_y(0, 0) v para algún versor concreto (dalo con números), no lo es; (iv) si pasa los tres, planteá lím_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) − f′_x(0, 0) x − f′_y(0, 0) y√(x² + y²) y probá que es 0 acotando (diferenciable) o mostrá un camino donde no da 0 (no diferenciable).
6. Direccionales nulas, máximas o mínimas: resolvé f′((0, 0), ř) = 0 junto con u² + v² = 1, y dá los versores explícitos. Si piden máxima o mínima y f no es diferenciable, maximizá la expresión sobre la circunferencia (u = cos t, v = sen t).
7. "¿Pueden ser continuas las parciales en (0, 0)?": si en el paso 5 dio que no es diferenciable, respondé que no: si existieran en un entorno y fueran continuas en el origen, la condición suficiente daría diferenciabilidad.

Esta sección es la segunda mitad del TP III: los apartados 4 (desde la matriz jacobiana: aproximación lineal, plano tangente y recta normal al gráfico) y 5 (superficies paramétricas). La pregunta ya no es si f es diferenciable (eso está en la sección 4) sino qué se hace con eso: sacar derivadas direccionales sin límites, encontrar la dirección de máximo crecimiento, aproximar valores y armar el plano tangente y la recta normal a una superficie que te pueden dar de tres maneras (gráfico, ecuación implícita o parametrización). Entra en el 1er parcial.

Pesa mucho. En los 54 exámenes reales del 1er parcial que contamos (2022 a 2026), el tipo D (plano tangente, recta normal, aproximación lineal, gradiente) es el tema principal de 38 ejercicios y aparece en 36 de los 54 exámenes. Además es tema secundario 78 veces: casi siempre como el último paso de un ejercicio de regla de la cadena (31) o de función implícita (31), y 13 veces dentro de uno de curvas. Es el Ej 5 en 14 de los 54 exámenes, y en 7 de los 14 del régimen nuevo (2025 y 2026). De los 38 principales, 26 traen una superficie paramétrica, 12 piden cortar una recta normal con otra cosa (un plano, otra superficie, un eje, una curva) y 11 piden los puntos donde el plano tangente es paralelo u ortogonal a algo. Con eso ya sabés dónde poner las horas.

1 · Matriz jacobiana y gradiente

Recordatorio de la sección 4: f : D ⊂ ℝⁿ → ℝ^m es diferenciable en A, punto interior de D, si f(A + H) = f(A) + L(H) + ‖H‖ μ(H) con L lineal y μ(H) → 0 cuando H → 0. La transformación lineal L es la diferencial, y su matriz en las bases canónicas es la matriz jacobiana Df(A), de m filas y n columnas: la fila i tiene las derivadas parciales de la componente f_i, en el orden de las variables.

La razón suficiente que vas a escribir siempre. Si las derivadas parciales existen y son continuas en un entorno de A (f ∈ C¹), f es diferenciable en A. En la práctica: polinomios, exponenciales, senos y cosenos son C¹ en todo ℝⁿ; ln(g) y √g son C¹ donde g > 0; un cociente lo es donde el denominador no se anula; sumas, productos y composiciones de funciones C¹ son C¹. Cuando un ejercicio dice "justifique sintéticamente que f es diferenciable", eso es lo que tenés que escribir, nombrando el abierto donde las fórmulas valen y verificando que el punto está ahí.

2 · Derivada direccional con el gradiente

Por qué vale. En la definición de diferenciable tomá H = h r con h → 0: f(A + h r) − f(A) = h ∇f(A)·r + |h| ‖r‖ μ(h r). Dividí por h: el último término queda ±‖r‖ μ(h r), que tiende a 0. Entonces el cociente incremental tiende a ∇f(A)·r, que es la definición de f′(A, r). Con un versor ř tenés la derivada direccional.

Consecuencia que se usa mucho: f′(A, ·) es lineal en la dirección. Si conocés la derivada en dos direcciones linealmente independientes de ℝ², tenés el gradiente: planteás ∇f(A) = (a, b) y armás dos ecuaciones. Si además los dos versores son ortogonales, sale directo: ∇f(A) = d₁ ř₁ + d₂ ř₂.

3 · Máximo crecimiento, mínimo y derivada nula

Con ř versor, Cauchy-Schwarz da |∇f(A)·ř| ≤ ‖∇f(A)‖, con igualdad sólo si ř es paralelo a ∇f(A). Escrito con el ángulo θ entre los dos: f′(A, ř) = ‖∇f(A)‖ cos θ. De ahí sale todo (si ∇f(A) ≠ 0):

El problema al revés. Si te dan que "la máxima derivada direccional en P vale M y se produce en el versor v̌", entonces ∇f(P) = M v̌, porque el gradiente apunta en la dirección del máximo y su norma es el máximo. Si en cambio te dan sólo la dirección de máximo (sin el valor), sabés que ∇f(P) = k v̌ con k > 0, y necesitás otro dato (una parcial, otra derivada direccional) para fijar k.

4 · El gradiente es perpendicular a los conjuntos de nivel

Sea f diferenciable con ∇f(A) ≠ 0 y sea γ una curva regular contenida en el conjunto de nivel de f que pasa por A, con γ(t₀) = A. Como f(γ(t)) = c para todo t, derivando con la regla de la cadena (sección 6) queda ∇f(A) · γ′(t₀) = 0: el gradiente es perpendicular a toda curva del nivel que pasa por A. En ℝ² eso dice que ∇f(A) es normal a la curva de nivel; en ℝ³, que es normal a la superficie de nivel (a todas las curvas que viven en ella).

5 · Aproximación lineal y cálculo aproximado

Si f es diferenciable en A, el término ‖H‖ μ(H) de la definición es chico frente a ‖H‖ cuando H es chico. Tirarlo da la aproximación lineal:

En dos variables, el miembro derecho es exactamente la z del plano tangente al gráfico: aproximar linealmente es reemplazar la superficie por su plano tangente. Es también el polinomio de Taylor de orden 1 (sección 7).

1. Elegí A cerca del punto pedido, con coordenadas donde f y sus derivadas se calculan exacto (números redondos: 3,02 → 3; 0,98 → 1).
2. Justificá que f es diferenciable en A (C¹ en un entorno).
3. Calculá f(A) y ∇f(A).
4. Reemplazá X − A (los incrementos, con su signo) en la fórmula.

Errores de medición (ej. 32 y 33). Al incremento lineal se lo llama diferencial total: df = f′_x dx + f′_y dy. Si x e y se midieron con errores de a lo sumo Δx y Δy, la desigualdad triangular da una cota (aproximada) del error de f:

La segunda (error relativo) sale de tomar logaritmo: ln f = ln C + a ln x + b ln y, y diferenciar. Los exponentes pasan multiplicando; los signos se pierden porque se suman las cotas en valor absoluto.

6 · Plano tangente y recta normal al gráfico de z = f(x, y)

Hipótesis: f diferenciable en (x₀, y₀). De dónde sale la normal (es el ej. 21): la curva del gráfico con y = y₀ fijo es t ↦ (t, y₀, f(t, y₀)), con vector tangente (1, 0, f′_x) en t = x₀; la de x = x₀ fijo tiene tangente (0, 1, f′_y). Las dos curvas están en el gráfico, así que esos vectores están en el plano tangente, y su producto vectorial es normal: (1, 0, f′_x) × (0, 1, f′_y) = (−f′_x, −f′_y, 1). También sale de pasar todo a un miembro en la ecuación del plano: f′_x(x − x₀) + f′_y(y − y₀) − (z − z₀) = 0 tiene normal (f′_x, f′_y, −1), que es la misma dirección. (Verificado con sympy.)

Leer datos de un plano tangente (ej. 25). Si te dan el plano tangente al gráfico en (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) como ax + by + cz = d (con c ≠ 0), despejá z: los coeficientes de x e y son f′_x y f′_y, y el valor de z en (x₀, y₀) es f(x₀, y₀). Plano tangente horizontal (paralelo al plano xy) ⟺ ∇f(x₀, y₀) = (0, 0): son los puntos críticos de la sección 7.

7 · Superficies dadas en forma implícita: F(x, y, z) = 0

Muchas superficies vienen como ecuación: x² + y² + z³ = 0, 2z² + xy − y² = 0, "la superficie de nivel 6 de f". Si Σ = {F = 0} (o {F = k}), el resultado del apartado 4, aplicado en ℝ³, dice:

El gráfico z = f(x, y) es un caso particular: F(x, y, z) = f(x, y) − z da ∇F = (f′_x, f′_y, −1), la misma normal de antes. Y una ecuación con una variable ausente también es implícita: y = x² es F = y − x², con ∇F = (−2x, 1, 0) (horizontal: es un cilindro parabólico vertical).

8 · Superficies paramétricas

Definición (la de la cátedra). Si D ⊂ ℝ² es conexo y F : D → ℝ³ es continua, el conjunto imagen Σ = F(D) es una superficie, y X = F(u, v), (u, v) ∈ D, es una ecuación paramétrica vectorial. Escrita por componentes son las ecuaciones paramétricas; si eliminás u y v (no siempre se puede) queda una ecuación cartesiana. Para "verificar que es una superficie" (ej. 34) se dice eso: F continua (sus componentes lo son) y D conexo.

Líneas coordenadas. Dejando fijo un parámetro, la otra variable recorre una curva sobre Σ: la línea u = u₀ es v ↦ F(u₀, v) y la línea v = v₀ es u ↦ F(u, v₀). Por cada punto pasa una de cada familia, y forman la "cuadrícula" de la superficie (ej. 36).

Vectores tangentes. X_u = ∂F/∂u (u₀, v₀) es el vector tangente a la línea v = v₀, y X_v = ∂F/∂v (u₀, v₀) el tangente a la línea u = u₀. Si son linealmente independientes generan el plano tangente, y su producto vectorial es normal.

Cómo encontrar (u₀, v₀). Es el primer paso de casi todos los ejercicios y donde más se pierde puntaje. F(u, v) = A son tres ecuaciones con dos incógnitas:

1. Resolvé con las dos más simples (las lineales primero; sumar o restar ecuaciones suele despejar una variable).
2. Verificá cada candidato en la tercera. Los que no la cumplen se descartan.
3. Si sobrevive uno solo, A es punto simple. Si no sobrevive ninguno, A no está en la superficie (revisá la cuenta o el enunciado). Si sobreviven dos, A no es simple: la superficie pasa dos veces por ahí y puede haber dos planos tangentes; analizá cada uno.
4. Calculá X_u, X_v en ese (u₀, v₀), su producto vectorial, y escribí que no es 0: eso es lo que justifica que el plano tangente existe.

9 · Parametrizaciones típicas

Para el ej. 35 (y para todo el TP IX del 2do parcial) conviene tener estas a mano. La normal es X_u × X_v en el orden de los parámetros escritos; si los invertís, cambia de signo.

Si el eje de la superficie no es el z, se permutan las coordenadas. Ejemplos de la guía: el cilindro y² + z² = 4 del ej. 39 es (x, 2 cos u, 2 sen u), alrededor del eje x; el cono del ej. 38 c), X = (v cos u, 2v, v sen u), tiene eje y. Y si el centro no es el origen, se suma el centro: el hiperboloide del ej. 38 d) está corrido una unidad en x.

10 · Los ejercicios tipo D: procedimientos

A. Plano tangente y recta normal, según cómo venga la superficie.

Con la normal N en A: plano N·(X − A) = 0, recta X = A + t N. Cualquier múltiplo no nulo de N sirve: simplificá antes de seguir (dividir (4, −8, 2) por 2 ahorra errores).

B. Cortar una recta (casi siempre la normal) con otro objeto. Escribí la recta como X = A + t N y:

1. Con un plano ax + by + cz = d: reemplazá las tres coordenadas, queda una ecuación lineal en t. Si queda un absurdo (k = d con k ≠ d), la recta es paralela al plano y no lo corta: pasa cuando N es perpendicular a la normal del plano.
2. Con un plano coordenado o un eje: el plano xy es z = 0; el eje y es x = 0 y z = 0 (dos condiciones con un solo t: tienen que dar el mismo t, y si no, no hay punto común).
3. Con una superficie implícita G = 0: reemplazá y resolvé en t. Si es la misma superficie de la que sacaste la normal, t = 0 es siempre solución (es A): buscás las otras.
4. Con una superficie paramétrica Y(s, w): igualá A + t N = Y(s, w), tres ecuaciones con tres incógnitas.
5. Con una curva C(λ): igualá A + t N = C(λ) con parámetros distintos (t y λ). Usar la misma letra para los dos es el error clásico: obliga a que pasen por el punto común "al mismo tiempo", que no es lo que se pregunta.

C. Plano tangente paralelo a un plano dado (u ortogonal a una recta dada). Dos planos son paralelos ⟺ sus normales son paralelas. Planteás N(u, v) = λ n (o N × n = 0), con n la normal del plano dato, y resolvés junto con la pertenencia a Σ. "Plano tangente ortogonal a una recta" ⟺ la normal es paralela al director de la recta: la misma cuenta con n = director. "Plano tangente paralelo a una recta" es otra cosa: N · director = 0.

D. Gradiente a partir de datos. Las tres fuentes de ecuaciones para ∇f(P) = (a, b): una derivada direccional da (a, b)·ř = valor; una recta tangente a la curva de nivel da (a, b) ∥ su normal; "máxima en v̌ con valor M" da (a, b) = M v̌. Con dos datos independientes en ℝ² alcanza. Antes de usar cualquiera: f ∈ C¹ (o diferenciable) en P.

E. Aproximación lineal y errores. Los pasos de la parte 5: elegir A, justificar diferenciable, f(A) y ∇f(A), reemplazar incrementos con signo. Para errores, sumá las contribuciones en valor absoluto.

Trampas que se cobran caras

Este TP tiene dos mitades que se usan juntas todo el tiempo. La primera es la regla de la cadena: cómo se deriva f(g(X)) sin armar la composición, y cómo se lee al revés (si conocés la derivada de la compuesta, despejás la de f). La segunda es el teorema de la función implícita: cuándo una ecuación F(x, y, z) = 0 define a una variable como función de las otras, y cómo se derivan esas funciones sin despejarlas nunca. Entra en el 1er parcial (TP I a V). En los 54 exámenes reales relevados (CONTEOS-p1), la función implícita (tipo F) aparece en 44 y la composición con regla de la cadena (tipo E) en 41: son el primero y el tercero de los ocho tipos del parcial (el segundo, extremos libres, está en 42). Además la regla de la cadena aparece como herramienta secundaria en otros 16 ejercicios.

El examen que falta para llegar a 54 en las dos columnas de años es uno sin fecha, que tiene los dos tipos.

1. Composición de funciones y su dominio

Sean g : D_g ⊂ ℝⁿ → ℝᵐ y f : D_f ⊂ ℝᵐ → ℝᵖ. La composición h = f ∘ g aplica primero g y después f: h(X) = f(g(X)). Para que tenga sentido hacen falta dos cosas: que la cantidad de componentes de g (m) sea la cantidad de variables de f, y que g(X) caiga en el dominio de f. Por eso el dominio natural de la composición es

y la composición sólo existe si ese conjunto no es vacío. Fijate que no alcanza con intersecar dominios: la condición sobre f se impone sobre la imagen de g, no sobre X.

En los enunciados casi nunca te dicen "h = f ∘ g" con las dos funciones por separado: te escriben h(x, y) = f(x² − y, xy). Eso es una composición con g(x, y) = (x² − y, xy) adentro. Lo primero que hacés siempre es nombrar la de adentro y las variables de f (u, v, o las que use el enunciado).

Continuidad. Si g es continua en A y f es continua en g(A), entonces f ∘ g es continua en A. Es lo que usás sin decirlo cada vez que afirmás que "e^xy + ln(x + z) es continua donde x + z > 0".

2. La regla de la cadena en forma matricial

Por qué es cierto (idea). Diferenciable quiere decir "bien aproximada por su parte lineal". Cerca de A, g(A + H) ≈ g(A) + Dg(A)·H; y cerca de B, f(B + K) ≈ f(B) + Df(B)·K. Si metés la primera en la segunda con K = Dg(A)·H, te queda f(g(A + H)) ≈ f(B) + Df(B)·Dg(A)·H: la parte lineal de la composición es la composición de las partes lineales, y componer transformaciones lineales es multiplicar sus matrices. La demostración formal sólo controla que los errores sigan siendo chicos frente a ‖H‖.

Cuando g sólo tiene derivadas parciales en A (sin ser diferenciable) y f es diferenciable en g(A), la misma fórmula sigue dando las derivadas parciales de h en A, pero ya no te garantiza que h sea diferenciable. La hipótesis que no se puede aflojar es la de f diferenciable.

Los casos que vas a usar casi siempre son estos:

En el caso escalar, leído componente por componente, la fórmula matricial dice

3. Las hipótesis importan (y el recíproco no vale)

La regla de la cadena tiene hipótesis suficientes, no necesarias. Las dos situaciones de abajo son las que la cátedra usa para preguntar "¿pudo aplicar la regla de la cadena?" (ej. 6 del TP).

4. El árbol de dependencias

Cuando los datos vienen como relaciones entre variables ("w = f(u, v) con u = x² + y, v = xy"), es más cómodo no armar matrices y usar el árbol: arriba la variable dependiente, en el medio las intermedias, abajo las independientes. Para derivar respecto de una independiente, se recorren todos los caminos desde arriba hasta ella; a lo largo de cada camino se multiplican las derivadas parciales de cada paso, y los caminos se suman. Es exactamente la fórmula matricial escrita entrada por entrada.

5. Derivadas segundas de una composición

La clave es una sola: f′_u también es una función compuesta. En h(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)), la derivada primera es h′_x = f′_u(g(x, y)) u′_x + f′_v(g(x, y)) v′_x. Para derivar otra vez respecto de x hay que usar la regla del producto en cada término y, al derivar f′_u(g(x, y)), otra vez la regla de la cadena:

Hace falta f ∈ C² para que existan esas derivadas y para usar Schwarz (f″_uv = f″_vu) al agrupar.

6. Lo que más se toma (1): plano tangente, aproximación y derivada direccional de una composición

En los 41 ejercicios de tipo E del corpus el formato se repite mucho. Contados uno por uno:

Así lo toman, por ejemplo, en el 1er parcial del 11/5/24 (tema 1, ej. 4), textual: «Sea g(x, y) = f(ye^x, x + 2y) con f(r, s) un campo escalar de clase C¹(ℝ²). Se sabe que L(r, s) = 1 + 2r − 3s es la aproximación lineal de f en (1, 2). Halle el plano tangente y la recta normal al gráfico de g en el punto (0, 1, g(0, 1)).»

Procedimiento para el formato directo:

1. Nombrá la de adentro: g(x, y) = (lo que está dentro de f), y calculá B = g(A). Chequeá que B sea el punto donde te dan el dato de f; si no coincide, releé (casi siempre coincide: el enunciado está armado así).
2. Leé el dato de f: f(B) y ∇f(B), con la tabla de abajo.
3. Justificá: f es C¹ (dato), luego diferenciable; g tiene componentes C¹ (polinómicas, exponenciales...), luego diferenciable; por la regla de la cadena h es diferenciable en A.
4. Calculá h(A) = f(B) y ∇h(A) = ∇f(B) · Dg(A).
5. Usalo según lo que pidan:
   • Plano tangente al gráfico de h en (A, h(A)): z = h(A) + ∇h(A)·(X − A). Recta normal: (A, h(A)) + λ(∇h(A), −1).
   • Aproximación lineal: h(X) ≈ h(A) + ∇h(A)·(X − A), con X cerca de A.
   • Derivada direccional: h′(A, v̌) = ∇h(A)·v̌ (vale porque h es diferenciable). Máxima: ‖∇h(A)‖, en v̌ = ∇h(A)/‖∇h(A)‖. Mínima: −‖∇h(A)‖, en el opuesto. Nula: los v̌ perpendiculares a ∇h(A) (en ℝ², dos versores opuestos si ∇h(A) ≠ 0, y todos si ∇h(A) = 0).
   • Recta normal o plano tangente a un conjunto de nivel de h que pasa por A: la dirección normal es ∇h(A) (apartado 8), siempre que no sea 0.

Superficie paramétrica compuesta. Si X = F(g(r, s)) parametriza una superficie, la jacobiana 3 × 2 de la composición, DF(g(P))·Dg(P), tiene como columnas los vectores tangentes X′_r y X′_s. La normal es su producto vectorial; no hace falta componer.

7. Lo que más se toma (2): la regla de la cadena al revés

Te dan información de la compuesta h = f ∘ g en A (su gradiente, su polinomio de Taylor, el plano tangente a su gráfico) y te piden algo de f en B = g(A): su plano tangente, su derivada direccional máxima. La incógnita es ∇f(B), y la regla de la cadena es un sistema lineal para ella.

1. Calculá B = g(A) y Dg(A). Anotá f(B) = h(A) (lo necesitás para el plano tangente de f).
2. Leé ∇h(A) del dato (con la misma tabla del apartado anterior, ahora aplicada a h).
3. Planteá ∇f(B) = (a, b) y escribí ∇h(A) = (a, b) · Dg(A): son dos ecuaciones lineales en a y b.
4. Si Dg(A) es cuadrada con determinante ≠ 0, hay solución única. Si f tiene tres variables y h dos (Dg de 3 × 2), te faltan ecuaciones: el enunciado te va a dar una componente de ∇f como dato extra (así vino el 13/5/23 y el 16/12/25). Si det Dg(A) = 0, ∇f(B) no queda determinado: decilo.
5. Con ∇f(B) y f(B), contestá lo que piden sobre f.

8. El gradiente es perpendicular a los conjuntos de nivel

Demostración (la que piden los ej. 13 y 17; usa la regla del ej. 12). La hipótesis ∇f(A) ≠ 0 garantiza (por la función implícita, apartado 10) que cerca de A el conjunto de nivel es una curva o superficie regular. Tomá cualquier curva g(t) contenida en el conjunto de nivel, con g(t₀) = A y g′(t₀) ≠ 0. Sobre ella f es constante: f(g(t)) = f(A) para todo t. Derivando con la regla de la cadena (f diferenciable, g derivable):

Así que ∇f(A) es perpendicular al vector tangente de toda curva del conjunto de nivel que pasa por A. En ℝ³, si σ(u, v) parametriza la superficie de nivel con σ(u₀, v₀) = A, aplicando esto a las curvas u ↦ σ(u, v₀) y v ↦ σ(u₀, v) sale ∇f(A) ⊥ σ′_u y ∇f(A) ⊥ σ′_v; como σ′_u y σ′_v son linealmente independientes, ∇f(A) es paralelo a σ′_u × σ′_v, que es la normal (ej. 17). Orientación: la derivada direccional en la dirección del gradiente es f′(A, ∇f(A)/‖∇f(A)‖) = ‖∇f(A)‖ > 0, así que si te movés desde A en esa dirección, f aumenta: el gradiente apunta hacia los niveles mayores.

Las consecuencias son las que se usan en los ejercicios:

• Recta tangente a una curva F(x, y) = 0 en A (ej. 14): ∇F(A)·(X − A) = 0. Recta normal: A + t ∇F(A).
• Plano tangente a una superficie F(x, y, z) = 0 en A (ej. 18): ∇F(A)·(X − A) = 0, y la recta normal A + t ∇F(A). Requiere F ∈ C¹ y ∇F(A) ≠ 0.
• Una curva contenida en una superficie tiene su recta tangente contenida en el plano tangente (ej. 31): si F(g(t)) = 0, derivando, ∇F(A)·g′(t₀) = 0, y la recta A + λg′(t₀) cumple la ecuación del plano.
• Imagen de una curva por un campo (ej. 15 y 16): si C es g(t) y la transformás con F, la curva imagen es F(g(t)) y su vector tangente es DF(g(t₀))·g′(t₀): la jacobiana lleva vectores tangentes en vectores tangentes.

9. Funciones definidas implícitamente: qué significa

Una ecuación F(x, y, z) = 0 define implícitamente a z como función de (x, y) cerca de (x₀, y₀) si existe una función f, definida en un entorno V de (x₀, y₀), tal que

Muchas veces no se puede despejar (z⁵ + z + xy = 1 no se despeja con fórmulas), y aun cuando se puede, el despeje no es único: x² + y² + z² = 3 tiene dos ramas, z = ±√(3 − x² − y²), y el punto por el que tiene que pasar el gráfico decide cuál. Por eso todo es local: alrededor de un punto A = (x₀, y₀, z₀) que cumple la ecuación.

10. El teorema de la función implícita (una ecuación)

De dónde sale la fórmula. El teorema te da gratis que f existe y es C¹. Con eso podés derivar la identidad F(x, y, f(x, y)) = 0 respecto de x con la regla de la cadena (árbol: F depende de x directamente y a través de z = f(x, y)):

y lo mismo con y. Por eso hace falta F′_z ≠ 0: es lo que se divide. No memorices la fórmula sin el signo menos: si te lo olvidás, todo lo que sigue (aproximación, plano, versores) sale mal.

Lectura geométrica. F = 0 es una superficie de nivel con normal ∇F(A). F′_z(A) ≠ 0 quiere decir que la normal no es horizontal, o sea que el plano tangente no es vertical: entonces, cerca de A, la superficie se ve como el gráfico de una función de (x, y). En la figura de arriba, con una variable menos, es lo que pasa en A y no en B.

Se puede despejar cualquier variable cuya derivada no se anule en A. Si F′_x(A) ≠ 0, la ecuación define x = g(y, z) cerca de (y₀, z₀), con g′_y = −F′_y/F′_x y g′_z = −F′_z/F′_x. En el corpus, 12 de los 44 ejercicios de tipo F piden x = g(y, z) o y = g(x, z), y otros 3 piden una función de una variable: no supongas que siempre es z. Con dos variables, F(x, y) = 0 define y = f(x) si F′_y(A) ≠ 0, con f′(x₀) = −F′_x(A)/F′_y(A).

11. Cómo se justifica en el parcial

El enunciado típico dice "Pruebe que la ecuación ... define implícitamente una función z = f(x, y) de clase C¹ en un entorno de ...". La prueba es corta, pero ningún paso puede faltar.

1. Pasá todo a un miembro y nombrá F: F(x, y, z) = (lado izquierdo) − (lado derecho).
2. Si no te dan z₀, encontralo: resolvé F(x₀, y₀, z) = 0. Si te dicen "z₀ > 0", elegí esa raíz. Si te piden probar que existe un único z₀, mostrá que la ecuación en z tiene una sola solución (despejándola, o viendo que la función de z es estrictamente monótona).
3. F ∈ C¹ en un entorno de A, diciendo por qué: suma y producto de polinomios, exponenciales y senos (C¹ en todo ℝ³); si hay ln(φ) o un cociente, que φ es positiva o el denominador no se anula en A y, por continuidad, en un entorno de A.
4. F(A) = 0: la cuenta, a la vista.
5. F′_z(A) ≠ 0: la derivada, evaluada, con el número. (O F′_x, o F′_y, según la variable que se despeja.)
6. Conclusión: "por el teorema de la función implícita, existe un entorno V de (x₀, y₀) y una única f : V → ℝ de clase C¹ con f(x₀, y₀) = z₀ y F(x, y, f(x, y)) = 0 en V". Recién ahí, las derivadas.

Y lo que piden después de probar el teorema, contado sobre los 44 ejercicios de tipo F (un ejercicio puede pedir más de una cosa):

12. Derivadas sucesivas, aproximación y plano tangente de la implícita

Derivadas segundas. Si F es C², la implícita f también lo es. Para f″_xx, derivás otra vez la identidad (o la fórmula de f′_x) acordándote de que z = f(x, y) depende de x: cada z que aparece se deriva con la cadena. Necesitás el valor de f′_x en el punto antes de evaluar.

Aproximación lineal. El teorema da f diferenciable en (x₀, y₀), así que f(x, y) ≈ z₀ + f′_x(x₀, y₀)(x − x₀) + f′_y(x₀, y₀)(y − y₀). Ojo con a qué variable corresponde cada número cuando la despejada es x o y: si x = g(y, z), la aproximación es g(y, z) ≈ x₀ + g′_y(y − y₀) + g′_z(z − z₀).

Plano tangente al gráfico de la implícita. El gráfico de f es, cerca de A, la superficie F = 0. Por eso su plano tangente en A es el de la superficie de nivel:

Dividiendo por F′_z(A) y despejando z sale exactamente z = z₀ + f′_x(x − x₀) + f′_y(y − y₀): las dos formas son la misma. Usá la primera, que no tiene fracciones.

13. La implícita dentro de una composición

Es el formato mixto (17 de los 44 de tipo F, y uno de los E): w = f(u, v) definida implícitamente, y te piden algo de g(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)). Se hace en dos etapas que no se mezclan:

1. B = (u(A), v(A)). Encontrá w₀ resolviendo la ecuación en B (si no te lo dan) y probá el teorema en (B, w₀).
2. ∇f(B) con las fórmulas del teorema.
3. Regla de la cadena: ∇g(A) = ∇f(B)·Dg(A), y g(A) = w₀.

14. Sistemas de ecuaciones

Con dos ecuaciones y cuatro variables, { F(x, y, u, v) = 0 ; G(x, y, u, v) = 0 }, se pueden despejar dos variables en función de las otras dos. El papel de "F′_z ≠ 0" lo juega ahora un determinante.

Las derivadas salen igual que antes: derivás cada ecuación respecto de x (las u y v son funciones de x e y) y te queda un sistema lineal 2 × 2 en u′_x y v′_x, cuya matriz es justamente la del jacobiano:

Lo resolvés por sustitución o por Cramer (u′_x = −∂(F, G)/∂(x, v) dividido ∂(F, G)/∂(u, v): en el numerador, x ocupa el lugar de u). Resolver el sistema a mano es más seguro que acordarse de la fórmula.

15. Curva intersección de dos superficies

La curva C = {F = 0} ∩ {G = 0} es un sistema de dos ecuaciones con tres variables. En cada punto de C, el vector tangente tiene que ser perpendicular a ∇F (porque la curva está en la superficie F = 0) y a ∇G (porque está en G = 0). Por eso:

Cuándo vale. F y G de clase C¹ cerca de A, F(A) = G(A) = 0 y d ≠ 0 (los gradientes no paralelos). Las componentes de ∇F × ∇G son, salvo signo, los tres jacobianos ∂(F, G)/∂(y, z), ∂(F, G)/∂(x, z) y ∂(F, G)/∂(x, y); si d ≠ 0, alguno no se anula y, por el teorema para sistemas, dos de las variables quedan como funciones C¹ de la tercera: C es localmente una curva regular por A. Eso es lo que hay que escribir cuando piden "demuestre que define una curva regular" (ej. 23).

• Recta tangente: X = A + t d. Plano normal: d·(X − A) = 0.
• Dos superficies son ortogonales en un punto común si sus normales lo son: ∇F(A)·∇G(A) = 0 (ej. 28).

16. Trampas y lista de control

El TP V cierra el temario del 1er parcial: el cronograma de la cátedra lo dice con todas las letras, "hasta extremos libres y condicionados inclusive (Guías de T.P. I a V)". Y es el tema más seguro del examen. En los 54 exámenes del 1er parcial del corpus (parciales, diferidos y recuperatorios de 2022 a 2026) hay un ejercicio de extremos libres (tipo H) en 42, y en los 14 exámenes de 2025 y 2026 está en los 14. Los extremos condicionados y absolutos (tipo I) aparecen en 13, todos de 2022 a 2024 más uno sin fecha: en 2025 y 2026 no salió ninguno, pero el tema sigue en el programa del parcial. El polinomio de Taylor nunca es el ejercicio principal, pero va adentro de otros en 24 ejercicios (11 de regla de la cadena, 10 de extremos y 3 de plano tangente), casi siempre con el mismo formato: "te doy el polinomio de Taylor de g en un punto; sacá de ahí lo que necesites".

Cómo vienen los 42 de extremos libres: 18 tienen parámetros ("hallá a y b para que haya extremo en tal punto"), 10 te dan la función a través de un polinomio de Taylor (6 tienen las dos cosas) y 20 son "hallá los puntos críticos y clasificalos" con la función a la vista. Todo eso se resuelve con lo mismo: condición necesaria, hessiano y, cuando el hessiano no alcanza, mirar el signo de f − f(A).

1. El polinomio de Taylor de orden 1 y 2

La idea: cerca de un punto A, cambiar f por un polinomio que coincide con f en A y que tiene las mismas derivadas parciales que f en A hasta el orden k. Con orden 1 copiás el valor y la pendiente (el plano tangente); con orden 2 copiás además la curvatura, y eso es lo que después decide si un punto crítico es máximo, mínimo o silla.

Para f de dos variables, A = (a, b) y f de clase C² en un entorno de A:

Con X = (x, y) y el incremento X − A escrito como columna, el término de orden 2 es una forma cuadrática cuya matriz es la matriz hessiana:

Como f es C², las derivadas cruzadas son iguales (Schwarz) y Hf(A) es simétrica. En tres variables es lo mismo con A = (a, b, c), incrementos h = x − a, k = y − b, l = z − c y una hessiana 3×3; el término de orden 2 desarrollado es

El resto. Si f es C^k+1 en un entorno de A, para cada X de ese entorno vale f(X) = p_k(X) + T_k, y existe un punto B del segmento entre A y X que permite escribir el término complementario con las derivadas de orden k + 1 evaluadas en B (expresión de Lagrange). La que más vas a usar es la de orden 1:

Y la versión cualitativa: el error de p_k es chico comparado con ‖X − A‖^k, es decir T_k / ‖X − A‖^k → 0 cuando X → A. Por eso p₂ aproxima mejor que p₁ cerca de A, y por eso la aproximación se degrada lejos de A.

2. Escribir un polinomio en potencias de (x − a) y (y − b)

Es el ej. 1 del TP. Un polinomio de grado n coincide con su propio polinomio de Taylor de orden n en cualquier punto (el resto se anula porque las derivadas de orden n + 1 son cero). Así que "expresarlo en potencias de (x − 1) e (y + 1)" es calcular su Taylor de orden 3 en (1, −1), o, más rápido:

1. Cambiá de variables: x = 1 + u, y = −1 + v (u = x − 1, v = y + 1).
2. Reemplazá y desarrollá todo en u y v.
3. Volvé a escribir u = x − 1, v = y + 1. No queda resto: es una igualdad, no una aproximación.

Control: el término independiente tiene que ser p(1, −1), y los coeficientes de u y v tienen que ser p′_x(1, −1) y p′_y(1, −1).

3. Leer f(A), ∇f(A) y Hf(A) de un Taylor dado

Es la forma en que más toman Taylor en el parcial. La propiedad de coincidencia dice que f y p tienen el mismo valor y las mismas derivadas en A hasta el orden del polinomio. Entonces:

1. f(A) = p(A). Evaluá el polinomio en A.
2. ∇f(A) = ∇p(A). Derivá p y evaluá en A.
3. Hf(A) = Hp. Si p es de orden 2, sus derivadas segundas son constantes: la hessiana de f en A es la hessiana de p.
4. Si p es de orden 1, sólo tenés f(A) y ∇f(A): no hay información de derivadas segundas.

Si p está escrito en potencias de (x − a) y (y − b), los coeficientes se leen directo, con un cuidado:

4. Taylor de una composición y de una función implícita

Composición, orden 1. Si h = g ∘ f con f diferenciable en A y g diferenciable en f(A), entonces h(A) = g(f(A)) y ∇h(A) = ∇g(f(A)) · Df(A) (regla de la cadena, sección 6 de esta guía). Con eso armás p₁ de h. Es el formato de 10 de los 11 ejercicios de regla de la cadena del corpus que traen un Taylor: el polinomio de g te da g(f(A)) y ∇g(f(A)), y la cadena hace el resto. En el otro (16/12/25) el Taylor es de la compuesta h y la cadena se usa al revés, para despejar ∇g.

Composición con una función de una variable, orden 2. Si h = φ ∘ g con φ: ℝ → ℝ y g campo escalar, ambas C²:

En un punto crítico de g (∇g(A) = 0) el primer sumando desaparece y queda Hh(A) = φ′(g(A)) Hg(A): la hessiana de h es la de g multiplicada por un número. Esto es lo que usan los ej. 12 y 13 y varios parciales (ver apartado 11).

Función implícita, orden 2 (ej. 5). Si F(x, y, z) = 0 define z = f(x, y) cerca de un punto con F′_z ≠ 0:

1. Verificá que el punto cumple la ecuación y que F′_z ≠ 0 ahí (hipótesis del teorema de la función implícita, TP IV).
2. Derivadas primeras: f′_x = −F′_x/F′_z, f′_y = −F′_y/F′_z, evaluadas en el punto.
3. Derivadas segundas: derivá otra vez la identidad F(x, y, f(x, y)) = 0, o derivá el cociente anterior acordándote de que z depende de x e y (cada vez que derivás algo con z respecto de x aparece un factor z′_x). Evaluá recién al final.
4. Armá p₂ con los valores obtenidos.

5. Aproximar valores con Taylor

1. Elegí la función que, evaluada en un punto, da el número pedido (para 1.01^1.98: f(x, y) = x^y).
2. Elegí A cerca del punto, donde f y sus derivadas se calculan exactas (A = (1, 2)).
3. Calculá f(A), ∇f(A) (y Hf(A) si piden orden 2). Justificá que f es de la clase necesaria en un entorno de A que contiene al punto.
4. Evaluá p_k en el punto: los incrementos son x − a, y − b (acá 0.01 y −0.02).

"Demostrar que f(x, y) ≅ q(x, y) cerca de A" (ej. 4) es probar que q es el polinomio de Taylor del orden que corresponde: calculás p₁ y ves que da q.

6. Extremos locales: definiciones y condición necesaria

Sea f: D ⊂ ℝⁿ → ℝ y A interior a D.

• f(A) es máximo local si existe un entorno E(A) donde f(X) < f(A) para todo X ≠ A (mínimo local: f(X) > f(A)).
• Así, con desigualdad estricta, lo define la síntesis de la cátedra (sentido estricto). En sentido amplio se pide ≤ (o ≥). Ejemplo de la diferencia: f(x, y) = (2x − 3y + 4)² vale 0 en toda una recta y es ≥ 0 en todo el plano; cada punto de la recta es mínimo en sentido amplio, pero no estricto (ej. 8 h).
• f(A) es máximo (mínimo) absoluto en S si f(X) ≤ f(A) (≥) para todo X ∈ S (sentido amplio; la síntesis lo define también en sentido estricto, con < para X ≠ A). Un extremo absoluto en un punto interior es también local en el mismo sentido: el estricto da un local estricto y el amplio, sólo un local amplio (cada punto de la recta del ejemplo anterior es mínimo absoluto y no es mínimo local estricto).

Por qué. Para cualquier dirección r, la función de una variable φ(t) = f(A + t r) tiene un extremo local en t = 0, y es derivable ahí. Por el caso de una variable, φ′(0) = 0. Pero φ′(0) = f′(A, r) = ∇f(A) · r. Si eso es 0 para todo r, el gradiente es nulo. (Más general: si existe la derivada direccional en A en la dirección r, tiene que ser 0.)

Entonces los únicos candidatos a extremo local en el interior son los puntos críticos:

7. Clasificación con el hessiano en dos variables

Hipótesis: f de clase C² en un entorno de A y ∇f(A) = 0. Sea Δ = det Hf(A) = f″_xx(A) f″_yy(A) − [f″_xy(A)]². (La síntesis de la cátedra llama "hessiano" H(A) a este determinante.)

Con Δ > 0, f″_xx y f″_yy tienen el mismo signo (su producto supera a un cuadrado), así que podés mirar cualquiera de las dos. Con Δ > 0 nunca puede ser f″_xx(A) = 0.

De dónde sale. Con ∇f(A) = 0, el desarrollo de Taylor con resto del apartado 1 queda f(A + H) − f(A) = ½ Hᵀ Hf(B) H con B entre A y A + H. Como las derivadas segundas son continuas, si la forma cuadrática Q(h, k) = a h² + 2b hk + c k² (con a = f″_xx(A), b = f″_xy(A), c = f″_yy(A)) tiene signo definido, la de Hf(B) también lo tiene para B cerca de A, y el signo de f − f(A) queda fijado. Completando cuadrados (con a ≠ 0):

Si Δ > 0 los dos sumandos tienen el signo de a: Q es definida (positiva si a > 0, negativa si a < 0) y hay mínimo o máximo. Si Δ < 0 los dos sumandos tienen signos opuestos: Q toma valores de los dos signos (sobre la recta k = 0 tiene el signo de a, sobre la recta h = −(b/a)k el contrario) y f − f(A) también, así que hay silla. Si Δ = 0, Q se anula en toda una dirección y en esa dirección mandan los términos de orden 3 o más, que el criterio no mira.

8. Tres variables: menores principales o autovalores

Con f de clase C² en un entorno de A ∈ ℝ³ y ∇f(A) = 0, se miran los menores principales de la hessiana, los determinantes de las submatrices de arriba a la izquierda:

Los autovalores dicen un poco más: si hay uno positivo y uno negativo, es silla aunque otro sea 0 (sobre la dirección de cada uno, f sube o baja). Sólo es caso dudoso de verdad cuando hay ceros y los demás autovalores tienen todos el mismo signo. En dos variables, H₁ = f″_xx y H₂ = Δ: es el mismo criterio del apartado 7.

9. Cuando el hessiano no decide

Pasa en dos situaciones: Δ = 0 (o H₃ = 0 con autovalores que no deciden) y en los puntos donde f no es C² o ni siquiera diferenciable, donde el criterio directamente no se aplica. En los dos casos se vuelve a la definición: hay que estudiar el signo de f(X) − f(A) para X cerca de A.

Puntos no diferenciables. El ej. 19 es el modelo: f(x, y) = √(x² + y²) fuera del origen y f(0, 0) = k. No hay derivadas parciales en el origen, así que nada de hessiano; se compara directo: cerca del origen f(X) = ‖X‖ es positivo y chico. Si k ≤ 0, f(X) > k para X ≠ 0: mínimo. Si k > 0, en el entorno de radio k vale f(X) < k: máximo. Lo mismo pasa con las raíces de los ej. 8 b, c y d en el borde de su dominio, donde además el punto deja de ser interior.

10. Extremos con parámetros

Es la variante más tomada del tipo H (18 de 42). El enunciado dice "hallá a y b para que f tenga un punto crítico (o un extremo) en A y clasificalo".

1. Imponé ∇f(A) = 0. Son ecuaciones en los parámetros; resolvelas. Si piden "extremo", esto es obligatorio (condición necesaria), no opcional.
2. Calculá Hf(A) con los parámetros que quedaron libres o con los valores hallados.
3. Separá en casos según el signo de Δ (y de f″_xx): Δ > 0 da extremo, Δ < 0 silla.
4. Los valores que anulan Δ se analizan aparte con el apartado 9. No los descartes ni los metas en un caso a ojo.
5. Contestá exactamente lo que piden: valores, tipo de extremo y, si lo piden, el valor f(A).

Así lo tomaron en el diferido del 21/10/2024 (Ej 5), repetido textual en el diferido del 11/5/2026 (Ej 5):

11. Extremos cuando f viene dada por datos

Con un polinomio de Taylor. Diez parciales del corpus dan la función así. Se usan los apartados 3 y 10 juntos.

Composición con una función monótona (ej. 12 y 13). Si φ es estrictamente creciente, f = φ ∘ g tiene extremos exactamente donde g y del mismo tipo: g(X) < g(A) implica φ(g(X)) < φ(g(A)). Si φ es estrictamente decreciente (como 1/t para t > 0), se intercambian máximos y mínimos. No hace falta hessiano, aunque sale igual si φ′(g(A)) ≠ 0: en un punto crítico, Hf = φ′(g(A)) Hg, que tiene el determinante con el mismo signo (en 2 variables, multiplicado por φ′²) y f″_xx con el signo de φ′ por g″_xx.

Restringir sirve para descartar. Si una función diferenciable restringida a una recta que pasa por A tiene derivada no nula en A, entonces ∇f(A) · (dirección) ≠ 0 y ∇f(A) ≠ 0: f no tiene extremo en A (ej. 20). Al revés no vale: tener un extremo sobre un plano o una curva no hace que A sea punto crítico de f en todo su dominio (ej. 21: f = x² + y² + z + 2 tiene mínimo sobre el plano, pero f′_z = 1 nunca se anula). Eso ya es un extremo condicionado, apartado 13.

12. Extremos absolutos: el teorema de Weierstrass

Es el único teorema del curso que garantiza que los extremos absolutos existen. Las tres hipótesis importan:

Procedimiento para f continua en un compacto S:

1. Justificá la existencia: f continua (decí por qué) y S cerrado y acotado.
2. Interior: puntos críticos de f que estén en el interior de S (los de afuera se descartan). No hace falta clasificarlos: alcanza con evaluarlos.
3. Frontera, por tramos: en cada tramo, parametrizá (o usá Lagrange) y buscá los críticos de la función de una variable en el interior del tramo.
4. Esquinas: los extremos de cada tramo (vértices, puntos donde cambia la fórmula del borde) se evalúan siempre.
5. Compará todos los valores: el mayor es el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto. Decí en qué puntos se alcanzan (puede ser más de uno).

Cuando el arco está dado como gráfico de una función, parametrizar es lo más corto. Así vino en el recuperatorio del 11/11/2023 (Ej 5, tema 1):

13. Extremos condicionados: multiplicadores de Lagrange

Ahora los puntos no recorren un abierto sino un conjunto S definido por una o dos ecuaciones (las condiciones de vínculo): una curva en el plano, una superficie o una curva en el espacio. Se buscan los extremos de f restringida a S.

Por qué. Como ∇g(A) ≠ 0, S es una curva (o superficie) regular cerca de A. Tomá cualquier curva r(t) contenida en S con r(0) = A. Entonces f(r(t)) tiene un extremo en t = 0, y su derivada ∇f(A) · r′(0) es 0: ∇f(A) es perpendicular a todos los vectores tangentes a S en A. ∇g(A) también lo es (g(r(t)) = 0 para todo t). Los vectores perpendiculares a la recta tangente (o al plano tangente, si S es una superficie) forman una recta, generada por ∇g(A) ≠ 0: entonces ∇f(A) es múltiplo de ∇g(A). La síntesis de la cátedra lo plantea como buscar los puntos críticos de w = f + λg, con λ como una variable más; es lo mismo con el signo de λ cambiado.

Geométricamente: en un extremo condicionado, la curva de nivel de f que pasa por A toca a la restricción sin cruzarla (son tangentes). Donde una curva de nivel la cruza, al recorrer S f sigue creciendo o decreciendo y no hay extremo.

Procedimiento:

1. Escribí la restricción como g(X) = 0 y verificá que f, g son C¹.
2. Buscá los puntos de S donde ∇g = 0. Ahí el teorema no se aplica: esos puntos se agregan a mano a la lista de candidatos.
3. Planteá el sistema: ∇f = λ ∇g (una ecuación por variable) y g = 0. Son n + 1 ecuaciones con n + 1 incógnitas (las coordenadas y λ).
4. Resolvé. El truco habitual: despejá λ de dos ecuaciones e igualá, o dividí ecuaciones para eliminar λ, y cuidá las divisiones por cero (cada vez que dividís por x, el caso x = 0 va aparte).
5. Clasificá: Lagrange sólo da candidatos. Si S es compacto, evaluá f en todos y aplicá Weierstrass (el mayor es el máximo absoluto sobre S, el menor el mínimo). Si no es compacto, argumentá aparte (por ejemplo, parametrizando).

Dos restricciones (una curva en el espacio, como la del ej. 23): con g₁ = 0 y g₂ = 0, la hipótesis es que ∇g₁(A) × ∇g₂(A) ≠ 0 (gradientes no paralelos: la intersección es una curva regular) y la conclusión es

Son 3 + 2 = 5 ecuaciones con incógnitas x, y, z, λ, μ.

14. La alternativa: parametrizar la restricción

Si podés describir S con una parametrización (despejando una variable o con seno y coseno), reemplazás en f y te queda un problema sin restricción, de una variable menos. La cátedra lo llama "imponer la condición de vínculo por composición", y el ej. 29 pide hacerlo de las dos maneras.

15. Distancias y problemas de optimización

1. Minimizá d², no d. La raíz es creciente, así que d y d² tienen los extremos en los mismos puntos, y d² no tiene raíces que derivar.
2. La función es d²(X) = ‖X − P‖² (P el punto fijo); la restricción es "X está en la curva o superficie".
3. Si la superficie es un gráfico z = h(x, y), reemplazá z: el problema queda libre en (x, y), con cuidado con el dominio de h (ej. 30).
4. En problemas de aplicación (cajas, envases): definí las variables con unidades, escribí qué se optimiza y cuál es el vínculo, y justificá por qué el candidato es el óptimo (en el borde del dominio la función se va a infinito, o el problema es compacto).

Distancia entre planos paralelos (ej. 28): con Lagrange se minimiza ‖P − Q‖² con P en un plano y Q en el otro (6 incógnitas y 2 multiplicadores); el sistema dice que P − Q es paralelo a la normal común. Control con la fórmula: para ax + by + cz = d₁ y ax + by + cz = d₂, la distancia es |d₁ − d₂| / ‖(a, b, c)‖.

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación cuya incógnita es una función de una variable y en la que aparecen sus derivadas. El TP VI cubre lo que el programa analítico pone en la unidad 6: EDO de primer orden (variables separables, lineales y Bernoulli) y trayectorias ortogonales, más las líneas de campo de un campo vectorial y aplicaciones básicas. Según el cronograma oficial del 2C2026 se da en las semanas 8 y 9 (antes del 1er parcial), pero se evalúa en el 2do parcial ("Desde Ecuaciones diferenciales (Guías de T.P. VI a X)").

Cuánto pesa, contado. En el corpus de 66 segundos parciales, recuperatorios, diferidos, integradores y el libre de 2022 a 2026 (325 ejercicios), ningún ejercicio tiene como tema principal una EDO ni una línea de campo. Eso no quiere decir que no se tome: 67 ejercicios la usan como primer paso (46 con una EDO o una familia ortogonal, 22 con una línea de campo, uno con las dos), y están repartidos de modo que los 66 exámenes, sin excepción, traen uno (uno trae dos); en los 17 exámenes desde 2025 también son 17 de 17. Por formato: 21 piden una línea de campo, 18 una curva de la familia ortogonal, 20 una función incógnita μ(x) o φ(x) para que un campo sea conservativo, 7 una función incógnita φ(x) con una condición sobre la divergencia o el flujo (en 5 de ellos, flujo nulo por la frontera de cualquier cubo o bola, o por toda esfera centrada en el origen), y 1 da la EDO explícita. Después, la integral (doble, de línea, de Green) se cobra entera. Si la curva te sale mal, el ejercicio entero se cae: este tema se estudia para que el primer paso salga solo. El apartado "La EDO como primer paso" muestra el formato con ejemplos reales.

8.1 Qué es una EDO: orden, linealidad y las dos formas de escribirla

La forma general es F(x, y, y′, …, y⁽ⁿ⁾) = 0. El orden es el de la derivada más alta que aparece de verdad. Una EDO de orden n es lineal si se puede escribir como

es decir: y y sus derivadas aparecen a la primera potencia, multiplicadas sólo por funciones de x, sin productos entre ellas (nada de y·y′, y², sen y, e^y′). Los coeficientes pueden ser cualquier función de x: y″ − 2y/x² = 0 es lineal. Si g ≡ 0 se dice lineal homogénea.

Una EDO de primer orden se escribe de dos maneras equivalentes. En forma normal, y′ = f(x, y). En forma diferencial, P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0; esta forma no decide quién es la variable independiente, y por eso sus soluciones pueden ser curvas que no son gráficos de funciones de x (rectas verticales, circunferencias enteras). Pasar de una a otra es "pasar el dx": y′ = −P/Q donde Q ≠ 0.

8.2 Soluciones: general, particular y singular

Una solución de una EDO de orden n en un intervalo I es una función n veces derivable en I que, reemplazada, cumple la ecuación para todo x ∈ I. También vale una relación implícita entre x e y (como y² + 4x² = C) si al derivarla implícitamente se recupera la ecuación. Con las definiciones de la cátedra:

• Solución general (SG): una solución que contiene n constantes arbitrarias esenciales, n = orden. "Esenciales" quiere decir que no se pueden juntar en menos: y = A e^x+B parece tener dos, pero A e^x+B = (A e^B) eˣ = K eˣ, una sola.
• Solución particular (SP): la que sale de la SG dándole valores a las constantes, en general para cumplir condiciones (y(x₀) = y₀, y en segundo orden también y′(x₀) = y₁).
• Solución singular (SS): una solución que no está incluida en la SG para ningún valor de las constantes.

1. Verificar que algo es solución: derivá lo que haga falta y reemplazá en la EDO; tiene que quedar una identidad en x (y en las constantes, si las hay). Si la relación es implícita, derivala implícitamente y despejá y′.
2. Decidir si es la SG: contá las constantes esenciales. Si hay menos que el orden, no es la SG (es una SP o una familia incompleta). Para mostrarlo alcanza con exhibir otra solución que no esté en la familia.

8.3 De la familia de curvas a la ecuación diferencial

Una familia con una constante (como y = C x²) es la SG de alguna EDO de primer orden. Hallar esa EDO es el problema inverso, y es el primer paso de las trayectorias ortogonales.

1. Derivá la ecuación de la familia respecto de x (implícitamente si hace falta, con y = y(x)). Si hay n constantes, derivá n veces.
2. Con la familia y sus derivadas, eliminá las constantes (despejá C de una ecuación y reemplazala en la otra).
3. Lo que queda, una relación entre x, y, y′, … sin constantes, es la EDO. Si en tu respuesta aparece C, todavía no terminaste.

8.4 Problema de valor inicial; existencia y unicidad

Un problema de valor inicial (PVI) de primer orden es y′ = f(x, y) con la condición y(x₀) = y₀: buscar la solución cuyo gráfico pasa por (x₀, y₀). En la práctica se halla la SG y se despeja la constante con la condición.

Las hipótesis son suficientes, no necesarias, y la conclusión es local. Qué pasa si fallan:

8.5 Variables separables

Una EDO es de variables separables si se puede escribir y′ = g(x)·h(y), o en forma diferencial M(x) dx + N(y) dy = 0. La idea: si y(x) es solución y h(y(x)) ≠ 0, entonces y′/h(y) = g(x); integrando en x y cambiando la variable u = y(x) a la izquierda, queda ∫ dy/h(y) = ∫ g(x) dx + C. Por eso funciona "pasar el dx".

1. Escribí y′ = g(x) h(y). A veces hay que factorizar: y′ + 2xy = 4x es y′ = 2x(2 − y).
2. Antes de dividir, buscá los ceros de h: cada y₀ con h(y₀) = 0 da una solución constante y ≡ y₀. Anotalas.
3. Dividí y separá: dy/h(y) = g(x) dx. Integrá cada lado con una sola constante.
4. Despejá y si se puede. Con logaritmos, |y| = e^c·e^G(x) se reescribe y = K e^G(x) con K ≠ 0; si y ≡ 0 era solución, entra con K = 0.
5. Revisá si las soluciones constantes del paso 2 están en la SG para algún valor de la constante. Si no, son singulares y van en la respuesta.
6. Si hay condición inicial, despejá la constante y decí en qué intervalo vive la solución.

8.6 Lineales de primer orden

Forma: y′ + P(x) y = Q(x), con P y Q continuas en un intervalo. Si la ecuación viene como a(x) y′ + b(x) y = c(x), primero dividí por a(x) (en un intervalo donde a ≠ 0): el método usa el P de la forma normalizada.

Factor integrante. Se busca μ(x) > 0 tal que μ (y′ + P y) sea la derivada de un producto: (μ y)′ = μ y′ + μ′ y, así que hace falta μ′ = P μ, que es separable y da μ = e^{∫P dx} (cualquier primitiva sirve; no hace falta constante). Entonces:

Variación de constantes (Lagrange), el otro camino, da lo mismo: la homogénea y′ + P y = 0 tiene SG y_h = C e^−∫P; se propone y = C(x) e^−∫P, se reemplaza, los términos con C se cancelan y queda C′(x) = Q e^∫P. La estructura de la respuesta es siempre y = y_h + y_p: SG de la homogénea más una solución particular de la completa. (La síntesis de la cátedra lo presenta también como y = u·v, con v una solución no nula de la homogénea; es la misma cuenta.)

1. Normalizá: coeficiente 1 en y′. Leé P y Q con su signo y anotá el intervalo donde son continuas.
2. μ = e^∫P. Simplificá: e^{ln x} = x en x > 0, e^{−2 ln x} = x⁻².
3. Escribí (μ y)′ = μ Q, integrá con una constante y despejá y: la C queda dividida por μ.
4. Condición inicial al final, sobre la SG ya despejada.

Una misma ecuación puede ser de los dos tipos: y′ + 2xy = 4x es lineal (P = 2x) y separable (y′ = 2x(2 − y)). Toda lineal homogénea es separable. Usá el camino más corto, pero acordate de las soluciones constantes si separás.

8.7 Ecuación de Bernoulli

Forma: y′ + P(x) y = Q(x) yⁿ, con n real, n ≠ 0 y n ≠ 1 (con n = 0 es lineal y con n = 1 es separable). No es lineal, pero el cambio z = y¹⁻ⁿ la convierte en lineal: dividiendo por yⁿ queda y⁻ⁿ y′ + P y¹⁻ⁿ = Q, y como z′ = (1 − n) y⁻ⁿ y′,

1. Identificá n, P y Q (con la ecuación normalizada).
2. Si n > 0, anotá que y ≡ 0 es solución (al dividir por yⁿ la perdés).
3. Resolvé la lineal en z con factor integrante.
4. Volvé a y: y = z^1/(1−n) (con n = 2, y = 1/z).

En la guía no hay ningún ejercicio rotulado "Bernoulli": la 7.b (x y′ − y² = x y²) tiene la forma con P = 0 y n = 2, pero se resuelve más rápido separando. La ecuación logística P′ = kP(1 − P/M) también es de Bernoulli (n = 2) y separable; su solución es P = M/(1 + A e^−kt).

8.8 Exactas y factor integrante: van en la sección 9

La forma P dx + Q dy = 0 es exacta cuando el campo (P, Q) es un gradiente ∇U; entonces las soluciones son las curvas U(x, y) = K. Con P y Q de clase C¹ en un dominio simplemente conexo, eso pasa si y sólo si P′_y = Q′_x. Si no es exacta, a veces se arregla multiplicando por un factor integrante μ(x) o μ(y). El programa pone esto en la unidad 7, con campos de gradientes y función potencial, y la guía lo trabaja en el TP VII: está en la sección 9 de esta guía. Ejemplo de la guía: la 7.j, 2x dx + x² y⁻¹ dy = 0, no es exacta (P′_y = 0, Q′_x = 2x/y), pero multiplicada por y queda 2xy dx + x² dy = d(x² y) = 0, que es exacta y da x² y = C; separando sale lo mismo.

8.9 Ecuaciones de segundo orden: lo que pide la guía

La síntesis S-6 de la cátedra aclara que en la materia sólo se estudian las EDO de primer orden, aunque se mencionen otros ejemplos. En la guía, las de orden 2 o 3 aparecen sólo para:

• Clasificar y verificar (ej. 1.c y 1.d): reemplazar la función dada y contar constantes.
• Ajustar dos constantes con dos condiciones a partir de una SG dada (ej. 3.d): y(x₀) y y′(x₀) dan un sistema lineal en C₁ y C₂.
• Integrar dos veces cuando la ecuación es y″ = f(x) (ej. 12 y 13): cada integración agrega una constante y cada condición inicial fija una.
• Bajar el orden cuando no aparece y (ej. 14): con v = z′ la ecuación m z″ = m g − γ z′ es lineal de primer orden en v.

Ningún ejercicio del TP VI pide hallar por cuenta propia la SG de una lineal de segundo orden a coeficientes constantes; cuando aparece una (3.d), la SG viene dada.

8.10 Trayectorias ortogonales

Dos familias de curvas del plano son ortogonales si en cada punto donde se cortan una curva de cada una, sus rectas tangentes son perpendiculares. Si las pendientes son m₁ y m₂, perpendiculares quiere decir m₁·m₂ = −1, o sea m₂ = −1/m₁ (si una tangente es horizontal, la otra es vertical).

Por eso, si la familia dada cumple y′ = m(x, y), la familia ortogonal cumple y′ = −1/m(x, y): en cada punto, la pendiente que pide es la perpendicular a la de la familia dada.

1. EDO de la familia dada (8.3): derivá y eliminá la constante. Tiene que quedar una relación entre x, y, y′ sin C.
2. Cambiá y′ por −1/y′ en esa EDO.
3. Resolvé la EDO nueva (casi siempre separable) y escribí la familia con su propia constante.
4. Si piden la curva por un punto, despejá la constante. Revisá curvas perdidas al dividir (ejes, rectas verticales).

8.11 Líneas de campo

Una línea de campo (o línea de flujo) de un campo F es una curva que en cada punto es tangente a F y está orientada en el sentido de F. Con una parametrización g: g′(t) tiene que ser paralelo a F(g(t)) y con el mismo sentido, para todo t. En los tres ítems del ej. 10 de la guía la parametrización dada cumple algo más fuerte, g′(t) = F(g(t)): la velocidad de la curva es el campo en cada punto. Si sólo se pide la curva, alcanza con la condición de paralelismo.

Ecuación cartesiana. En el plano, con F = (P, Q), tangente paralela a F significa (dx, dy) ∥ (P, Q):

En ℝ³, con F = (P, Q, R): dx/P = dy/Q = dz/R. Son dos ecuaciones (por ejemplo dx/P = dy/Q y dx/P = dz/R); cada una da una familia de superficies, y la línea de campo es la intersección de una superficie de cada familia (dos constantes).

1. Planteá dx/P = dy/Q. Antes de dividir, mirá dónde se anulan P y Q.
2. Resolvé la EDO que salga. Si dy/dx queda feo, probá dx/dy: a veces es lineal en x(y).
3. Agregá las líneas que el despeje pierde: si P = 0 sobre la recta x = a (y Q ≠ 0 ahí), esa recta es línea de campo; si Q = 0 sobre y = b, también.
4. Los puntos con F = 0 son puntos de equilibrio: por ahí no pasa ninguna línea (la "línea" es el punto quieto). Partí las curvas en esos puntos.
5. Orientación: evaluá F en uno o dos puntos de cada curva y marcá hacia dónde apunta. El signo de P dice si x crece; el de Q, si crece y.

8.12 Aplicaciones: armar la EDO de un modelo

Un enunciado de modelado describe la velocidad de cambio de una magnitud. El trabajo es traducir esa frase a una EDO, resolverla y usar los datos para las constantes (la de integración y la del modelo).

1. Nombrá la incógnita y la variable (T(t), m(t), v(t)) con unidades.
2. Traducí: "proporcional a" es "igual a k por"; "disminuye" pide un signo menos con k > 0.
3. Resolvé (casi siempre lineal de coeficientes constantes o separable).
4. Con la condición inicial sacá la constante de integración; con un dato más, la constante del modelo.
5. Contestá lo que se pregunta (un tiempo, un porcentaje, un límite) y controlá el sentido físico.

8.13 Curvas con condiciones sobre la tangente o la normal

"Halle las curvas tales que, en cada punto, la recta tangente…": la condición vale en un punto genérico (x, y) de la curva, con pendiente y′, así que se convierte en una EDO. Las cuatro cantidades que se usan, con la tangente Y − y = y′(X − x) y la normal Y − y = −(1/y′)(X − x):

1. Escribí la recta (tangente o normal) en el punto genérico (x, y) de la curva, con X, Y como variables de la recta.
2. Traducí la condición con la tabla y despejá y′.
3. Resolvé la EDO y revisá casos perdidos (rectas por el origen, ejes).

8.14 La EDO como primer paso: el formato del 2do parcial

Así aparece el tema en los exámenes reales: la curva o la función que hay que integrar no está dada, se define con una EDO. Los cinco formatos contados:

Trampas del tema

Este TP enseña a integrar a lo largo de una curva: un campo escalar (longitud, masa de un alambre, valor medio) o un campo vectorial (circulación, trabajo de una fuerza). Después estudia los campos de gradientes, los que tienen función potencial, para los que la circulación sólo depende de los extremos. Entra en el 2do parcial (TP VI a X). Es el tipo con más ejercicios en los exámenes reales contados para esta guía (66 exámenes del 2do parcial: parciales, recuperatorios, integradores y un libre): el tipo circulación, potencial e independencia del camino aparece como tema principal en 56 ejercicios de 50 exámenes (14 de los 17 exámenes desde 2025; Green está en un examen más, 51, pero con 52 ejercicios), sobre todo en las posiciones 4 y 5, y como tema secundario en otros 39 (27 de Green y 12 de Stokes, donde también hay que separar un gradiente). De esos 56, en 22 la curva o la función a hallar sale de una ecuación diferencial y en 11 de una línea de campo. La integral de un campo escalar (longitud, masa) aparece en 8 exámenes, 5 de ellos desde 2025.

El programa analítico agrega en esta unidad la ecuación diferencial total exacta y el factor integrante (9.13), y las líneas de campo, que se resuelven en la sección 8 y acá se usan como curva de integración (9.12).

9.1 Curvas: parametrización, regularidad y orientación

Un arco de curva C es la imagen de una función g : [a, b] → ℝⁿ continua. La ecuación X = g(t), t ∈ [a, b], es una parametrización de C. Vocabulario que usa la cátedra:

• Punto regular: g′(t₀) existe y es ≠ 0. Curva suave: g′ es continua y no se anula (hay recta tangente en cada punto y varía con continuidad).
• Suave a trozos: se parte en una cantidad finita de arcos suaves (una poligonal, el borde de un cuadrado, un arco de parábola seguido de un segmento). Todas las integrales de esta sección se calculan tramo por tramo y se suman.
• Cerrada: g(a) = g(b). Simple: no se corta a sí misma (salvo, si es cerrada, en los extremos).
• Orientación: la parametrización recorre C desde el punto inicial A = g(a) hacia el punto final B = g(b). El versor tangente que acompaña al recorrido es T̆ = g′/‖g′‖.

Invertir la orientación. Si g recorre C de A a B, entonces h(t) = g(a + b − t), t ∈ [a, b], recorre la misma curva de B a A (cualquier cambio de variable continuo y estrictamente decreciente sirve). En una circunferencia también podés cambiar el signo de una componente: (r cos t, −r sen t) va en sentido horario.

Curva intersección de dos superficies. Es una de las formas más comunes de darla, junto con la parametrización directa y la curva que sale de una EDO (9.12): "C definida por x² + y² = 4, x + z = 3, y ≥ 0".

1. Buscá en el sistema una ecuación con dos variables que sea una cónica conocida (un cilindro: x² + y² = 4, x² + y² = 2y, x + y² = 1) o una variable que se despeje fácil.
2. Parametrizá esa cónica con t, y obtené la tercera coordenada despejándola de la otra ecuación. Comprobá que el resultado cumpla las dos ecuaciones.
3. Traducí las desigualdades (y ≥ 0, primer octante, "contenido en la bola…") a un intervalo de t. Si queda una unión de intervalos, la curva tiene varios tramos.
4. Recién ahí elegí la orientación (ver abajo) y, si no coincide, invertila.

Cómo te dan la orientación en los exámenes y cómo controlarla. Siempre se controla con g′(t):

Rapidez y reparametrización (ej. 2). Si t es el tiempo, g′(t) es la velocidad y ‖g′(t)‖ la rapidez. Cambiar t por 4t recorre la misma curva cuatro veces más rápido con el mismo sentido; cambiar t por −t/2 la recorre dos veces más lento y al revés. La curva (el conjunto) es la misma: cambian la velocidad y, si el cambio es decreciente, la orientación.

9.2 Longitud de arco

Si C es un arco suave (o suave a trozos) de ecuación g(t), t ∈ [a, b], que se recorre una sola vez, su longitud es el límite de las longitudes de las poligonales inscriptas, y vale

ds es el diferencial de longitud de arco: un intervalito dt del parámetro se convierte en un pedacito de curva de largo ‖g′(t)‖ dt. La longitud no depende de la parametrización (si cambiás t = u(τ) con u′ ≠ 0, aparece |u′(τ)| del cambio de variable y se compensa) ni de la orientación. Ojo: si la parametrización recorre la curva dos veces, la integral da el doble.

Parametrización por longitud de arco. La función s(t) = ∫_a^t ‖g′(τ)‖ dτ mide cuánto se recorrió desde g(a); es estrictamente creciente, así que se puede despejar t = t(s) y escribir X = g(t(s)), s ∈ [0, L]. Con ese parámetro la rapidez es 1 en todos los puntos. Para tomar otro origen de abscisas curvilíneas P₀ = g(t₀), integrá desde t₀: s(t) = ∫_t₀^t ‖g′‖, que da valores negativos antes de P₀ (ej. 4.b).

9.3 Integral de un campo escalar sobre una curva

Sea f continuo en un conjunto que contiene a C. Partí C en pedacitos de largo Δsᵢ, elegí un punto Pᵢ en cada uno y sumá f(Pᵢ) Δsᵢ: el límite de esas sumas, cuando los pedacitos se achican, es la integral de f a lo largo de C respecto de la longitud de arco. Con una parametrización suave se calcula así:

1. Parametrizá C (por tramos si hace falta) y fijá el intervalo de t con las condiciones del enunciado.
2. Calculá g′(t) y su norma. Simplificá antes de seguir: muchas veces f(g(t)) y ‖g′(t)‖ tienen la misma raíz y se cancelan.
3. Reemplazá x, y, z por las componentes de g(t) en f.
4. Integrá en t de menor a mayor (el resultado tiene que salir ≥ 0 si f ≥ 0).

9.4 Aplicaciones: masa, centro de masa, valor medio, momentos

Pensá C como un alambre fino y f como algo que se reparte por unidad de longitud (densidad lineal de masa en kg/m, carga en C/m, costo en $/m). Entonces ∫_C f ds es el total.

Traducciones típicas del enunciado: "proporcional a la distancia al plano xz" es δ = k|y|; "proporcional al producto de las distancias a los planos coordenados" es δ = k|x||y||z|; "proporcional a la distancia al origen" es δ = k√(x² + y² + z²). Los valores absolutos importan si la curva pasa por zonas con coordenadas negativas.

9.5 Integral de línea de un campo vectorial: circulación y trabajo

Sea f continuo en un conjunto que contiene a C, y C orientada por g(t), t ∈ [a, b]. La circulación (o integral de línea) de f a lo largo de C es

La última forma dice qué mide: suma la componente tangencial f · T̆ del campo a lo largo de la curva. Si f es una fuerza, es el trabajo que hace sobre una partícula que recorre C. Si C es cerrada se escribe ∮_C.

Notación con diferenciales. Con f = (P, Q, R) y ds = (dx, dy, dz) = (x′(t), y′(t), z′(t)) dt:

Es lo mismo: cuando el enunciado dice "calcule ∫_C (3x − 2y²) dx + (y³ − 4xy) dy", el campo es f = (3x − 2y², y³ − 4xy). Cada término se puede calcular por separado: ∫_C P dx sólo necesita x(t) e y(t) para P y x′(t).

Propiedades. Es lineal en f; si C = C₁ ∪ C₂ (uno a continuación del otro), ∫_C = ∫_C₁ + ∫_C₂; si −C es C recorrida al revés, ∫_−C = −∫_C. Tres casos que se resuelven sin cuentas: si f es perpendicular a C en todo punto, la circulación es 0; si f = H T̆ con H constante (tangente y de módulo constante), vale H · L (ej. 27); si f es constante y C va de A a B, vale f · (B − A).