Física de los Sistemas de Partículas · Guía del parcial

En Física de los Sistemas de Partículas (CB020) hay un solo parcial, con dos recuperatorios, y entran las unidades 1 a 3: mecánica de la partícula, sistemas de partículas y cuerpo rígido. En el 2C2026 el parcial es la semana del 26/10, el primer recuperatorio la del 16/11 y el segundo la del 7/12, según el cronograma de la cátedra, que es tentativo.

Qué apareció en 117 exámenes reales

Se reunieron 117 parciales y recuperatorios de 1C2024 a 1C2026, de 22 cursos, con 356 ejercicios. Cada ejercicio se clasificó por su tema principal:

Por unidad: 159 ejercicios de cuerpo rígido, 128 de sistemas de partículas y 59 de la unidad 1. Hidrodinámica y ondas casi no aparecen: sólo en un segundo parcial que tomó un curso en 2C2024 y en hojas de Física I, la materia anterior. Para el parcial de FSP no entran.

La mayoría de los exámenes trae 2 o 3 ejercicios (88 de 117), cada uno con varios ítems. Algunos cursos dividen la hoja en módulos, o ponen ejercicios obligatorios y otros a elección.

Cómo usar esta guía

Las secciones siguen el orden de lo que más apareció. Cada una tiene:

• cómo se reconoce ese tipo de ejercicio y qué variantes aparecieron;
• el procedimiento paso por paso, con lo que hay que justificar por escrito;
• las trampas en las que más se cae;
• preguntas para practicar las decisiones;
• los ejercicios reales resueltos, con el curso y el cuatrimestre de cada uno.

La última sección, Los exámenes, curso por curso, junta los 117 exámenes por docente: elegí tu curso y mirá qué tomó y cuántos ejercicios trae. La teoría de cada tema está en la guía completa de la materia, con los problemas de la guía de la cátedra resueltos.

Un choque casi nunca viene solo: es una etapa en el medio de una cadena. Antes hay una bajada, un resorte que lanza o una fuerza que empuja; después, una subida, un resorte que frena, un tramo con rozamiento o una vuelta completa. Esta sección muestra cómo se arma esa cadena en un examen, qué hay que conservar en cada etapa y dónde se equivoca la mayoría.

Cuánto apareció y en qué cursos

En los 117 parciales y recuperatorios reunidos, de 1C2024 a 1C2026, hay 356 ejercicios, y 73 tienen un choque o una explosión como tema principal: uno de cada cinco, el tipo de ejercicio más frecuente de todos. Por cuatrimestre:

Aparecieron en cursos muy distintos: Chiabrando (13), Viñales (8), Ferrini (7), Saccone (7), Aguirre (6), Moreno (6), Rossi (5), Corach y Sola (4), Sola (3), Toscani (3), Acosta y Sola (3), Camuyrano (2) y Corsini (2), y con uno solo, los cursos de Corach, de Dadamia y Rossi, de Racero y de Cornejo. Esos números dependen también de cuántos exámenes de cada curso se consiguieron.

Cómo se reconoce

Las señales son dos cuerpos que se tocan durante un instante y salen con velocidades distintas de las que traían: una bala que se incrusta o que atraviesa (perfora) un bloque, dos bloques que quedan unidos, una bola que rebota, un cuerpo que choca elásticamente, uno que se parte en fragmentos. A veces el enunciado lo dice con todas las letras: el tiempo de contacto es despreciable.

Y casi siempre, además de las velocidades, piden algo de esta lista: la variación de energía cinética en el choque (o el trabajo de las fuerzas internas), el impulso sobre uno de los cuerpos, calificar el choque (elástico, inelástico, plástico o explosivo), analizar qué se conserva durante el choque y por qué, o el momento cinético respecto de un punto antes y después.

Las variantes que aparecieron

Los 37 ejercicios resueltos de esta sección (1C2025 a 1C2026) se agrupan en cuatro variantes:

Variante 1. Es la más frecuente y tiene varias caras: el péndulo balístico de siempre, con la bala incrustada (Chiabrando, 1er recuperatorio 2C2025); el proyectil que atraviesa el bloque y sigue con una fracción de su velocidad (Chiabrando, parcial 1C2025; Ferrini, recuperatorio 1C2026); el pedido de vuelta completa, con hilo o con barra (Aguirre, parcial 1C2025; Sola, parcial 2C2025; Toscani, recuperatorio 1C2025); el péndulo que golpea a otro cuerpo (Ferrini, parcial 1C2026, dos péndulos con choque elástico; Corsini, recuperatorio 1C2025); el péndulo que no está quieto sino que viene bajando (Corach y Sola, 1er recuperatorio 2C2025). En dos casos, antes del choque hay un impulso de una fuerza que depende del tiempo, F(t), que hay que integrar para tener la velocidad de llegada (Ferrini, parcial 1C2025; Moreno, parcial 2C2025).

Variante 2. Hay un resorte que lanza o frena, un tramo con rozamiento, una pista semicircular con un tiro horizontal desde arriba (Viñales, parcial 1C2025) o un plano inclinado. En dos ejercicios de 1C2026 la bala llega oblicua al bloque con resorte (Camuyrano y Chiabrando, parciales), y entonces se suma lo de la variante 3.

Variante 3. El cuerpo golpeado está apoyado en algo que no lo deja moverse en alguna dirección: el piso cuando la bala llega en diagonal o cuando un paquete cae dentro de un carrito (Toscani, recuperatorio 2C2025), una cuña libre sobre un piso liso (Moreno, recuperatorio 2C2025; Chiabrando, 1er recuperatorio 2C2025; Viñales, recuperatorio 1C2026) o una cuña contra una pared (Saccone, parcial 1C2025). La pregunta central suele ser qué componente de P se conserva.

Variante 4. Choques en dos dimensiones sobre una mesa lisa: plásticos (Viñales, parcial 2C2025; Sola, parcial 1C2025), con un cuerpo que sale a 90° (Rossi, 1er recuperatorio 1C2025), con tres bolas (Saccone, parcial 1C2026) o con un cuerpo que se parte en dos (Saccone, 2do recuperatorio 1C2026). Suelen pedir calificar el choque y, en los de Rossi y Sola, el momento cinético respecto de un punto.

Entre los 37 no hay una explosión pura. Si aparece, se resuelve con el mismo procedimiento: durante la explosión las fuerzas que separan las partes son internas, P se conserva (el peso no es impulsivo) y la energía cinética sube, porque la aporta la energía química o la de un resorte comprimido.

El procedimiento, paso por paso

La teoría de los choques está en la sección 8 de la guía completa, y la de impulso, cantidad de movimiento y centro de masa, en la sección 7 de la guía completa. Acá va el orden en que conviene escribirlo en el examen.

Paso 1. Partí el problema en etapas. Antes del choque, el choque, después del choque. El choque se toma como instantáneo: dos instantes, justo antes (subíndice i) y justo después (subíndice f), en los que los cuerpos están en el mismo lugar. Hacé un esquema de esos dos instantes con las velocidades y el eje elegido.

Paso 2. Para el choque, elegí como sistema a todos los cuerpos que chocan. Así las fuerzas del choque, que no conocés, son internas y se cancelan de a pares. El intervalo es el choque solo, de justo antes a justo después.

Paso 3. Mirá las fuerzas externas durante el choque y decidí qué componente de P se conserva. La condición es que el impulso externo en esa dirección sea nulo. Las fuerzas finitas (pesos, la fuerza de un resorte, el rozamiento con una normal finita) dan un impulso despreciable en un tiempo tan corto. Las que no son finitas son las de los vínculos que impiden un movimiento que el golpe quiere producir: el piso cuando algo llega en diagonal, una pared, el eje fijo de un cuerpo rígido. En la dirección en que actúa un vínculo así, P no se conserva. Y si el piso tiene rozamiento, la normal impulsiva hace impulsivo también al rozamiento, que es horizontal: su impulso puede llegar a μ_d por el impulso de la normal. Lo usual es despreciarlo y conservar P_x igual (en Chiabrando, parcial 1C2026, tenerlo en cuenta bajaría V de 4,33 m/s a unos 3,8 m/s), pero conviene escribir que se lo desprecia.

Paso 4. Decidí qué pasa con la energía en el choque. La conservación de la energía cinética se usa como ecuación sólo si el enunciado dice que el choque es elástico. Si los cuerpos quedan unidos (plástico) o uno atraviesa al otro, no se conserva, y el dato que falta lo da otra cosa: la velocidad de salida del proyectil, una altura, una compresión. Si el enunciado no dice nada, no se supone elástico: con la cantidad de movimiento y los datos de las otras etapas alcanza, y la energía queda como resultado. Ese resultado puede dar que se conservó (en Rossi, parcial 1C2026, da 12,5 J antes y después), pero eso se comprueba al final, no se supone.

Paso 5. El momento cinético, si lo piden o si hay un punto fijo. Se conserva L_O respecto de un punto O si las fuerzas externas impulsivas pasan por O (o no hay ninguna). En el péndulo con hilo, la tensión pasa por el punto de suspensión y L_O da la misma ecuación que P_x. Con un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo (unidad 3), en cambio, el eje puede dar un impulso horizontal: ahí no se conserva P_x y lo que se usa es L respecto del eje. En los choques sobre una mesa lisa, una partícula que va en línea recta a velocidad constante tiene el mismo momento cinético respecto de O en cualquier instante, así que se puede calcular con la posición del punto del choque.

Paso 6. Las etapas de antes y de después. Fuera del choque se usa lo de siempre: conservación de la energía mecánica si sólo trabajan fuerzas conservativas, teorema del trabajo y la energía si hay rozamiento, dinámica circular para una tensión o una normal. Muchas veces conviene ir de atrás para adelante: el dato está al final (la altura, la compresión, dónde frena), de ahí sale la velocidad justo después del choque, y con la cantidad de movimiento, la de justo antes.

Paso 7. Lo que se pide al final.

• ΔE_c del choque = E_c,f − E_c,i, con todos los cuerpos. Es el trabajo de las fuerzas internas: no tiene por qué ser cero aunque esas fuerzas sumen cero (es cero sólo en el choque elástico), porque sus puntos de aplicación no se desplazan igual.
• Impulso sobre un cuerpo = su Δp = m (v_f − v_i). Es un vector: se da con módulo, dirección y sentido. El impulso sobre el sistema es el de las fuerzas externas.
• Calificar el choque por la energía cinética del sistema: elástico si no cambia, inelástico si baja, plástico si los cuerpos quedan unidos (el caso en que más baja) y explosivo si sube.

Las trampas que más aparecieron

Los ejercicios resueltos

Abajo vienen los 37 ejercicios reales de este tipo, de parciales y recuperatorios de 1C2025 a 1C2026, de cursos distintos, cada uno con su resolución completa. Intentá cada uno antes de abrir la resolución: escribí las etapas, la justificación de qué se conserva en el choque y recién después las cuentas. Las preguntas de abajo repasan las decisiones que más pesan.

Un cilindro, un disco, una esfera, un carretel o un yoyó que avanza y gira al mismo tiempo: casi siempre rueda sin deslizar (RSD) sobre un piso o un plano inclinado, y a veces tira de un bloque con una soga o cuelga de una cuerda. Se resuelve con dos ecuaciones de Newton, una para la traslación del centro de masa y otra para la rotación, más un vínculo que las une, y después con energía. La teoría está en la sección 12 de la guía completa; acá va cómo se encara en el parcial.

Cuánto aparece y en qué cursos

En los 117 parciales y recuperatorios reunidos, de 1C2024 a 1C2026, hay 356 ejercicios, y 69 tienen como tema principal un cuerpo rígido en rototraslación: casi uno de cada cinco. Es el segundo tipo más frecuente, detrás de los choques (73). Por cuatrimestre se reparten así:

Aparecen en exámenes de 20 cursos, contando aparte los que figuran con dos docentes. Los que más tuvieron en el período: Chiabrando (9), Rossi (8), Saccone (7), Aguirre (6) y el curso de Acosta y Sola (5); después Cornejo, Toscani y el curso de Corach y Sola (4 cada uno); Ferrini, Moreno, Sola y Viñales (3); Racero y el curso 16 (2), y con uno cada uno, Camuyrano, Corach, Corsini, Núñez y los cursos de Toscani y Núñez y de Corsini y Núñez.

Cómo se reconoce

El enunciado dice "rueda sin deslizar" o "rueda sin resbalar", da el momento de inercia respecto del CM (I_CM = (1/2) M R² para un cilindro o disco macizo, (2/5) M R² para una esfera maciza) y el cuerpo apoya sobre algo con rozamiento. Lo que se pide suele venir en este orden, y conviene reconocerlo porque casi todos los ejercicios lo repiten:

• el diagrama de cuerpo libre, justificando el sentido del rozamiento;
• la aceleración del CM y la aceleración angular;
• el valor del rozamiento y si el μ_e alcanza para que ruede sin deslizar;
• una velocidad después de recorrer una distancia o de pasar un tiempo, por energía o por cinemática;
• qué se conserva y qué no, con la justificación.

Si el cuerpo gira alrededor de un eje fijo (una polea con masa, un péndulo físico), es otro tipo de ejercicio, aunque dentro de uno de estos aparezca una polea con masa.

Las variantes que aparecieron

Los 24 ejercicios resueltos de 1C2025 a 1C2026 se agrupan en seis variantes.

1. Rueda solo por un plano inclinado (4 ejercicios). Actúan el peso, la normal y el rozamiento, nada más. Es el caso base y el que más se repite con la misma estructura: una esfera en el parcial de Cornejo de 1C2025, un disco en el de 2C2025 y un cilindro en el de 1C2026, los tres con diagrama, aceleraciones y si μ_e = 0,2 alcanza para rodar sin deslizar; los de 1C2025 y 1C2026 piden además qué se conserva, los de 1C2025 y 2C2025, el rozamiento en el tramo horizontal, y el de 2C2025, también la velocidad de un punto del disco al pie del plano. Una vuelta de tuerca: en el 1er recuperatorio de Chiabrando de 2C2025 la esfera sigue por una pista circular, y se pide γ en un punto de la pista y Ω por energía, con el CM sobre una circunferencia de radio menor que el de la pista.

2. Una fuerza o un par aplicados al cuerpo, sin cuerdas (7 ejercicios). Una fuerza horizontal en el CM sobre un piso (2do recuperatorio de Corach y Sola, 2C2025; Camuyrano, 1C2025, donde el μ_e no alcanza y el cilindro resbala), o subiendo un plano con la fuerza oblicua (Saccone, 1C2026), horizontal (Núñez, 2C2025) o paralela al plano y a velocidad constante (2do recuperatorio de Saccone, 1C2026). Con un par de fuerzas, la esfera de Moreno (parcial de 1C2025 y recuperatorio de 2C2025). En casi todos, la trampa está en el rozamiento: su sentido o si alcanza.

3. Carretel o yoyó tirado de una cuerda enrollada (3 ejercicios). La cuerda sale de un radio distinto del de apoyo, y el brazo cambia según de dónde salga: el carretel que sube una rampa con la cuerda por arriba del disco interior (Rossi, 1C2026), el yoyó tirado con un ángulo θ sobre una mesa (Rossi, 2C2025), el cuerpo de dos discos que sube un plano (1er recuperatorio de Chiabrando, 2C2025).

4. Cilindro que rueda unido a un bloque por una soga y una polea (6 ejercicios). La soga sale del punto más alto (Chiabrando, 2C2025), del punto más alto de una ranura (Ferrini, 2C2025), de debajo del eje (Toscani y Núñez, 1C2026) o de debajo de un aro, con una polea con masa (1er recuperatorio de Chiabrando, 1C2026). También están el cilindro tirado del eje que arrastra un bloque con un hilo que sale de arriba (Toscani, 2C2025) y el cilindro que baja un plano tirando de una cuerda enrollada en una polea con masa (1er recuperatorio de Corach y Sola, 2C2025).

5. Cuerda que se desenrolla en vertical (3 ejercicios). El yoyó con la cuerda atada al techo (recuperatorio de Ferrini, 1C2026); el mismo esquema con un aro pegado y una fuerza extra que lo hace subir, con trabajos y momento cinético (Sola, 2C2025), y el cilindro que cae desenrollando una soga que pasa por una polea y tira de un bloque (recuperatorio de Toscani, 2C2025): ahí la soga se mueve y el punto de donde sale ya no está quieto.

6. El apoyo se mueve (1 ejercicio). Un cilindro que rueda sin deslizar sobre una rampa que a su vez desliza sin rozamiento sobre el piso (Aguirre, 1C2025). Junta este tema con la conservación de la cantidad de movimiento horizontal del sistema.

El procedimiento, paso por paso

Paso 1. El diagrama y los ejes. Dibujá el cuerpo solo, con cada fuerza donde actúa: el peso en el CM, la normal y el rozamiento en el punto de contacto P, cada tensión en el punto donde la cuerda deja el cuerpo y en la dirección de la cuerda, y la fuerza externa donde dice el enunciado. Si hay un bloque o una polea, cada uno lleva su propio diagrama. Elegí el eje x a lo largo del movimiento que esperás y tomá como sentido positivo de giro el que corresponde a rodar hacia +x: así el vínculo queda con signo más y no hay que pelearse con los signos después.

Paso 2. El rozamiento: suponé un sentido y justificalo. Varios enunciados lo piden de forma explícita ("justificando con claridad el sentido asignado", en los de Cornejo). El argumento que sirve es el del momento: mirá qué fuerzas hacen momento respecto del CM. Si el rozamiento es la única (pasa cuando las demás fuerzas pasan por el CM, como en un cuerpo que rueda solo o empujado desde el CM), tiene que apuntar de manera que su momento tenga el sentido de γ, es decir, el sentido en que cambia el giro. Si hay más de una fuerza con momento, no se sabe de antemano: se supone un sentido y lo decide el signo del resultado. Decir "se opone al movimiento" no justifica nada.

Paso 3. Las tres ecuaciones. Con el CM como punto de momentos, el planteo completo es:

γ es la aceleración angular (muchos libros escriben α, pero acá α es el ángulo del plano). La ecuación de rotación respecto del CM vale aunque el CM acelere; respecto de otro punto que se mueva, en general no. La componente y de la traslación da la normal: si hay una fuerza oblicua, N no es M g cos α (en Saccone 1C2026 la fuerza le saca carga al plano; en Núñez 2C2025, lo aprieta). El vínculo sale de que el punto de contacto no desliza: su velocidad es cero, es el centro instantáneo de rotación (CIR), y el CM, a distancia R, va a Ω R (sección 10 de la guía completa). Son tres ecuaciones (x, rotación y vínculo) para tres incógnitas: a_CM, γ y f.

Paso 4. El atajo: momentos respecto del punto de contacto. Si el cuerpo rueda sin deslizar sobre una superficie quieta y tiene el CM en su centro geométrico, como todos estos, también vale Σ τ_P = I_P γ, con I_P = I_CM + M R² (Steiner). Respecto de P, el rozamiento y la normal no hacen momento, así que una sola ecuación da γ, y después la traslación da f. Es lo que más rinde con cuerdas y carreteles (Rossi 1C2026 y 2C2025, Chiabrando 2C2025, Ferrini 2C2025). Dejá escrito que tomás momentos respecto de P y por qué podés: rueda sin deslizar sobre un apoyo fijo. Si el apoyo se mueve o el cuerpo resbala, volvé al CM.

Paso 5. Las cuerdas: la velocidad del punto de donde salen. Una cuerda ideal que no patina se mueve con el punto del cuerpo del que sale, y ese punto, como cualquier otro del cuerpo, va a Ω por su distancia al CIR, que es P. De ahí sale el vínculo con el bloque y también el brazo para los momentos respecto de P (con la cuerda paralela al apoyo):

Si la cuerda forma un ángulo θ con el piso y sale de abajo de un eje de radio r, el brazo respecto de P es R cos θ − r (el yoyó de Rossi, 2C2025): con cos θ > r/R rueda hacia el lado del que tirás, con cos θ < r/R rueda alejándose y con cos θ = r/R no gira. Sobre un plano inclinado, la componente del peso paralela al plano también hace momento respecto de P, con brazo R.

Si la soga pasa por una polea con masa, las tensiones a cada lado son distintas y la polea lleva su propia ecuación, (T₁ − T₂) R_p = I_p γ_p, con γ_p R_p igual a la aceleración de la soga (1er recuperatorio de Chiabrando, 1C2026). Si la cuerda termina enrollada en la polea, hay una sola tensión y queda T R_p = I_p γ_p (1er recuperatorio de Corach y Sola, 2C2025).

Paso 6. ¿Alcanza el rozamiento? El rozamiento estático vale lo que salga de las ecuaciones, y μ_e N es sólo su tope. Con el f calculado se controla |f| ≤ μ_e N. Si se cumple, la hipótesis de RSD es coherente. Si no, el cuerpo resbala: el rozamiento pasa a ser dinámico, vale μ_d N y apunta en contra del deslizamiento del punto de contacto, y el vínculo a_CM = γ R deja de valer, así que traslación y rotación se resuelven por separado (Camuyrano, 1C2025). Para un cuerpo que rueda solo por un plano inclinado conviene tener a mano estos resultados:

Conviene deducirlos con las tres ecuaciones, como en los ejercicios de abajo; la tabla sirve para saber si lo que te dio tiene sentido.

Paso 7. Energía. La energía cinética del rígido es E_c = (1/2) M v_CM² + (1/2) I_CM Ω², y el trabajo de cada fuerza se calcula con el desplazamiento de su punto de aplicación, no con el del CM (sección 13 de la guía completa). De ahí salen las tres ideas que más se usan en estos ejercicios:

• Si rueda sin deslizar, el rozamiento estático no trabaja: actúa sobre un punto que en cada instante está quieto. Lo mismo pasa con la tensión de una cuerda atada al techo en un yoyó.
• Una fuerza aplicada en un punto que va más rápido que el CM trabaja más que F por lo que avanza el CM: si la cuerda sale del punto más alto, el doble.
• Con un bloque y una cuerda ideal que no patina, conviene tomar todo el sistema: las tensiones hacen trabajos opuestos sobre el cuerpo y sobre el bloque y se cancelan. Si sólo el peso hace trabajo neto, se conserva la energía mecánica; si además actúa una fuerza externa, W_F = ΔE_m.

Para una velocidad después de una distancia, la energía es el camino más corto. Si la piden en función del tiempo, la cinemática con a_CM constante (v_CM = a_CM t, Ω = γ t).

Paso 8. Qué se conserva. Cada conservación tiene su condición, y en el parcial se justifica con ella (para el momento cinético, sección 14 de la guía completa):

• Cantidad de movimiento: sólo si la resultante de las fuerzas externas es nula. En un plano inclinado no lo es: vale M a_CM. Puede conservarse una componente, como la horizontal del sistema cilindro más rampa cuando el piso es liso (Aguirre, 1C2025).
• Momento cinético: respecto de un punto, si el momento externo respecto de ese punto es nulo. En un plano inclinado no se conserva respecto del CM (el rozamiento hace momento) ni respecto de un punto fijo del plano: ahí la normal y la componente perpendicular del peso se compensan, pero la componente paralela hace momento M g R sen α. En un tramo liso sí se conserva respecto del CM, y Ω queda constante.
• Energía mecánica: si las fuerzas no conservativas no trabajan. Rodando sin deslizar, se conserva (el rozamiento estático no trabaja). Con una fuerza externa que trabaja, no: cambia en W_F. Si el cuerpo resbala, tampoco: el rozamiento dinámico disipa.

Paso 9. Lo que hay que dejar escrito. El sentido supuesto del rozamiento y por qué; el punto respecto del cual tomás momentos y por qué vale ahí; de dónde sale cada vínculo (qué punto es el CIR y de dónde sale la cuerda); la comparación |f| ≤ μ_e N; y, en cada conservación, la condición que se cumple o que falla.

Las trampas que más aparecieron

Los ejercicios resueltos

Abajo vienen, resueltos, 24 ejercicios de este tipo de parciales y recuperatorios de 1C2025 a 1C2026, de 13 cursos. Intentá cada uno antes de abrir la resolución: hacé el diagrama, decidí respecto de qué punto tomás momentos y escribí los vínculos; recién ahí mirá. En dos de ellos los datos impresos no dan lo que el enunciado supone (en Núñez 2C2025 el cilindro no llega a subir con la fuerza dada, y en Moreno 1C2025 el rozamiento necesario supera el tope estático), y la resolución lo muestra: es una razón más para mirar siempre el signo de a_CM y comparar con μ_e N.

Una polea con masa montada en un eje, de la que cuelga un bloque; dos discos soldados con un hilo enrollado en el chico; una barra con un disco en la punta, articulada en un extremo, que se suelta y cae; un cuerpo irregular que gira alrededor de un punto. En todos estos casos el cuerpo rígido tiene un eje que no se mueve y lo único que puede hacer es girar alrededor de él. Se resuelve con la ecuación de rotación respecto de ese eje, la segunda ley de Newton para lo que cuelga, un vínculo que une las dos cosas y, para las velocidades, la energía.

La teoría está en la sección 12 de la guía completa (dinámica del cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo). El centro de masa, el momento de inercia y el teorema de Steiner están en la sección 11 de la guía completa; el trabajo y la energía del cuerpo rígido, en la sección 13 de la guía completa, y el momento cinético y el péndulo físico, en la sección 14 de la guía completa. Acá va cómo se encara en el parcial.

Notación de esta sección. Ω es la velocidad angular del cuerpo y γ, la aceleración angular (muchos libros de texto la llaman α). I_O es el momento de inercia respecto del eje que pasa por O e I_CM, el baricéntrico.

Cuánto aparece y en qué cursos

En los 117 parciales y recuperatorios reunidos, de 1C2024 a 1C2026, hay 356 ejercicios, y 54 tienen como tema principal un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo: más o menos uno de cada siete. Son algo menos que los choques (73) y que la rototraslación (69), pero el tema está en todos los cuatrimestres del período:

Aparecen en exámenes de 16 cursos, contando aparte los que figuran con dos docentes. Los que más tuvieron en el período: Chiabrando (10), Viñales (8), Ferrini (6), el curso de Corach y Sola (5), Moreno y Corsini (4 cada uno). Con 2 cada uno, Camuyrano, Racero, Sola, Aguirre, Rossi, Cornejo y el curso de Dadamia y Rossi, y con uno, los cursos de Acosta y Sola, de Cebreiro y Viñales y el curso 16.

Cómo se reconoce

El enunciado dice que el cuerpo "gira alrededor de su eje fijo", que "se monta en un eje sin rozamiento que pasa por su centro", que "puede girar libremente alrededor del punto A", que un extremo de la barra está vinculado a un eje fijo O o que la polea "está sujeta al techo". La señal es que hay una recta del cuerpo que no se mueve nunca. Entonces el cuerpo tiene un solo grado de libertad, el ángulo que gira, y cada punto describe una circunferencia con centro en el eje: si está a una distancia r del eje, su velocidad es v = Ω r, perpendicular al radio, y su aceleración tiene una componente tangencial γ r y una normal Ω² r, dirigida hacia el eje.

La diferencia con la rototraslación de la sección anterior: allá el CM se traslada y el vínculo es el de rodar sin deslizar; acá el vínculo lo pone el eje. Si el eje pasa por el CM (las poleas), el CM ni siquiera se mueve, y lo que acelera es lo que cuelga. Si no pasa por el CM (la barra articulada, el péndulo físico), el CM recorre una circunferencia alrededor del eje.

Las variantes que aparecieron

1. Polea con eje fijo y un bloque colgado. Es la más repetida entre los resueltos (4 de 8). La polea puede ser un disco homogéneo (Camuyrano, 1C2026) o un cuerpo compuesto: un cilindro macizo con un aro soldado (Chiabrando, 1C2026), dos discos de radios distintos soldados (Viñales, 1C2026) o dos cilindros concéntricos (Ferrini, 1C2026). Se pide el diagrama de cuerpo libre de cada cuerpo, la aceleración del bloque o la angular de la polea, la tensión, la velocidad después de bajar una altura o de dar unas vueltas y, a veces, la fuerza que hace el eje.

2. Polea de dos radios con dos cuerpos colgados. Cada caja cuelga de una soga enrollada en un radio distinto (el curso de Corach y Sola, 1C2026). Lo que decide el problema está en la figura: de qué lado de la polea baja cada soga. Hay una ecuación de Newton por caja, una de rotación con dos momentos y dos vínculos, uno con cada radio.

3. Cuerpo compuesto articulado que gira por su propio peso. Una barra con un disco en la punta, en equilibrio sostenida por un cable que después se corta (Chiabrando, 1C2026), o una barra sin masa con tres masas puntuales que arranca a girar por un golpe (1er recuperatorio de Chiabrando, 1C2026). Se pide el CM, el momento de inercia respecto del eje con Steiner, la tensión del cable en el equilibrio y, en una posición dada, γ, Ω y la aceleración del CM con sus dos componentes.

4. Cuerpo irregular dado por su radio de giro. No se dice qué forma tiene: los datos son la masa, la distancia del CM al eje, el radio de giro baricéntrico y el momento de inercia respecto de otro punto (Sola, 1C2026). Es un péndulo físico, en este caso con el CM por encima del eje. Se pide Ω a partir de la velocidad de un punto, γ, las componentes de a_CM, la energía mecánica y si el CM llega a pasar por la vertical.

El procedimiento con una polea y algo colgado

1. Separá los cuerpos y hacé un diagrama de cada uno. El bloque es una partícula: peso m g hacia abajo y tensión T hacia arriba. La polea es un cuerpo rígido: su peso y la fuerza del eje, los dos aplicados en el centro, y la tensión en el borde del radio donde está enrollada la cuerda, tangente a ese borde. Con cuerda ideal, la T que tira del bloque es la misma que tira de la polea.
2. Armá el momento de inercia respecto del eje. Si la polea está hecha de partes, se suma el de cada una, con su fórmula y su radio: disco o cilindro macizo (1/2) M R², aro M R². Si el eje no pasa por el CM de una parte, Steiner: I_O = I_CM + M d², con d la distancia entre el CM de esa parte y el eje.
3. Elegí sentidos positivos que concuerden. Para el bloque, el sentido en que se mueve (en general, hacia abajo); para la polea, el giro que produce ese movimiento. Así el vínculo queda sin signos y los momentos de cada tensión salen con el signo que les corresponde.
4. Escribí las tres ecuaciones. Newton para el bloque: m g − T = m a. Rotación de la polea respecto del eje: T r = I_O γ. Vínculo de la cuerda que no desliza: a = γ r, con r el radio donde está enrollada esa cuerda. Dejá escrito por qué tomás momentos respecto del eje: es fijo, ahí vale τ_O = I_O γ, y la fuerza del eje, que no conocés, no hace momento (el peso de la polea tampoco).
5. Despejá y controlá. Sumando las ecuaciones sale a = m g r² / (I_O + m r²) y T = m (g − a). La tensión tiene que dar menor que m g: si te da igual, el bloque no estaría acelerando. Si te piden γ como vector, dá módulo, dirección (la del eje, perpendicular al plano del dibujo) y sentido (k̂ o −k̂, horario o antihorario).
6. Velocidad después de bajar h o de dar unas vueltas. Como γ es constante, sirve la cinemática (v² = 2 a h) o la energía del sistema polea + bloque: m g h = (1/2) m v² + (1/2) I_O Ω², con v = Ω r. Para usar energía, justificá que la mecánica se conserva: el eje no tiene rozamiento y su fuerza no trabaja, porque su punto de aplicación no se mueve; y como la cuerda no desliza, el trabajo de la tensión sobre el bloque y el que hace sobre la polea se cancelan. Si te dan vueltas en lugar de altura, cada vuelta son 2π rad y el bloque baja h = 2π n r, con el r de su cuerda.
7. Fuerza del eje, si la piden. El CM de la polea está quieto, así que la suma de fuerzas sobre ella es cero: N = M g + T hacia arriba, si la cuerda tira hacia abajo. Para el sistema entero, N = (M + m) g − m a: menor que el peso total, porque el bloque acelera hacia abajo, pero mayor que el peso de la polea sola.

Sirven para controlar el resultado, no para reemplazar el planteo: en la hoja conviene que estén el diagrama, las ecuaciones y el vínculo, que es de donde salen.

Si cuelgan dos cuerpos de radios distintos, se escribe una ecuación de Newton para cada uno, una sola de rotación con los dos momentos y dos vínculos: a₁ = γ R y a₂ = γ r. El signo de cada momento depende de qué lado de la polea baja su soga: si las dos bajan del mismo lado, los dos momentos tienen el mismo sentido y las dos cajas bajan; si bajan de lados opuestos, los momentos se restan, como en una máquina de Atwood. La polea es un solo cuerpo rígido, así que gira el mismo ángulo θ para las dos sogas: una se desenrolla θ R y la otra, θ r.

El procedimiento con un cuerpo que gira por su propio peso

1. Ubicá el CM. x_CM = Σ m_i x_i / M, medido sobre la barra desde el eje. Mirá bien dónde está el centro de cada parte: un disco pegado en la punta de una barra de largo L, con su centro sobre la prolongación de la barra, tiene el centro a L + R del eje.
2. Momento de inercia respecto del eje, parte por parte. I_O = Σ (I_CM,i + m_i d_i²); una masa puntual aporta m r². Con radio de giro, I_CM = M k². Steiner relaciona el eje que pasa por el CM con otro paralelo: si te dan el momento respecto de un punto B, primero bajás a I_CM y después subís al eje que te interesa.
3. Si arranca en equilibrio, sostenido por un cable o un apoyo, Σ τ_O = 0 respecto del eje: la reacción no hace momento y la fuerza del cable sale sin conocerla.
4. γ en una posición dada. τ_O = I_O γ, con el peso total aplicado en el CM: τ_O = M g d sen θ, donde d es la distancia del CM al eje y θ el ángulo entre la recta que los une y la vertical. Si sumás masa por masa, las que están del otro lado del eje hacen momento en sentido contrario. γ depende del ángulo, así que no es un movimiento con γ constante: Ω no sale por cinemática.
5. Ω por energía. (1/2) I_O Ω_f² − (1/2) I_O Ω₀² = M g (h_CM,i − h_CM,f): con el eje sin rozamiento, el peso es la única fuerza que trabaja, y la del eje no, porque su punto de aplicación está quieto. Si arranca por un golpe, Ω₀ es la velocidad del punto golpeado dividida por su distancia al eje.
6. Aceleración del CM. Tangencial a_t = γ d, perpendicular a la recta que une el eje con el CM; normal a_n = Ω² d, hacia el eje; |a_CM| = √(a_t² + a_n²). Si piden la fuerza del eje, sale de Newton para el CM: F_eje + M g = M a_CM.
7. Si preguntan si llega a la vertical (o si da la vuelta), compará la energía cinética que tiene con lo que tiene que subir el CM hasta ahí: si arranca a θ de la vertical por encima del eje, le hacen falta M g d (1 − cos θ).

Las trampas que más aparecieron

Los ejercicios resueltos

Abajo vienen, resueltos, 8 ejercicios de este tipo, de parciales y de un 1er recuperatorio de 1C2026, de 6 cursos: cuatro poleas con un bloque colgado, la polea de dos radios, los dos cuerpos compuestos de Chiabrando y el cuerpo irregular de Sola. El resto de los ejercicios de eje fijo reunidos (los otros 46, de 1C2024 a 1C2026) están en preparación y se van a ir sumando acá.

Intentá cada uno antes de abrir la resolución: hacé los diagramas, decidí respecto de qué punto tomás momentos, armá el momento de inercia y escribí el vínculo con el radio correcto; recién ahí mirá. En el de Ferrini, la foto del enunciado tapa la masa M del cilindro externo: la resolución la deja en letras y da los números para M = 2 kg.

Acá están los 117 parciales y recuperatorios que se pudieron reunir de 1C2024 a 1C2026 (356 ejercicios), agrupados por el curso que los tomó. Como cada curso arma su parcial, lo más útil es mirar el tuyo: qué temas tomó, cuántos ejercicios trae y cómo los combina. Los de 1C2025 en adelante que ya están resueltos dicen en qué sección encontrarlos. Algunas hojas de 2024 son de Física I, la materia anterior, con el mismo temario de mecánica.