Física de los Sistemas de Partículas · Guía completa de la materia

Física de los Sistemas de Partículas (CB020) es la física de mecánica del ciclo básico: partícula, sistemas de partículas y cuerpo rígido, y después hidrodinámica y ondas mecánicas. El régimen sale de la Guía de Problemas v6 de la cátedra (página 5, "Evaluaciones"), de la página de la cátedra y de la planificación oficial; las fechas, del cronograma del 2C2026, que la cátedra publica como tentativo. Esta guía no es material de la cátedra: ante cualquier diferencia, manda lo que diga tu curso.

Cómo se aprueba

Las fechas del 2C2026

El cronograma es tentativo y cada curso fija el día exacto dentro de la semana. El del 2C2025 tenía la misma estructura: el parcial en la semana 11, después de cuerpo rígido.

Qué entra en el parcial

La planificación oficial lo dice así: el parcial evalúa los contenidos de las unidades de mecánica de la partícula, sistemas de partículas y cuerpo rígido, que son el 70 % del temario. Hidrodinámica y ondas se dan después del parcial y entran en el integrador.

Qué tomaron en el primer cuatrimestre de 2026

Para tener una idea del peso de cada tema se contaron 16 exámenes del 1C2026 (10 parciales y 6 recuperatorios) de unos diez cursos distintos (de algunos hay parcial y recuperatorio), con 45 ejercicios en total, entre dos y cuatro por examen. Cada ejercicio se clasificó por su tema principal:

Por unidad: 25 ejercicios de cuerpo rígido, 17 de sistemas de partículas y 3 de la unidad 1. Ninguno de hidrodinámica ni de ondas.

Cómo usar esta guía

Cada sección tiene la teoría con ejemplos resueltos, figuras, recuadros con lo clave y con las trampas típicas, preguntas de opción múltiple para autoevaluarte y, al final, los problemas de la Guía de Problemas v6 de la cátedra resueltos uno por uno, citados con su unidad y su número para que los encuentres en la guía impresa. Las unidades 4 y 5 (hidrodinámica y ondas), que son del integrador, se suman más adelante.

Tres convenciones que se usan en toda la guía:

• g = 9,8 m/s², salvo que el enunciado dé otro valor.
• Notación de la cátedra: cantidad de movimiento p, impulso J, momento cinético L, velocidad angular de un cuerpo rígido Ω y aceleración angular γ. Muchos libros usan ω y α: es lo mismo con otra letra.
• Incertezas como pide la cátedra: se propagan sumando los módulos de las derivadas parciales (cota máxima), y el resultado se escribe con la incerteza en dos cifras significativas y el valor con los mismos decimales.

Donde el libro de la cátedra y la Guía de Problemas v6 usan datos o notación distintos, esta guía sigue la v6, que es la que se usa en los cursos.

Todo número que usa la física sale, en algún momento, de una medición: un largo leído en una regla, un tiempo tomado con un cronómetro, una masa pesada en una balanza. Y ninguna medición es exacta. Por eso un resultado experimental tiene siempre dos partes: el valor y cuánto se puede confiar en él, su incerteza. Esta sección enseña a medir y a escribir lo medido: cómo se acota la incerteza de una medición directa (con una lectura o con varias), cómo se escribe el resultado con las cifras que tienen sentido, cómo se controlan las unidades y las dimensiones de una fórmula, cómo pasa la incerteza de los datos al resultado de una cuenta, que es la propagación de incertezas, y cómo se saca una magnitud de la pendiente de un gráfico, que es lo que se hace en el laboratorio.

Es el primer tema de la unidad 1 de la Guía de Problemas y entra en el parcial, que abarca las unidades 1 a 3. Además es la base de los trabajos prácticos de laboratorio, que hay que aprobar todos para aprobar la cursada. Un dato para ubicarse: de 45 ejercicios de 16 parciales y recuperatorios del primer cuatrimestre de 2026, de cursos distintos, uno solo toca este tema, y como una afirmación de verdadero o falso (el error relativo de un cociente). Pero el tema vuelve en toda la guía como último ítem de problemas de otros temas: el 7 de la unidad 1, el 33 de la unidad 2, el 11 y el 49 de la unidad 3, el 16 y el 26 de la unidad 4, y el 10, 14, 42, 48, 49 y 51 de la unidad 5 piden propagar una incerteza, recortar un resultado o comparar mediciones con lo que está acá.

Con esta sección se resuelven, de la unidad 1: el diámetro de una esfera medido cinco veces con un calibre, con su valor representativo y sus errores absoluto, relativo y porcentual (problema 1); las cinco afirmaciones sobre cifras significativas, escritura de un resultado, dimensiones y error de una suma (2); el volumen de esa esfera con su error y las cifras de π que hacen falta (3); la altura y el diámetro de un cilindro escritos con sentido físico, y su volumen (4); y el mismo cálculo a partir de una tabla de lecturas (5).

Medir: comparar con un patrón

Medir una magnitud es compararla con otra de la misma especie que se toma como unidad (un patrón) y decir cuántas veces la contiene. El resultado tiene tres partes que no se separan nunca: un número, su incerteza y la unidad. "El ancho es 812" no dice nada; "el ancho es 812 mm" dice más, pero todavía no dice cuánto se puede confiar en ese 812.

En toda medición intervienen cuatro cosas: el sistema que se mide (el objeto, con sus bordes, sus irregularidades y su temperatura), el instrumento y el método con que se lo usa, el observador que lee, y el ambiente (temperatura, vibraciones, luz). Las cuatro se influyen entre sí y cada una agrega indeterminación. La magnitud misma no está definida con nitidez infinita (¿cuál es "el" diámetro de una esfera que no es perfectamente esférica?), la escala del instrumento es finita, el observador lee con cierta resolución, y medir altera un poco lo que se mide: el manómetro deja escapar algo de aire de la cubierta que controla, el termómetro le saca calor al agua. Por eso no existe la medición exacta. El "valor verdadero" de una magnitud es una idealización que nunca se conoce; lo que se obtiene es un valor representativo y un margen alrededor:

X₀ es el valor representativo (la guía también lo llama valor más probable) y ΔX es la incerteza absoluta o error absoluto. En esta materia incerteza y error se usan como sinónimos, y "error" no quiere decir equivocación sino margen. La expresión dice que el valor de la magnitud está, casi con seguridad, entre X₀ − ΔX y X₀ + ΔX: el ancho de una puerta informado como (812 ± 1) mm está entre 811 mm y 813 mm. Fijate cómo se escribe: valor e incerteza entre paréntesis, con la misma cantidad de decimales, y la unidad una sola vez, afuera. Muchos libros de texto escriben la incerteza absoluta con δ (δx); acá va siempre con Δ.

Ese intervalo no es estadístico: no hay una probabilidad calculada detrás. Es el rango donde quien midió está casi seguro de que se encuentra el valor, y se arma con criterios que siempre se pueden justificar. Lo que no se puede hacer nunca es informar el valor solo: un resultado sin incerteza no permite decidir si coincide con otro, si cumple una tolerancia o si sirve para lo que se lo quiere usar.

Mediciones directas e indirectas

Una medición directa se lee en el instrumento: el largo con la regla, el tiempo con el cronómetro, la masa con la balanza. Una medición indirecta sale de una cuenta hecha con mediciones directas: el volumen de un cilindro a partir de su diámetro y su altura, la densidad a partir de la masa y el volumen, g a partir del largo y del período de un péndulo. La incerteza de una medición directa se estima mirando el instrumento y las lecturas; la de una indirecta se propaga desde las incertezas de los datos.

Los errores: de dónde salen, exactitud y precisión

Los errores se agrupan en tres familias, y cada una se trata distinto:

• Groseros. Una equivocación o un accidente: leer 3 por 8, parar tarde el cronómetro una vez, un golpe a la mesa. Se reconocen porque la lectura queda muy lejos de las demás, y se descartan: no se promedian.
• Sistemáticos. Afectan a todas las lecturas igual y con el mismo signo: el cero de la balanza corrido, una regla dilatada, un cronómetro que se aprieta siempre tarde, mirar la escala siempre en diagonal del mismo lado (paralaje), un modelo teórico que simplifica de más. Repetir la medición no los descubre, porque todas las lecturas salen corridas igual. Se combaten revisando el cero y la calibración del instrumento, cambiando de método o de instrumento, y comparando con un valor de referencia.
• Casuales o accidentales. Pequeñas variaciones al azar, tanto por exceso como por defecto: cómo se apoya el objeto entre las mandíbulas del calibre, el pulso al apretar el cronómetro, la estimación a ojo entre dos rayas, vibraciones. Hacen que las lecturas repetidas no coincidan, y su efecto se acota repitiendo la medición: es lo que mide la dispersión.

De ahí salen dos palabras que se confunden mucho. Una medición es precisa si las lecturas repetidas salen parecidas entre sí: poca dispersión, errores casuales chicos, incerteza chica. Es exacta si las lecturas caen alrededor del valor verdadero o de referencia, o sea, si no tiene error sistemático. Se puede tener una cosa sin la otra.

En las mediciones sencillas de laboratorio y en los problemas de la guía se trabaja así: los groseros se eliminan, los sistemáticos se suponen controlados (instrumento en buen estado, cero verificado), y lo que queda en la incerteza es la apreciación del instrumento y la dispersión de las lecturas.

Medición directa con una sola lectura

Cada instrumento tiene un rango (lo máximo que puede medir), una mínima división (la distancia entre dos marcas de su escala) y una apreciación o resolución: la menor diferencia que permite distinguir. En una regla milimetrada la mínima división es 1 mm. En un instrumento digital la apreciación es una unidad del último dígito de la pantalla: una balanza que muestra 152,4 g aprecia 0,1 g. En un calibre, un nonio permite apreciar fracciones de la mínima división de la regla.

Regla para una sola lectura: el valor representativo es la lectura y la incerteza es la apreciación del instrumento. En una escala analógica eso es la mínima división, o su mitad si las marcas están bien separadas, el borde del objeto es nítido y se lo puede justificar.

Esa es la incerteza mínima, la que pone el instrumento, y puede ser mayor: si los bordes del objeto están redondeados o mal definidos, si hay que estimar a ojo dónde termina una sombra, si el objeto se deforma al apretarlo, la incerteza crece aunque la regla sea la misma. Al revés, un instrumento puede mostrar más dígitos de los que garantiza: las especificaciones de fábrica suelen dar una incerteza mayor que la resolución de la pantalla (un calibre digital que muestra centésimas de milímetro puede garantizar sólo ±0,02 mm o ±0,03 mm, según el largo medido). Un detalle más: como la incerteza absoluta del instrumento es fija, conviene que la lectura caiga en la parte alta de la escala, donde esa incerteza pesa menos en proporción.

Cómo se lee un calibre

El calibre tiene una regla fija graduada en milímetros y una regla corta que se desliza con la mandíbula móvil, el nonio (o vernier). Las divisiones del nonio son un poco más cortas que las de la regla: en el de la figura, 10 divisiones ocupan 9 mm, así que cada una mide 0,9 mm. Por eso, en cada posición, una sola marca del nonio coincide con una marca de la regla. Se lee en dos pasos: los milímetros enteros los da la marca de la regla que queda justo a la izquierda del cero del nonio, y la fracción la da el número de la línea del nonio que coincide con una marca de la regla. La apreciación es la mínima división de la regla dividida por la cantidad de divisiones del nonio: 1 mm/10 = 0,1 mm; 1 mm/20 = 0,05 mm; 1 mm/50 = 0,02 mm. Para un calibre, la guía usa "apreciación" y "mínima división" como sinónimos: las dos quieren decir lo menor que se puede leer con el nonio, 0,05 mm en el problema 1 y 0,02 mm en el 4 y el 5.

Medición directa con varias lecturas

Cuando se repite una medición y las lecturas no coinciden, la diferencia entre ellas es información: dice que hay causas de error casuales más grandes que lo que distingue el instrumento. Repetir sirve para dos cosas: detectar un valor grosero y acotar esa dispersión. Para pocas lecturas (hasta unas diez, que es lo habitual en un laboratorio de los primeros años) el método es este:

1. Descartar los valores groseros: los que quedan mucho más lejos de los demás que la distancia típica entre las otras lecturas.
2. Valor representativo: el promedio de las lecturas que quedan, X₀ = (X₁ + X₂ + … + Xₙ)/n. En el laboratorio a veces se usa la moda (la lectura que más se repite, si aparece en la mitad de las lecturas o más) o el centro del intervalo, (X_máx + X_mín)/2. Cuando las lecturas se reparten parejas, los tres dan casi lo mismo.
3. Incerteza: la semidispersión más la apreciación. Se arma el intervalo que va desde la lectura más chica menos la apreciación hasta la más grande más la apreciación, y la incerteza es la mitad de su ancho.
4. Escribir el resultado con la regla de cifras que se ve más abajo. El promedio puede tener más decimales que las lecturas (11,288 mm sale de lecturas con dos decimales): se redondea a la posición de la incerteza recién al final.

El primer término, la semidispersión, cubre lo que varían las lecturas; el segundo, lo que el instrumento no puede distinguir. Si todas las lecturas dan igual, la semidispersión es cero y la incerteza queda en la apreciación: nunca en cero, porque lecturas idénticas sólo dicen que las variaciones casuales son menores que lo que el instrumento ve. Si la dispersión es mucho mayor que la apreciación, el segundo término casi no cambia nada, y hay quien usa sólo la semidispersión. Cuando los dos son comparables, dejar afuera la apreciación subestima la incerteza. Con muchas lecturas (decenas) se usan métodos estadísticos, como la desviación estándar del promedio, que dan una incerteza más chica; quedan fuera de lo que se usa en los problemas de la guía.

Error absoluto, relativo y porcentual

La incerteza absoluta ΔX tiene las unidades de la magnitud y dice cuánto mide el intervalo, pero no dice si la medición es buena o mala: un milímetro es un error enorme en el espesor de una moneda y despreciable en el largo de un aula. Para eso está el error relativo (o incerteza relativa), que compara la incerteza con el valor:

Es un número puro, sin unidades, y por eso permite comparar la calidad de mediciones de magnitudes distintas o hechas con métodos distintos: a menor error relativo, medición más precisa. Multiplicado por 100 es el error porcentual. Cuando hay varias magnitudes se pone la magnitud de subíndice: ε_D = ΔD/D, ε_h = Δh/h.

Dos situaciones que aparecen en los enunciados. Si un dato viene "con un 5 % de incerteza", su incerteza absoluta es ΔX = 0,05 · X₀. Y si un valor viene sin incerteza explícita (una constante de tabla, un dato escrito como 7,85), se supone que la incerteza es de una unidad en su última cifra: 7,85 quiere decir entre 7,84 y 7,86. Es una suposición a falta de un dato mejor; cuando hay una incerteza informada, manda esa.

¿Cuánto es mucho? Para las mediciones sencillas de laboratorio, los apuntes de la cátedra trabajan con incertezas de hasta un 5 % del valor. Con incertezas bastante mayores el resultado apenas da el orden de magnitud, y además la propagación con derivadas que se ve más abajo, que supone incertezas chicas, empieza a fallar. Un error porcentual alto no es un error de cuentas: es la señal de que el instrumento o el método no alcanzan para lo que se quiere medir.

Cifras significativas y cómo se escribe el resultado

Las cifras significativas de un número medido son los dígitos que tienen significado físico: se cuentan desde la izquierda, a partir del primero distinto de cero, hasta el último, que es el primero afectado por la incerteza. Para contarlas:

• Los ceros a la izquierda no cuentan: sólo ubican la coma. 0,0056 m tiene 2 cifras significativas, igual que 5,6 mm: cambiar de unidad no cambia las cifras.
• Los ceros entre otros dígitos cuentan: 3,08 tiene 3; 2,004 tiene 4.
• Los ceros a la derecha cuentan, porque son información. 4,5 cm, 4,50 cm y 4,500 cm son el mismo número para la matemática y tres mediciones distintas para la física, con 2, 3 y 4 cifras: la primera se leyó hasta el milímetro, la segunda hasta la décima de milímetro y la tercera hasta la centésima. Por eso "6 cm" y "6,0 cm" no informan lo mismo.
• En un entero terminado en ceros, como 1500 m, no se sabe si los ceros se midieron o sólo ubican. La notación científica lo resuelve: 1,5 × 10³ m tiene 2 cifras; 1,500 × 10³ m tiene 4.

El redondeo se hace al valor más cercano: si la primera cifra que se descarta es menor que 5, la anterior queda; si es 5 o más, la anterior sube uno. 2,346 a dos decimales da 2,35; 2,344 da 2,34; 0,0996 a dos cifras significativas da 0,10.

La regla de la cátedra: el resultado con sentido físico

Una cuenta no puede dar más exactitud que la de sus datos. La calculadora devuelve ocho o diez dígitos, y casi todos son ruido. La guía, en la nota de la página 7, define qué es escribir un resultado con sentido físico:

¿Por qué dos cifras y no una? Porque al recortar a una sola cifra la incerteza puede cambiar mucho. Una incerteza de 0,15 recortada a una cifra pasa a 0,2, un 33 % más; una de 0,149 pasa a 0,1, un 33 % menos. Con dos cifras, el cambio por redondear queda en unos pocos por ciento. El peor caso es una incerteza que empieza con 1, porque ahí la segunda cifra pesa mucho. Más de dos cifras ya no aportan nada, porque la incerteza misma es una estimación. Algunos apuntes de laboratorio usan una sola cifra, y hay problemas de la guía que la piden; cuando el enunciado lo dice, se hace así.

Si la incerteza cae en las unidades, las decenas o más, conviene la notación científica, con la misma potencia de 10 para el valor y la incerteza: (15870 ± 240) m se lee mejor como (1,587 ± 0,024) × 10⁴ m, y se ve enseguida hasta dónde llegan las cifras. Al cambiar de unidad, valor e incerteza se multiplican por el mismo factor: (3,46 ± 0,12) cm³ = (3,46 ± 0,12) × 10⁻⁶ m³.

Cómo escribir un resultado, paso a paso:

1. Hacer las cuentas del valor y de la incerteza con todas las cifras.
2. Recortar la incerteza a 2 cifras significativas, redondeando (o a las que pida el enunciado).
3. Redondear el valor a la posición de la última cifra de la incerteza.
4. Escribir (valor ± incerteza) unidad. Si la incerteza cae en las unidades o más, notación científica, con la misma potencia para los dos.
5. Revisar: misma cantidad de decimales en los dos números, no más de dos cifras en la incerteza, y la unidad.

Unidades y análisis dimensional

En esta materia se usa el Sistema Internacional (SI), que en la Argentina es la base del sistema legal de unidades (el SIMELA). El SI tiene siete unidades básicas, y la mecánica usa sólo tres magnitudes fundamentales: longitud (L, en metros), masa (M, en kilogramos) y tiempo (T, en segundos). Todas las demás son derivadas: su dimensión se escribe como un producto de potencias de L, M y T, y su unidad, con las de las fundamentales. Se anota con corchetes: [v] = L T⁻¹ se lee "la dimensión de v", y [v] = m/s, "las unidades de v" (la guía escribe así, [r] = m).

Los prefijos más usados: G (10⁹), M (10⁶), k (10³), c (10⁻²), m (10⁻³), μ (10⁻⁶), n (10⁻⁹). Para convertir se multiplica por factores que valen 1: 72 km/h = 72 · 1000 m / 3600 s = 20 m/s; 1 cm³ = (10⁻² m)³ = 10⁻⁶ m³; 2,70 g/cm³ = 2,70 · 10⁻³ kg / 10⁻⁶ m³ = 2700 kg/m³; 1 rpm = 2π rad / 60 s ≈ 0,105 rad/s. Con incerteza, el mismo factor multiplica al valor y a la incerteza, y las cifras significativas no cambian. Y una distinción que se cuela en los enunciados: el kilogramo es unidad de masa; el peso es una fuerza, P = m g, y va en newton. Del mismo modo, la densidad (kg/m³) no es el peso específico (N/m³).

Homogeneidad: el control más barato de una fórmula

Una ecuación física es dimensionalmente homogénea: los dos miembros tienen la misma dimensión, y todos los términos que se suman o se restan, también. Sumar metros con segundos no tiene sentido. Eso da un control rapidísimo de cualquier fórmula, propia o ajena: si no es homogénea, está mal seguro. Las reglas:

• Cada término de una suma o de una resta tiene la misma dimensión que los demás y que el otro miembro.
• Los números puros (½, 2π, 4/3) y los ángulos en radianes no tienen dimensión. Por eso el análisis dimensional no detecta un factor numérico mal puesto: x = a t² es tan homogénea como x = ½ a t². Sí detecta una potencia mal puesta: x = ½ a t³ no es homogénea.
• El argumento de un seno, un coseno, una exponencial o un logaritmo tiene que ser adimensional, y el resultado también lo es: en sen(ω t), ω t es un ángulo (ω en rad/s); en e^{−b t/m}, el cociente b t/m no tiene unidades.
• Derivar respecto del tiempo divide por T; integrar en el tiempo multiplica por T: [dx/dt] = L T⁻¹, [∫ F dt] = M L T⁻¹.
• Misma dimensión no quiere decir misma magnitud: el trabajo y el momento de una fuerza son, los dos, N·m.

Las constantes con unidades (la constante k de un resorte, el coeficiente b de una fuerza viscosa (la sección 4 lo llama k, como la guía de problemas), los coeficientes de una ecuación horaria) tienen las que hagan falta para que la fórmula sea homogénea: se despeja la constante y se reemplaza cada magnitud por su unidad.

Cómo revisar una fórmula o hallar las unidades de una constante:

1. Escribir la dimensión (o la unidad SI) de cada magnitud que aparece.
2. Calcular la de cada término, y comparar los términos entre sí y con el otro miembro.
3. Revisar que los argumentos de senos, cosenos, exponenciales y logaritmos sean adimensionales.
4. Si hay una constante desconocida, despejarla y reemplazar cada magnitud por su unidad.
5. Recordar el límite: una fórmula homogénea puede estar mal por un factor numérico.

Mediciones indirectas: propagación de incertezas

Cuando una magnitud se calcula a partir de otras medidas, f = f(x, y, z, …), su incerteza sale de las de los datos. El método de la cátedra es el de la cota máxima: se calcula cuánto podría cambiar f, en el peor caso, si cada dato se corre hasta el borde de su intervalo.

Una sola variable

Si y = f(x) y x = x₀ ± Δx, el valor representativo es y₀ = f(x₀). Para incertezas chicas la curva se confunde con su tangente en x₀: f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f′(x₀) Δx. Entonces y se corre, como mucho, |f′(x₀)| Δx:

El módulo va porque una incerteza es siempre positiva, aunque f decrezca. La derivada dice cuánto se amplifica la incerteza: donde la curva es empinada, un Δx chico da un Δy grande. Tres casos que salen de acá: si y = k x con k exacto, Δy = |k| Δx y el error relativo no cambia; si y = xⁿ, Δy = |n| xⁿ⁻¹ Δx y, dividiendo por y, Δy/y = |n| Δx/x, o sea que una potencia multiplica el error relativo por el exponente; y una raíz (n = ½) lo divide por 2.

Varias variables: el método general

Si f depende de varias magnitudes medidas en forma independiente, se mira por separado cuánto mueve a f cada una. La derivada parcial ∂f/∂x es la derivada de f respecto de x tratando a las demás variables como constantes, y |∂f/∂x| Δx es cuánto cambia f si sólo x se corre al borde de su intervalo. En el peor caso todos los corrimientos empujan para el mismo lado, y se suman en módulo:

Es el diferencial total de f, df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy + …, con cada dx reemplazado por su incerteza y cada término tomado en módulo para que todos sumen. Vale con tres condiciones: que las incertezas sean chicas frente a los valores (la aproximación por la tangente es de primer orden); que las variables sean independientes, o sea, que cada una se haya medido por su lado; y que se entienda que es una cota, porque en la práctica los errores suelen compensarse en parte y la diferencia real es menor. Muchos libros de texto usan la suma en cuadratura, √((∂f/∂x · Δx)² + (∂f/∂y · Δy)² + …), que estima una incerteza probable en lugar de la máxima y da un número más chico. En esta materia se usa la suma de los módulos.

Los casos que conviene saber de memoria

Por qué en una suma se suman los errores absolutos. Las dos derivadas parciales de x + y valen 1: cada dato corre a la suma lo mismo que se corre él. Si un tramo puede estar 1 mm corrido y el otro también, la suma puede estar 2 mm corrida, y eso no depende de cuánto midan los tramos. El error relativo de la suma no es la suma de los errores relativos: es (Δx + Δy)/(x + y) = (x ε_x + y ε_y)/(x + y), un promedio de ε_x y ε_y pesado por los valores, que siempre queda entre los dos. En una resta las incertezas absolutas también se suman (cada dato puede correrse para el lado que agranda la diferencia), pero se dividen por una diferencia que puede ser chica: restar dos valores parecidos dispara el error relativo. Si se puede, conviene medir la diferencia directamente.

Por qué en un producto se suman los errores relativos. El área de un rectángulo, S = L₁ L₂, crece en L₂ ΔL₁ + L₁ ΔL₂ si los lados crecen en su incerteza (más un término ΔL₁ ΔL₂, de segundo orden, que se desprecia). Dividiendo por S quedan los relativos sumados. En un cociente pasa lo mismo: la derivada respecto del denominador es negativa, pero el peor caso es numerador al máximo y denominador al mínimo, y los relativos se suman. Nunca se restan.

Constantes, números exactos y π

Los números exactos de una fórmula (el ½, el 4/3, el 4 de π D²/4, la cantidad de oscilaciones que se contaron) no tienen incerteza y no aportan nada. Las constantes de tabla vienen con su incerteza o, si no la traen, con una unidad en la última cifra. Cuando un enunciado da g como dato medido, por ejemplo (9,8 ± 0,1) m/s², g es una variable más y su término entra en la propagación.

π es un número exacto, pero en la cuenta se usa recortado (3,14; 3,1416), y el recorte introduce un error. Su error relativo es lo que se pierde al recortar:

El criterio: darle a π cifras hasta que ese error sea despreciable, al menos 10 veces menor que el error relativo de la medición con la que se lo compara. La guía, en el problema 3, pide compararlo con el error relativo del diámetro, que es la medición que entra en la fórmula junto con π. Así su aporte queda muy por debajo de la incerteza total, y su término se puede sacar de la suma. Conviene redondear, no truncar: 3,142 se aleja de π un 0,013 %; 3,141, un 0,019 %. Hay un criterio más conservador, que toma como incerteza de π₀ una unidad de su última cifra (0,01 para 3,14), y a veces pide una cifra más.

Cómo propagar, paso a paso (es el camino de los problemas 3, 4 y 5):

1. Escribir cada medición directa con su incerteza: una lectura, la apreciación; una serie, semidispersión más apreciación.
2. Escribir la fórmula de la magnitud indirecta y separar los números exactos de las magnitudes medidas. Las de volumen que más aparecen: esfera, V = (4/3) π R³ = π D³/6; cilindro, V = π R² h = π D² h/4. Con el diámetro, que es lo que se mide, se evita propagar a través de R = D/2.
3. Elegir las cifras de π (y de toda constante recortada) para que su error relativo quede 10 veces por debajo del de la medición con que se lo compara.
4. Calcular el valor con los valores representativos y todas las cifras.
5. Propagar: Δf = suma de |∂f/∂x| Δx por cada dato. Si f es un producto de potencias, es más rápido con relativos: ε_f = suma de |exponente| · ε de cada dato, y Δf = ε_f · f.
6. Mirar qué término pesa más: dice qué medición conviene mejorar. Calcular el error relativo y el porcentual si se piden.
7. Recién al final, recortar: incerteza a 2 cifras, valor a la misma posición, y la unidad.

Cuando una variable aparece más de una vez

Las reglas de la tabla suponen que cada variable aparece una sola vez. Si la misma magnitud está en dos lugares de la fórmula (arriba y abajo de una fracción, o en dos términos), no se puede propagar cada aparición como si fuera una medición distinta: cuando esa magnitud se corre, sus dos apariciones se mueven juntas y sus efectos se compensan en parte. Propagar por partes da una cota más grande de lo necesario. Lo correcto es derivar la función entera respecto de esa variable.

Funciones trigonométricas: el ángulo en radianes

La derivada de sen x es cos x sólo si x está en radianes. Por eso, para propagar la incerteza de un ángulo, Δθ se pasa a radianes antes de usarla: 1° = π/180 rad = 0,01745 rad. El ángulo mismo, adentro del seno o del coseno, se puede evaluar en grados con la calculadora; lo que tiene que estar en radianes es la incerteza que multiplica a la derivada.

Medir muchas veces juntas

Cuando la incerteza absoluta de una lectura es fija (el tiempo de reacción al apretar un cronómetro, la mínima división de una regla), conviene medir de una sola vez una cantidad n veces mayor y dividir. Si se cronometran n oscilaciones y el tiempo total es t ± Δt, el período es T = t/n, y como n es un número exacto, ΔT = Δt/n. Ojo con de dónde sale la mejora: dividir por n no cambia el error relativo, porque el de T es el de t. Lo que lo baja es haber medido de una sola vez un intervalo n veces más largo con la misma Δt: comparado con cronometrar una sola oscilación, el error relativo es n veces menor. Lo mismo con el espesor de una hoja (se mide una pila) o con el diámetro de un alambre (se enrollan n vueltas juntas y se mide el ancho).

Comparar dos mediciones

Dos mediciones de la misma magnitud, o una medición y un valor de referencia, son comparables (compatibles) si sus intervalos se superponen, aunque sea en parte. Si entre los dos intervalos queda un hueco, las mediciones difieren más de lo que permiten sus incertezas: hay un error que no se tuvo en cuenta (sistemático, de método, de modelo) o no se midió lo mismo. Una forma equivalente de decirlo: son comparables si la diferencia entre los valores representativos no supera la suma de las dos incertezas. Se ve mejor dibujando cada intervalo, como una banda, sobre una misma recta. Con varias mediciones, tiene que haber una zona común a todas.

Para decidir cuál es mejor se comparan los errores relativos: la de menor error relativo es la más precisa. Para decidir de qué material es un objeto se compara su densidad con los valores de tabla: los materiales cuyo valor cae dentro del intervalo medido son compatibles, los demás quedan descartados.

Tablas, gráficos y la pendiente de una recta

En el laboratorio todo esto se presenta en tablas, con una columna para cada magnitud y otra para su incerteza, y la unidad en el encabezado, y en gráficos donde cada punto lleva dibujada su incerteza como una barra o un rectángulo. Las cuentas de la propagación van en un apéndice del informe.

Muchas veces la magnitud que se busca no sale de una cuenta con un solo dato sino de la pendiente de un gráfico armado con varias mediciones. Ningún problema de la guía lo pide, pero las guías de laboratorio de la cátedra lo usan (por ejemplo, para sacar g de un péndulo), y la idea vuelve cada vez que un modelo predice una recta.

Linealizar: elegir los ejes para que el modelo sea una recta

Una recta es lo único que se reconoce a ojo y se ajusta sin ambigüedad. Por eso, si el modelo no es lineal, se lo linealiza: se eligen las variables de los ejes para que la relación quede de la forma y = a x + b, con a la pendiente y b la ordenada al origen. En un péndulo simple, T = 2π √(L/g) no es lineal en L: graficando T contra L los puntos caen sobre una curva. Pero elevando al cuadrado queda T² = (4π²/g) L, y graficando T² contra L los puntos caen sobre una recta que pasa por el origen, de pendiente a = 4π²/g. Entonces g = 4π²/a. La pendiente tiene unidades, las del eje vertical sobre las del horizontal (acá s²/m), y la constante que se despeja hereda su error relativo: con g = 4π²/a, por la regla de los cocientes, ε_g = ε_a.

Las barras de incerteza. Cada punto se dibuja con su incerteza en las dos direcciones: una barra horizontal de ±ΔL y una vertical de ±Δ(T²), o directamente el rectángulo que forman. La incerteza del eje vertical es la de la variable transformada, y se propaga: con y = T², por la regla de las potencias, Δ(T²) = 2 T ΔT, no ΔT. Así cada punto tiene su propia barra, más larga cuanto mayor es T. Si las barras son tan chicas que no se ven en la escala del gráfico, se lo aclara en el epígrafe.

La pendiente y su incerteza

Primero se mira el gráfico: si los puntos no quedan alineados dentro de sus barras, el modelo no describe lo que se midió (o hay un error en las mediciones), y no tiene sentido sacar una pendiente. Si están alineados, la pendiente se saca de alguna de estas dos maneras, que las guías de laboratorio de la cátedra aceptan:

• Cuadrados mínimos. Es la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta. Es la que da la línea de tendencia lineal de una planilla de cálculo, que además muestra su ecuación y el coeficiente R²: cuanto más cerca de 1, mejor alineados están los puntos. Pasa siempre por el baricentro de los puntos, B, el punto que tiene como coordenadas el promedio de las x y el promedio de las y.
• Rectas de máxima y mínima pendiente. Por B se trazan la recta más empinada y la menos empinada que todavía cortan todos los rectángulos de incerteza. La pendiente es el promedio de las dos y su incerteza, la semidiferencia: Δa = (a_máx − a_mín)/2, el mismo criterio que la semidispersión de una serie de lecturas.

Un modo práctico de combinarlas: el valor de la pendiente, de cuadrados mínimos; su incerteza, de las rectas extremas. Las rectas extremas suelen quedar fijadas por los puntos de las puntas, que son los más alejados de B: ahí un cambio chico de pendiente mueve mucho la recta, y entre los dos de las puntas manda el de barra más corta.

La ordenada al origen también informa. El modelo del péndulo dice que la recta pasa por el origen. Si la recta ajustada corta el eje vertical lejos de cero, más de lo que permiten las barras, hay un error sistemático. Por ejemplo, si todos los largos se midieron hasta el borde de arriba de la pesa en lugar de hasta su centro, cada L queda corto en el radio r de la pesa, T² = (4π²/g)(L + r), y la recta corta el eje vertical en 4π² r/g. La pendiente no cambia: g sale bien aunque todos los L tengan el mismo corrimiento, cosa que la cuenta con un solo punto no puede detectar ni corregir.

Cómo sacar una magnitud de un gráfico, paso a paso:

1. Escribir el modelo y reordenarlo como y = a x + b: qué va en cada eje, qué es la pendiente y qué la ordenada al origen.
2. Armar la tabla con las magnitudes medidas y sus incertezas, y agregar las columnas de las variables transformadas (T², t²) con su incerteza propagada.
3. Graficar los puntos con sus barras o rectángulos, con la magnitud y la unidad en cada eje.
4. Mirar si los puntos están alineados dentro de sus barras. Si no lo están, revisar el modelo o las mediciones antes de seguir.
5. Sacar la pendiente: el valor con cuadrados mínimos (o con el promedio de las extremas) y la incerteza con las rectas de máxima y mínima pendiente por el baricentro.
6. Despejar la magnitud y propagar (con g = 4π²/a, ε_g = ε_a). Escribir el resultado con sentido físico.
7. Mirar la ordenada al origen y compararla con la que predice el modelo.

Cierre

La cinemática describe cómo se mueve un cuerpo sin preguntarse por qué: dónde está en cada instante, qué tan rápido va y hacia dónde, y cómo cambia eso con el tiempo. En esta sección el cuerpo es una partícula y todo se arma con tres vectores que dependen del tiempo: la posición r(t), la velocidad v = dr/dt y la aceleración a = dv/dt. Derivando se va de la posición a la aceleración; integrando, con las condiciones iniciales, se vuelve. Lo demás (el tiro vertical, el tiro oblicuo, el movimiento circular, las coordenadas intrínsecas, el movimiento relativo) son maneras de usar esas tres definiciones según la geometría de cada problema.

Es la segunda parte de la unidad 1 de la Guía de Problemas y entra en el parcial, que abarca las unidades 1 a 3. Un dato para tener una idea: de 45 ejercicios de 16 parciales y recuperatorios del primer cuatrimestre de 2026, de cursos distintos, 2 tienen la cinemática como tema principal, y los dos piden la aceleración en coordenadas intrínsecas (uno, a partir de un tiro oblicuo, pide además el radio de curvatura; el otro, a partir de un vector posición dado, pide los versores tangente y normal y las componentes de la aceleración); en un tercero, un tiro oblicuo es el primer paso de un problema de explosión. El parcial lo arma cada curso, así que esos números describen esos exámenes y no dicen qué va a tomar el tuyo. Además, lo de acá se usa en todo el resto de la materia: el centro de masa de un sistema se mueve como una partícula y la cinemática del cuerpo rígido (sección 10) se apoya en el movimiento circular.

Con esta sección se resuelven, de la unidad 1: la posición, la velocidad y la aceleración de un ciclista dadas por un polinomio, con sus gráficos (problema 6); el tiro vertical desde una azotea, con las incertezas de los datos (7, que usa además la propagación de la sección 2); la integración de una aceleración que depende del tiempo, con la distancia recorrida (8); la trayectoria, la velocidad y la velocidad media en el plano (9 y 11); la espiral recorrida con rapidez constante (10); la velocidad y la aceleración de un objeto quieto sobre la Tierra que gira (12); el movimiento circular con aceleración angular constante (13); el avión con viento cruzado (14); las coordenadas intrínsecas, el radio de curvatura y el centro del círculo osculador (15); la velocidad y la aceleración relativas entre un móvil en línea recta y otro que gira (16), y la rueda que rueda sin deslizar (17). Por qué se acelera un cuerpo (las fuerzas) es tema de la sección 4.

Partícula, sistema de referencia y vector posición

Un cuerpo se trata como partícula (o punto material) cuando su tamaño no importa para lo que se pregunta: un auto en una ruta es una partícula si se quiere saber cuánto tarda en llegar, y no lo es si se quiere saber cómo giran sus ruedas. La partícula conserva la masa, pero no tiene orientación ni giro propio.

El movimiento es relativo: decir que algo se mueve sólo tiene sentido si se dice respecto de qué. Un sistema de referencia es un observador con un origen, tres ejes y un reloj. Salvo que se diga otra cosa, en esta guía es el sistema fijo a Tierra o laboratorio; ningún sistema está quieto de verdad (la Tierra gira y se traslada), pero durante un experimento de laboratorio el error de suponerlo es despreciable. Al final de la sección se ve qué cambia cuando el observador se mueve.

La posición de la partícula P es el vector que va del origen O hasta P:

Las componentes x, y, z pueden ser positivas, negativas o cero; el módulo es la distancia de P al origen y nunca es negativo. Si los ejes se eligen de otra manera, cambian los números pero no el vector: por eso los ejes se eligen con libertad, buscando los que simplifiquen el problema. La posición de P vista desde otro punto A es la resta

que es el vector que va de A a P (el orden de la resta es el del subíndice). El libro de la cátedra escribe la posición como r_P−O, "P respecto de O"; en esta guía la barra se usa para lo relativo, como en la sección 7, y en el cuerpo rígido (sección 10) aparece r_B-A con el mismo significado.

Las ecuaciones horarias son las funciones x(t), y(t), z(t): dicen dónde está la partícula en cada instante. La trayectoria es la curva que forman las posiciones sucesivas: dice por dónde pasa, pero no cuándo. Dos corredores que hacen el mismo recorrido a distinto ritmo tienen la misma trayectoria y distintas ecuaciones horarias.

Lo que se usa de vectores. Además de la suma y la resta por componentes, hacen falta dos productos:

• Producto escalar: A · B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = A B cos φ, con φ el ángulo entre los dos. Si B tiene módulo 1, A · B es la proyección de A sobre la dirección de B, con signo. Es cero si son perpendiculares.
• Producto vectorial de dos vectores del plano xy: A × B = (A_x B_y − A_y B_x) k̂. Es perpendicular al plano, su módulo es A B sen φ y el signo de la componente z dice para qué lado hay que girar A para llevarlo sobre B por el camino corto: positivo, antihorario; negativo, horario. Los productos entre versores que más se usan: k̂ × î = ĵ y k̂ × ĵ = −î.

Unidades: [r] = m, [v] = m/s, [a] = m/s². Para pasar de km/h a m/s se divide por 3,6 (1 km/h = 1000 m / 3600 s).

Movimiento rectilíneo: desplazamiento, distancia y velocidad

Si la partícula se mueve sobre una recta, alcanza con un eje (x) con un origen y un sentido positivo elegidos; la posición es la coordenada x(t), con su signo.

• Desplazamiento entre t₁ y t₂: Δx = x(t₂) − x(t₁). Depende sólo de dónde estaba al principio y al final; puede ser positivo, negativo o cero.
• Distancia recorrida: el largo del camino hecho. Nunca es negativa y es mayor o igual que |Δx|; coinciden sólo si en el intervalo el móvil no cambia de sentido.
• Velocidad media: v_m = Δx / Δt. En el gráfico x(t) es la pendiente de la secante que une los dos puntos. La rapidez media es la distancia recorrida dividida por Δt, y es mayor o igual que |v_m|.
• Velocidad instantánea: el límite de la velocidad media cuando el intervalo se achica, es decir la derivada. En el gráfico es la pendiente de la tangente. Su signo dice el sentido del movimiento; su valor absoluto, |v|, es la rapidez.

La guía de problemas distingue con cuidado velocidad (el vector, o en una recta la componente con signo) y rapidez (su módulo). En el lenguaje de todos los días se usan como sinónimos; acá no.

Aceleración: cuándo el movimiento es acelerado o desacelerado

La aceleración mide cuánto cambia la velocidad por unidad de tiempo:

El signo de la aceleración solo no dice si el móvil va cada vez más rápido. Una aceleración negativa quiere decir que la velocidad disminuye como número: si la velocidad es positiva, la rapidez baja (frena); si la velocidad es negativa, se hace todavía más negativa y la rapidez sube. Lo que decide es si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo. La cuenta que lo justifica es corta: la rapidez al cuadrado es v², y su derivada es d(v²)/dt = 2 v a; la rapidez crece cuando v a > 0 y decrece cuando v a < 0.

Hay que distinguir el reposo instantáneo (v = 0 en un instante, como una pelota en lo más alto de un tiro vertical) de estar en reposo durante un intervalo (v = 0 y también a = 0 todo ese tiempo). Una pelota en lo más alto no está "en reposo" en el segundo sentido: un instante después ya está bajando.

Cómo se leen los gráficos x(t), v(t) y a(t)

Los tres gráficos cuentan lo mismo de tres maneras, y cada uno se obtiene del anterior derivando (pendientes) o del siguiente integrando (áreas):

• En x(t): la pendiente es v. Donde la curva sube, el móvil va hacia el lado positivo; donde baja, hacia el negativo. Los máximos y mínimos de x(t) son los instantes en que v = 0 y el móvil da la vuelta. La concavidad es el signo de a: hacia arriba (forma de U), a > 0; hacia abajo, a < 0. Donde la curva corta el eje t, el móvil pasa por el origen.
• En v(t): la pendiente es a, y el área entre la curva y el eje t es el desplazamiento, con signo (las partes de abajo del eje restan). Donde v(t) cruza el eje, el móvil cambia de sentido. Una regla gráfica cómoda: si la curva se aleja del eje t, la rapidez aumenta (acelerado); si se acerca, disminuye (frena).
• En a(t): el área bajo la curva es el cambio de velocidad, Δv.

La máxima distancia al origen en un intervalo se busca entre los instantes en que v = 0 y los extremos del intervalo: se calcula |x| en todos esos instantes y se elige el mayor. No alcanza con mirar dónde v = 0, porque el máximo puede estar en un extremo.

Procedimiento para una posición dada como función del tiempo (el tipo del problema 6):

1. Derivar para obtener v(t) y a(t), con sus unidades.
2. Instantes de reposo: resolver v(t) = 0 y quedarse con las raíces que caen dentro del intervalo pedido.
3. Instantes de aceleración nula: resolver a(t) = 0 (ahí la velocidad tiene un máximo o un mínimo).
4. Con esos instantes, partir el intervalo en tramos y armar una tabla con el signo de v y el de a en cada uno: decide en qué tramos acelera y en cuáles frena.
5. Paso por el origen: resolver x(t) = 0.
6. Calcular x en los instantes de reposo y en los extremos: con eso se dibujan los gráficos, se suma la distancia (los |Δx| de cada tramo) y se encuentra la máxima distancia al origen.
7. Velocidad media: Δx / Δt con las posiciones de los extremos, nunca promediando velocidades.

De la aceleración a la posición: integrar con las condiciones iniciales

El camino inverso es integrar. Como v es la derivada de x y a la de v, si se conoce a(t) y la velocidad en un instante (por ejemplo v₀ en t = 0):

Cada integración necesita una condición inicial: sin v₀ y x₀ hay infinitas soluciones, que difieren en una constante. Si se integra con primitivas, la constante se calcula imponiendo la condición (por ejemplo, x(0) = x₀). Si a depende de la velocidad o de la posición y no del tiempo (una fuerza viscosa, un resorte), no se puede integrar así directamente: eso se ve en las secciones 4 y 5.

Dos casos particulares tienen nombre propio:

• Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): a = 0, v constante y x = x₀ + v t.
• Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV): a constante. Integrando,

La tercera sale de eliminar t entre las dos primeras y sirve cuando el tiempo no es dato ni se pide. Las cuatro valen sólo con aceleración constante.

Distancia recorrida a partir de v(t). El desplazamiento es la integral de v; la distancia es la integral de la rapidez |v|. En la práctica: se buscan los instantes en que v cambia de signo, se calcula Δx en cada tramo y se suman los valores absolutos.

El gráfico de la rapidez. |v(t)| es la curva de v(t) con las partes negativas reflejadas hacia arriba. Donde v cruza el eje con aceleración distinta de cero, |v| toca el cero y vuelve a subir formando un punto anguloso (un pico en V, donde no tiene derivada). La pendiente de |v| es a donde v > 0 y −a donde v < 0: es la aceleración tangencial que se ve más adelante.

Procedimiento para una aceleración que depende del tiempo (el tipo del problema 8):

1. Anotar las condiciones iniciales: dónde está y con qué velocidad en t = 0.
2. Integrar a(t) para obtener v(t) y sumar v₀; integrar v(t) y sumar x₀. Controlar derivando que se recupera lo de antes.
3. Buscar los ceros de v(t): son los instantes de reposo y los posibles cambios de sentido.
4. Calcular x en esos instantes y en los extremos; sumar los |Δx| para la distancia.
5. Para los gráficos, marcar los ceros, los máximos (donde se anula la derivada) y la concavidad; para la rapidez, reflejar los tramos negativos y marcar los puntos angulosos.

Tiro vertical y la elección del sistema de referencia

Cerca de la superficie terrestre y sin aire, todo cuerpo que se mueve sólo bajo su peso (en caída libre) tiene la misma aceleración: g = 9,8 m/s², vertical y hacia abajo, sube o baje, y sea cual sea su masa. Es un MRUV sobre la vertical.

El origen y el sentido positivo los elige quien resuelve, pero una vez elegidos cada magnitud lleva su signo: con el eje y hacia arriba, la aceleración es −g; con el eje hacia abajo, +g. Lo mismo la velocidad inicial y las posiciones de llegada. Los resultados físicos no dependen de la elección; los signos de los números, sí. Con el eje y hacia arriba y el origen en el punto de lanzamiento:

• Altura máxima: v = 0 en t_s = v₀ / g, y ahí y_máx = v₀² / (2g). En ese instante la velocidad es cero pero la aceleración sigue siendo g hacia abajo.
• Simetría: vuelve a la altura de lanzamiento en 2 v₀ / g, con la misma rapidez v₀ hacia abajo.
• Llegada a otro nivel: si el suelo está una altura h por debajo del lanzamiento, la llegada es y(T) = −h, una ecuación cuadrática en T. Una raíz es negativa: corresponde al instante en que la misma parábola, prolongada hacia atrás, habría pasado por −h antes de lanzar, y no tiene sentido físico.
• Altura del edificio a partir del tiempo de vuelo: si se miden v₀ y el tiempo total T, de y(T) = −h sale h = (1/2) g T² − v₀ T.
• Velocidad al llegar: v(T) = v₀ − g T (negativa: hacia abajo), o por la tercera fórmula del MRUV, |v| = √(v₀² + 2 g h).

Procedimiento para un tiro vertical:

1. Dibujar la situación y elegir y anotar el origen, el sentido positivo y el instante t = 0. Si el enunciado los fija (por ejemplo, origen en la mano de quien lanza), usar esos.
2. Escribir a, v₀ e y₀ con sus signos en ese sistema.
3. Escribir v(t) e y(t) del MRUV.
4. Traducir cada pregunta a una condición: altura máxima → v = 0; llegada al suelo → y = posición del suelo; pasar por un punto → y = ese valor.
5. Resolver, descartar las raíces sin sentido físico y controlar el signo del resultado.

Con incertezas. Si v₀, T y g son medidos, la altura h = (1/2) g T² − v₀ T es una medición indirecta y su incerteza se propaga como en la sección 2: se suman los módulos de las derivadas parciales multiplicadas por cada incerteza (es una cota máxima).

Una magnitud que aparece dos veces. La altura máxima sobre el suelo es H = h + v₀²/(2g) = (1/2) g T² − v₀ T + v₀²/(2g): v₀ y g están en dos términos. Su incerteza se calcula derivando H entera, y no sumando la incerteza de h con la de v₀²/(2g). Los dos términos dependen de v₀ y de g en sentidos opuestos (si v₀ es un poco mayor, h da menos y v₀²/(2g) da más), así que sus errores se compensan en parte; sumarlos por separado cuenta dos veces el mismo error y agranda la cota sin motivo. Se ve mejor escribiendo H = (g T − v₀)²/(2g): es la caída libre desde el punto más alto hasta el suelo, con g T − v₀ la rapidez de llegada.

Movimiento en el plano

En el plano, la posición es r(t) = x(t) î + y(t) ĵ. Como los versores î y ĵ del laboratorio no cambian, la derivada de un vector se hace componente por componente:

Cada componente se trata como un movimiento rectilíneo: x(t) es el movimiento de la proyección de la partícula sobre el eje x, e y(t), el de su proyección sobre el eje y. Que una componente de la aceleración sea cero quiere decir que esa componente de la velocidad es constante, aunque sea negativa. Y "la componente x de la velocidad decrece" quiere decir que v_x disminuye como número con el tiempo, cosa distinta de que disminuya su módulo.

Ecuación de la trayectoria. Se elimina el tiempo: se despeja t de una de las ecuaciones horarias (la más simple, en general la lineal) y se reemplaza en la otra. Queda y(x), la curva que recorre la partícula. Su dominio son los valores de x que la partícula realmente alcanza en los tiempos permitidos (por ejemplo t ≥ 0): es la imagen de la función x(t) en ese intervalo, no todos los x para los que la fórmula tiene sentido. Si x(t) no es monótona (la partícula va y vuelve en x), la trayectoria se recorre de ida y de vuelta y conviene seguir trabajando con las ecuaciones horarias.

Velocidad media vectorial. Es el desplazamiento dividido por el tiempo:

Tiene la dirección de la cuerda que une las dos posiciones y depende sólo de los extremos. Su módulo es menor o igual que la rapidez media, porque la cuerda es más corta que el arco.

Con aceleración constante, la velocidad media entre t₁ y t₂ es igual a la velocidad instantánea en el instante del medio, (t₁ + t₂)/2, y también al promedio de v(t₁) y v(t₂). Sale de cada componente: si x = x₀ + v₀ t + (1/2) a t², entonces Δx / Δt = v₀ + (1/2) a (t₁ + t₂), que es v_x en (t₁ + t₂)/2. Con aceleración variable no vale.

Tiro oblicuo

Un proyectil lanzado con velocidad v₀ que forma un ángulo α con la horizontal, sin aire, tiene a = −g ĵ (eje y hacia arriba). Las dos componentes son independientes: en x no hay aceleración (MRU) y en y es un tiro vertical (MRUV). Con el origen en el punto de lanzamiento:

Eliminando t queda la trayectoria, una parábola:

• Punto más alto: v_y = 0 en t_s = v₀ sen α / g; h_máx = v₀² sen² α / (2g). Ahí la velocidad es horizontal y vale v₀ cos α: no es cero.
• Vuelta a la altura de lanzamiento: en 2 t_s, con un alcance horizontal R = v₀² sen 2α / g. Esta fórmula vale sólo si el punto de llegada está a la misma altura que el de salida. El alcance es máximo a 45°, y dos ángulos complementarios (30° y 60°) dan el mismo.
• Lanzamiento desde una altura, o llegada a otra: se plantea y(t) = altura de llegada (una cuadrática), se toma la raíz con sentido físico y con ese tiempo se calcula x.
• Tiro horizontal: α = 0; la velocidad vertical arranca en cero.

La velocidad es tangente a la trayectoria y la aceleración apunta hacia adentro de la curva

El desplazamiento Δr entre dos instantes es una cuerda de la trayectoria. Cuando el intervalo se achica, la cuerda tiende a la recta tangente: por eso la velocidad es siempre tangente a la trayectoria y apunta en el sentido en que se recorre.

La aceleración, en cambio, no es tangente salvo en un movimiento rectilíneo. La velocidad puede cambiar en módulo, en dirección o en las dos cosas; cuando la trayectoria se curva, la dirección de v gira y el cambio Δv apunta hacia el lado cóncavo. Entonces la aceleración apunta hacia adentro de la curva (hacia el lado cóncavo), y sólo coincide con la tangente donde la trayectoria es recta.

Rapidez constante no es velocidad constante. Si la rapidez no cambia, v² = v · v es constante, y derivando, 2 v · a = 0: la aceleración es perpendicular a la velocidad. No es cero (salvo que la trayectoria sea recta): la velocidad, como vector, cambia de dirección. Velocidad constante como vector quiere decir módulo, dirección y sentido fijos, y eso es sólo el MRU.

Un caso que la guía pide pensar es una espiral recorrida con rapidez constante. La velocidad no es constante (cambia de dirección todo el tiempo) y la aceleración tampoco: es perpendicular a la velocidad, así que también gira. Su módulo es v² dividido por el radio de curvatura (el apartado siguiente), y en una espiral ese radio cambia: las vueltas de afuera son más abiertas que las de adentro. Para decidir si |a| aumenta o disminuye hay que mirar hacia dónde se recorre la espiral: alejándose del centro, la curva se abre y la aceleración disminuye; acercándose, aumenta.

Coordenadas intrínsecas: aceleración tangencial y normal

En lugar de proyectar sobre î y ĵ, conviene a veces proyectar sobre dos direcciones que acompañan a la partícula. Son las coordenadas intrínsecas (o de trayectoria):

• Versor tangente ê_t = v / v: tangente a la trayectoria, en el sentido del movimiento.
• Versor normal ê_n: perpendicular a ê_t, en el plano del movimiento, apuntando hacia el centro de curvatura (hacia el lado cóncavo).

Los dos cambian de dirección a medida que la partícula avanza. En esta base la velocidad tiene una sola componente, v = v ê_t. Derivando ese producto aparecen dos términos: la derivada de la rapidez por ê_t, y la rapidez por la derivada de ê_t. Como ê_t tiene módulo 1, su derivada es perpendicular a él (se deriva ê_t · ê_t = 1): apunta hacia el lado al que gira la tangente, que es ê_n, y su módulo es |dφ/dt|, la rapidez con que gira la tangente (φ es el ángulo que forma con el eje x). Cerca del punto, la trayectoria se confunde con un arco de circunferencia de radio R_c, y en ese arco la tangente gira a razón de |dφ/dt| = v / R_c. Queda:

• La aceleración tangencial a_t cambia la rapidez: positiva, la partícula acelera; negativa, frena; cero, la rapidez es constante en ese instante.
• La aceleración normal (o centrípeta) a_n cambia la dirección. Nunca es negativa, porque ê_n ya apunta hacia el lado al que dobla, y es cero sólo donde la trayectoria es recta.
• El radio de curvatura R_c mide qué tan cerrada es la curva en ese punto: chico, curva cerrada; infinito, recta. La circunferencia osculadora (o círculo osculador) es la que mejor se pega a la trayectoria en el punto: tiene radio R_c y su centro, el centro de curvatura, está en C = r + R_c ê_n. Todo esto es local: en otro punto de la trayectoria, el radio y el centro son otros. Muchos libros llaman ρ al radio de curvatura; acá ρ queda para la densidad.

Para calcular con los vectores en cartesianas, que es como suelen venir los datos:

El vector a_n = a − a_t ê_t es la parte de la aceleración perpendicular a la velocidad, y ê_n = a_n / a_n. Hacia qué lado dobla la partícula lo dice el signo de v_x a_y − v_y a_x (la componente z de v × a): positivo, gira en sentido antihorario, hacia su izquierda, y ê_n es ê_t girado 90° antihorario; negativo, gira en sentido horario, hacia su derecha, y ê_n es ê_t girado 90° horario.

Procedimiento para pasar a coordenadas intrínsecas en un instante t₀ (el tipo del problema 15):

1. Calcular r(t₀), v(t₀) y a(t₀) en cartesianas.
2. Rapidez v = |v| y versor tangente ê_t = v / v.
3. a_t = a · ê_t, con su signo.
4. a_n = a − a_t ê_t; su módulo es a_n y ê_n = a_n / a_n. Control: a_t² + a_n² = a², y ê_t · ê_n = 0.
5. R_c = v² / a_n y centro del círculo osculador C = r + R_c ê_n.
6. Escribir v = v ê_t y a = a_t ê_t + a_n ê_n, y dibujar todo en un mismo esquema.
7. Interpretar: con el signo de a_t, si acelera, frena o mantiene la rapidez; con el lado de ê_n, hacia dónde dobla.

Movimiento circular

Si la trayectoria es una circunferencia de radio R, una sola variable alcanza para ubicar la partícula: el ángulo θ(t) entre el radio y un eje fijo, en radianes, positivo en sentido antihorario. El arco recorrido es s = R θ (con θ en radianes; por eso los grados no sirven en estas fórmulas).

ω es la velocidad angular (rad/s, que se escribe también s⁻¹) y γ la aceleración angular (rad/s²). Muchos libros de texto llaman α a la aceleración angular; la guía usa γ, y el libro de la cátedra la escribe dω/dt sin letra propia. La aceleración normal apunta siempre al centro (es centrípeta); en una circunferencia R_c = R. La fórmula a_t = γ R es la del giro antihorario (ω > 0). Si gira en sentido horario (ω < 0), la rapidez es v = −ω R y a_t = dv/dt = −γ R. Es la misma regla que en la recta: la rapidez aumenta si ω y γ tienen el mismo signo y disminuye si tienen signos opuestos.

Coordenadas polares. Con el origen en el centro conviene usar el versor radial ê_r, que apunta del centro hacia la partícula, y el transversal ê_θ, perpendicular, en el sentido en que crece θ:

Derivando r = R ê_r con R constante:

En el movimiento circular centrado en el origen, ê_θ es la dirección de la tangente (ê_t = ê_θ si gira en sentido antihorario y −ê_θ si gira en sentido horario) y ê_n = −ê_r. Para dar los vectores en el sistema fijo se reemplazan los versores: r = R (cos θ; sen θ), v = R ω (−sen θ; cos θ), y así.

Forma vectorial. La velocidad angular se puede escribir como un vector perpendicular al plano, ω = ω k̂ (regla de la mano derecha: con los dedos en el sentido de giro, el pulgar da el sentido de ω; antihorario visto desde arriba es +k̂). Con r medido desde el centro:

Así escribe la guía datos como "velocidad angular 2,0 s⁻¹ k̂". Por ejemplo, con ω = 2,0 s⁻¹ k̂ y r = 0,50 î m, v = 2,0 k̂ × 0,50 î = 1,0 ĵ m/s.

Movimiento circular uniforme (MCU): ω constante, θ = θ₀ + ω t. Es periódico:

T es el período (s), f la frecuencia (vueltas por segundo, Hz) y las rpm son vueltas por minuto. En el MCU la rapidez es constante y a_t = 0, pero la aceleración no es cero ni constante: vale ω² R y apunta al centro, así que cambia de dirección todo el tiempo.

Movimiento circular uniformemente variado (MCUV): γ constante. Las fórmulas son las del MRUV con θ en lugar de x:

a_t = γ R es constante y a_n = ω² R crece con ω: la aceleración total, √(a_t² + a_n²), forma con el radio un ángulo β con tan β = a_t / a_n, que se achica a medida que gira más rápido.

Qué sistema conviene. Para una circunferencia, polares o intrínsecas: la posición queda en una sola variable (θ) y las componentes tienen significado físico directo. Las cartesianas convienen para dar los vectores en un sistema fijo, para sumarlos y para derivar sin pensar, porque sus versores no cambian.

La Tierra que gira. Un objeto quieto sobre la superficie, visto desde un sistema con origen en el centro de la Tierra y ejes que apuntan a estrellas lejanas (y no giran con ella), hace un MCU. Pero la circunferencia no está centrada en el centro de la Tierra: es el paralelo del lugar, centrado sobre el eje de rotación y de radio R cos λ, con λ la latitud. Su aceleración apunta al eje, perpendicular a él, y sólo en el ecuador coincide con la dirección al centro de la Tierra. La Tierra da una vuelta respecto de las estrellas en un día sidéreo, 23 h 56 min = 86 164 s; usar 24 h cambia la rapidez en un 0,27 % y la aceleración, que depende de ω², en un 0,55 %. Con el eje z sobre el eje de rotación (hacia el norte) y t = 0 cuando el objeto cruza el plano xz:

En el hemisferio sur λ se toma negativa y la componente z de la posición queda negativa; cos λ, y con él la rapidez y la aceleración, no cambia.

Polares para cualquier trayectoria. Si la distancia al origen también cambia, r = r ê_r con r(t) variable, y derivando con las reglas de los versores:

Con r constante se recupera el caso circular. Sirve, por ejemplo, para una espiral r = a + b θ. El libro de la cátedra deduce estas fórmulas en un apéndice; si lo leés, en un renglón intermedio de la aceleración el término r ω² figura con signo más, y el resultado final, con el signo menos, es el correcto. Ojo también con no confundir el versor transversal ê_θ con el tangente: coinciden sólo en una circunferencia centrada en el origen.

Movimiento relativo entre sistemas en traslación

Dos observadores miran la misma partícula P: el laboratorio S y otro observador S′ cuyo origen O′ se mueve, pero cuyos ejes se mantienen siempre paralelos a los de S. Se dice que S′ se traslada respecto de S (aunque O′ recorra una curva, los ejes no giran). Como las posiciones se suman, r_P = r_O′ + r_P/O′, y derivando:

Con la notación de la barra que se presentó más arriba, la velocidad de A respecto de B (la que ve un observador que viaja con B, sin girar) es

y lo mismo con las aceleraciones. La última igualdad es la cadena que se usa con el avión y el viento: la velocidad del avión respecto de la tierra es la del avión respecto del aire más la del aire respecto de la tierra.

• Condiciones de validez. Los ejes de S′ no giran, y las velocidades son mucho menores que la de la luz (es la relatividad de Galileo). Si el observador gira con su sistema (alguien sobre una calesita que usa ejes pegados a ella), aparecen términos extra que no se ven en esta materia.
• Si O′ se mueve con velocidad constante, a_O′ = 0 y los dos observadores miden la misma aceleración, aunque vean velocidades y trayectorias distintas. Una piedra que se suelta dentro de un tren que va a velocidad constante cae en línea recta para un pasajero y describe una parábola para alguien en el andén, pero los dos le miden g. Esto es lo que hace que las leyes de Newton valgan igual en todos los sistemas inerciales (sección 4).
• Si O′ se acelera, la aceleración relativa es a_P − a_O′.

Procedimiento:

1. Nombrar los cuerpos y escribir cada velocidad con dos subíndices (de quién, respecto de quién).
2. Escribir la ecuación vectorial que las relaciona, cuidando el orden de los subíndices.
3. Dibujar el triángulo de velocidades, con lo conocido y lo desconocido.
4. Resolver por componentes (lo más seguro) o con trigonometría si el triángulo es rectángulo.
5. Interpretar: el rumbo (hacia dónde apunta un avión o un bote) es la dirección de la velocidad respecto del aire o del agua; la dirección en que avanza es la de la velocidad respecto de la tierra.

La rueda que rueda sin deslizar

Una rueda de radio R es un cuerpo rígido, no una partícula, pero el movimiento de cada uno de sus puntos se describe con lo de esta sección: es la traslación del centro más una rotación alrededor del centro. Si el centro avanza con velocidad v_CM y la rueda gira con velocidad angular Ω (para un cuerpo rígido se usa Ω mayúscula; el problema 17 la escribe ω), cada punto del borde tiene la velocidad del centro más la de un movimiento circular de radio R alrededor del centro, de módulo Ω R y tangente al borde.

Rodar sin deslizar quiere decir que el punto que toca el piso no patina: su velocidad es cero. En el punto de contacto la rotación (en el sentido de rodar hacia adelante) lleva al punto hacia atrás con Ω R, así que v_CM − Ω R = 0:

El de arriba va al doble, hacia adelante; los de los extremos del diámetro horizontal, a √2 v_CM inclinados 45° (el de adelante hacia abajo, el de atrás hacia arriba).

La trayectoria de un punto del borde. Con el origen donde el punto toca el piso en t = 0, la rueda avanzando hacia la derecha con v_CM constante y θ = Ω t el ángulo girado, medido desde el radio que apunta hacia abajo:

Es la posición del centro, (v_CM t; R), más la del punto respecto del centro, (−R sen θ; −R cos θ), que gira en sentido horario. La curva es una cicloide: una sucesión de arcos de altura 2R que tocan el piso, uno por vuelta, cada 2π R, con una punta en cada contacto. Derivando, con Ω R = v_CM:

La aceleración tiene módulo Ω² R constante y apunta siempre al centro de la rueda (si v_CM es constante, el centro no se acelera y sólo queda la parte circular). En particular, el punto de contacto tiene velocidad nula pero aceleración Ω² R hacia arriba: en ese instante deja el piso. La sección 10 desarrolla esto para cualquier cuerpo rígido (centro instantáneo de rotación, rodadura con aceleración).

La cinemática describe el movimiento; la dinámica explica por qué es así. La pregunta de esta sección es qué fuerzas actúan sobre un cuerpo que se puede tratar como una partícula y qué aceleración le producen. Todo sale de las tres leyes de Newton y de un puñado de fuerzas que hay que saber escribir: el peso, la Normal, la fuerza de un resorte, el rozamiento, la tensión de un hilo o de una barra, la resistencia de un fluido. Con eso se resuelven cuerpos que se arrastran, que cuelgan de poleas, que caen frenados por el aire y que giran en una curva. Al final hay un apartado corto sobre lo que pasa cuando se describe el movimiento desde un sistema que acelera.

Es parte de la unidad 1 de la Guía de Problemas y entra en el parcial, que abarca las unidades 1 a 3. Además es la base de todo lo que sigue: en sistemas de partículas y en cuerpo rígido se vuelve a escribir la segunda ley una y otra vez, con los mismos diagramas de cuerpo libre. Un dato para tener una idea: de 45 ejercicios de 16 parciales y recuperatorios del primer cuatrimestre de 2026, de cursos distintos, ninguno tiene la dinámica del punto como tema principal, pero en 4 aparece como herramienta dentro de otro tema (la Normal en lo alto de un rizo, el rozamiento entre un bloque y el cuerpo largo sobre el que desliza, y, en dos, un bloque colgado de un hilo que recibe un proyectil). El parcial lo arma cada curso, así que esos números describen esos exámenes y no dicen qué va a tomar el tuyo.

Con esta sección se resuelven, de la unidad 1: el cuerpo de 500 kg que una fuerza constante acelera sobre una mesa sin rozamiento (problema 18); los dos bloques unidos por una barra que bajan por un plano inclinado con rozamientos distintos (19); la relación entre las aceleraciones en los tres sistemas con poleas, y sus aceleraciones y tensiones (20 y 21; el enunciado del 21 dice "los sistemas del problema 19", pero son los del 20); la roca que cae en un medio viscoso y el paracaidista (26 y 27); la piedra que gira atada sobre una mesa (28); la curva plana y la curva peraltada de una autopista (29 y 30), y la bola que gira sujeta a un poste con dos cuerdas (31). Se dan por vistas la cinemática de la sección 3 (velocidad y aceleración como derivadas, MRUV, aceleración normal en un movimiento circular). Las oscilaciones de los problemas 22 a 25 son la sección 5, y el trabajo y la energía, la sección 6.

Fuerza, masa y las tres leyes de Newton

Un cuerpo se trata como partícula (o punto material) cuando su tamaño y su rotación no importan para lo que se pregunta: toda su masa se concentra en un punto y su movimiento es el de ese punto. Un auto en una curva de 300 m de radio es una partícula; una rueda que rueda, no (eso es la unidad 3).

Una fuerza es la medida de una interacción entre dos cuerpos: la Tierra atrae a una piedra, un piso empuja a una caja, un hilo tira de un bloque. Es un vector, y su unidad en el SI es el newton: 1 N = 1 kg·m/s². Lo importante de la definición es que una fuerza siempre la hace alguien: si no podés decir qué cuerpo la ejerce, esa fuerza no existe.

Las tres leyes se nombran por su número. El libro de la cátedra las llama principio de inercia (la primera), principio de masa (la segunda) y principio de interacción (la tercera), y aclara que son principios: no se demuestran, se postulan y la experiencia los confirma.

Primera ley

Una partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza, o sobre la que la suma de las fuerzas es cero, sigue en reposo si estaba en reposo y sigue con movimiento rectilíneo uniforme si se movía. La propiedad de resistirse a cambiar la velocidad se llama inercia. Tres consecuencias que se usan todo el tiempo:

• Resultante nula no es reposo. ΣF = 0 quiere decir velocidad constante, que puede ser cero o no. Un auto que va por la ruta a 100 km/h constantes tiene resultante nula.
• Reposo y MRU son equivalentes. Ningún experimento mecánico hecho dentro de un vagón cerrado distingue si está quieto o si avanza con velocidad constante. Con un vagón que acelera, en cambio, se nota: los objetos "se van hacia atrás".
• La velocidad no salta. Para cambiarla hace falta una fuerza actuando durante un tiempo, así que la velocidad es una función continua del tiempo. La aceleración sí puede cambiar de golpe, si de golpe cambia la fuerza (se corta un hilo, se abre un paracaídas).

Segunda ley

La forma general dice que la resultante de las fuerzas sobre la partícula es la derivada de su cantidad de movimiento p = m v (también se la llama momento lineal; la sección 7 la desarrolla). Si la masa es constante, que es el caso de toda esta sección, la derivada de m v es m a:

Se lee así: la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo tiene la dirección y el sentido de la aceleración, y su módulo es m veces el de la aceleración. La masa es la medida de la inercia: con la misma resultante, el cuerpo de más masa acelera menos. Es una ecuación vectorial, o sea, tres ecuaciones escalares, una por eje: ΣF_x = m a_x, ΣF_y = m a_y, ΣF_z = m a_z.

Condiciones en que vale tal cual: (1) la aceleración se mide desde un sistema de referencia inercial (el apartado siguiente); (2) la masa es constante (para un cohete que expulsa gases no sirve m a, hay que volver a la forma con p); (3) el cuerpo es una partícula, o, para un cuerpo extenso, a es la aceleración de su centro de masa (sección 7).

Tercera ley

Si A le hace una fuerza a B, B le hace a A una fuerza de igual módulo, igual dirección y sentido contrario: F_{A sobre B} = −F_{B sobre A}. Las dos fuerzas forman un par de interacción y tienen cuatro propiedades que conviene repetir hasta que salgan solas:

• Aparecen al mismo tiempo, como dos caras de una sola interacción. No hay una "acción" primero y una "reacción" después; por eso el libro prefiere el nombre principio de interacción.
• Actúan sobre cuerpos distintos, así que nunca se anulan entre sí en un diagrama de cuerpo libre. Si actuaran sobre el mismo cuerpo, nada podría acelerarse nunca.
• Son de la misma naturaleza: el par de una fuerza gravitatoria es gravitatoria; el de una fuerza de contacto, de contacto.
• Valen siempre, se mueva o no el sistema, acelere o no.

Sistemas de referencia inerciales

La primera ley no vale desde cualquier lado. Desde un colectivo que frena, una pelota apoyada en el piso empieza a rodar hacia adelante sin que nadie la toque. Un sistema de referencia inercial es justamente uno desde el cual la primera ley se cumple: una partícula libre se ve quieta o en MRU. En esos sistemas vale también la segunda ley tal como está escrita.

• Para todos los problemas de la guía el sistema inercial es el sistema fijo a Tierra, o laboratorio. En rigor no lo es (la Tierra gira sobre su eje y alrededor del Sol), pero el error es chico: según el libro de la cátedra, la corrección por la rotación terrestre es del orden del 0,3 % del peso en el ecuador.
• Cualquier sistema que se mueva con velocidad constante respecto de uno inercial también es inercial (un tren en una recta a velocidad constante).
• Un sistema que acelera respecto del laboratorio no es inercial. El último apartado de esta sección muestra cómo se trabaja desde ahí.

Diagrama de cuerpo libre y segunda ley por componentes

Casi todos los errores de dinámica son errores de diagrama: una fuerza de más, una de menos o una con el sentido cambiado. Por eso conviene seguir siempre el mismo orden.

1. Elegí el cuerpo y aislalo. Dibujalo solo, sin lo que lo rodea. Si hay varios cuerpos, un diagrama por cada uno.
2. Dibujá todas las fuerzas que actúan sobre él, y sólo esas. Una a distancia, el peso, y después una por cada cosa que lo toca: el piso (Normal y, si hay, rozamiento), cada hilo (tensión), cada resorte, cada barra, la mano que empuja, el fluido. Para cada flecha preguntate quién la hace; si no hay nadie, no va.
3. Elegí el sistema de referencia, fijo a Tierra: origen, ejes y sentido positivo. Si sabés hacia dónde apunta la aceleración, poné un eje en esa dirección: a lo largo del plano inclinado, hacia el centro de la circunferencia, en la dirección del hilo. Así la otra ecuación queda con aceleración cero.
4. Proyectá la segunda ley en cada eje. Escribí las fuerzas en módulo y poné el signo a mano según apunten a favor o en contra del eje: ΣF_x = m a_x, ΣF_y = m a_y.
5. Agregá lo que no dice Newton: las condiciones de vínculo (sobre un piso, a_y = 0; los hilos relacionan aceleraciones) y la ley de cada fuerza (f = μ_d N, F = k Δl, F_v = k v).
6. Contá ecuaciones e incógnitas, resolvé con letras y recién al final reemplazá números.
7. Controlá: unidades, signos, un caso límite (¿qué pasa si el ángulo es cero, si una masa es cero?) y las hipótesis: N ≥ 0, T ≥ 0 en un hilo, rozamiento estático que no supere μ_e N.

En un plano inclinado un ángulo α el eje x se pone a lo largo del plano y el y perpendicular. El peso queda oblicuo y se descompone: la componente a lo largo del plano vale P sen α y la perpendicular, P cos α. Para no equivocarse de función: el ángulo entre el peso y el eje y es α, porque el peso es perpendicular a la horizontal y el eje y es perpendicular al plano (ángulos de lados perpendiculares); la componente que está al lado de ese ángulo lleva el coseno. Control rápido: con α = 0 el plano es horizontal y la componente a lo largo del plano tiene que dar cero, y sen 0 = 0.

Si nada más empuja contra el plano, la ecuación en y da N − m g cos α = 0, o sea N = m g cos α, más chica que el peso. Si hay otra fuerza con componente perpendicular al plano (una mano que aprieta, un hilo oblicuo), la Normal cambia: la Normal no tiene fórmula propia, vale lo que haga falta para que el cuerpo no se hunda ni se despegue, y sale siempre de la ecuación del eje perpendicular.

Peso e interacción gravitatoria

Dos partículas de masas m₁ y m₂ separadas una distancia d se atraen con una fuerza dirigida a lo largo de la recta que las une, de módulo

Es la ley de gravitación universal. Para cuerpos esféricos homogéneos (la Tierra, en buena aproximación) se usa la distancia entre los centros. Es la más débil de las interacciones, pero siempre atrae y se acumula con la masa, por eso domina a escala de planetas.

El peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra. Cerca de la superficie, d es prácticamente el radio terrestre R_T y la fuerza resulta proporcional a la masa: P = m g, con g = G M_T/R_T² ≈ 9,8 m/s², vertical hacia abajo. A una altura h, g baja como 1/d²: g(h) = g (R_T/(R_T + h))². A 400 km de altura, donde orbitan las estaciones espaciales, (6370/6770)² = 0,885 y g vale todavía 8,7 m/s²: la gravedad no desaparece en órbita.

La m que aparece en el peso (la masa gravitatoria, que mide cuánto atrae y es atraído un cuerpo) y la m de la segunda ley (la masa inercial, que mide cuánto le cuesta acelerar) son en principio dos propiedades distintas. Experimentalmente son iguales, y por eso en caída libre m g = m a da a = g para cualquier cuerpo: todos caen igual en el vacío. Cada vez que simplificás la masa en un problema con peso, estás usando esa igualdad.

La Normal y lo que marca una balanza

La Normal es la fuerza de contacto perpendicular a la superficie que hace un apoyo. No tiene un valor fijo: vale lo necesario para que el cuerpo no atraviese la superficie, y sólo puede empujar (N ≥ 0). Cuando un cálculo da N = 0, el cuerpo está a punto de despegarse; si da negativa, ya se despegó y hay que replantear sin esa fuerza.

Una balanza de baño no mide la masa ni el peso: mide la fuerza con que la persona la aprieta, que es el par de la Normal que la balanza le hace a la persona. Para una persona de masa m en un ascensor con aceleración a (positiva hacia arriba), la segunda ley vertical es N − m g = m a, así que N = m (g + a). La balanza marca el peso sólo si a = 0, y eso pasa tanto con el ascensor quieto como subiendo o bajando a velocidad constante.

Fuerza elástica: la ley de Hooke

Un resorte deformado hace una fuerza que tiende a devolverlo a su longitud natural l₀, la que tiene sin carga. Para deformaciones no muy grandes la fuerza es proporcional a la deformación Δl = l − l₀:

k es la constante elástica (en N/m): mide qué tan duro es el resorte. El signo menos de la forma vectorial no quiere decir que la fuerza sea negativa: dice que apunta en contra de la deformación. Si el resorte está estirado, tira hacia adentro; si está comprimido, empuja hacia afuera. La receta práctica es la del libro de la cátedra: calculá el módulo k |Δl|, mirá el dibujo para saber si el resorte tira o empuja, y poné el signo según tus ejes.

La ley de Hooke es una aproximación (el primer término de un desarrollo de la fuerza en potencias de la deformación) y vale mientras no se pase el límite elástico del material. Un resorte ideal además no tiene masa, y por eso hace la misma fuerza en sus dos extremos (el mismo argumento que para un hilo, más abajo).

Resortes en serie y en paralelo

Un resorte equivalente es uno solo que, puesto en lugar de un conjunto, produce la misma fuerza con el mismo desplazamiento del extremo.

• En paralelo (lado a lado, unidos por una barra que cuelga horizontal): los dos se estiran lo mismo, x, y sus fuerzas se suman: F = k₁ x + k₂ x. Entonces k_eq = k₁ + k₂: el conjunto es más duro que cada uno.
• En serie (uno a continuación del otro): como son ideales, los dos soportan la misma fuerza F, y las deformaciones se suman: x = F/k₁ + F/k₂. Entonces 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂, o sea k_eq = k₁ k₂/(k₁ + k₂): el conjunto es más blando que cada uno.

Rozamiento estático y dinámico

Cuando dos superficies se tocan, la fuerza de contacto entre ellas se descompone en una parte perpendicular a la superficie, la Normal, y una parte paralela, el rozamiento (o fricción). Viene de las rugosidades y de las interacciones eléctricas entre los átomos de las dos caras. Hay dos regímenes muy distintos, según las superficies deslicen o no una respecto de la otra.

Estático: cuando no hay deslizamiento

Mientras las superficies no deslizan, el rozamiento estático vale lo que haga falta para que no deslicen, hasta un tope:

μ_e es el coeficiente de rozamiento estático (en algunos enunciados de la guía de problemas aparece como μ_s, de static: es el mismo coeficiente): adimensional, se mide, depende de los dos materiales y en general está entre 0 y 1 (hay pares de materiales que lo superan). El valor μ_e N es el máximo, no el valor: si empujás una heladera con 50 N y no se mueve, el rozamiento vale 50 N, aunque μ_e N sea 400 N. El sentido tampoco es fijo: es el que se opone a que las superficies empiecen a deslizar.

Dinámico: cuando hay deslizamiento

Si las superficies deslizan, el rozamiento dinámico tiene valor fijo y sentido contrario a la velocidad relativa entre ellas:

En el modelo que se usa en la materia, μ_d no depende de la rapidez ni del área de contacto. Que sea menor que μ_e explica algo conocido: cuesta más arrancar un mueble que mantenerlo en movimiento.

Las dos leyes del rozamiento dicen "se opone al movimiento relativo", no "se opone al movimiento". El rozamiento puede ser justamente lo que mueve a un cuerpo: una caja apoyada en la caja de una camioneta que arranca acelera hacia adelante porque el rozamiento estático la arrastra; un auto arranca porque el piso empuja sus ruedas hacia adelante, y dobla porque las empuja hacia el centro de la curva. En la caja y en el auto que arranca, el rozamiento apunta a favor de la velocidad; en el auto que dobla con rapidez constante apunta de costado, hacia el centro, perpendicular a la velocidad. En ningún caso se opone al movimiento del cuerpo: se opone al deslizamiento que habría entre las superficies si no estuviera.

¿Se mueve o no se mueve?

Cuando un enunciado no dice si el cuerpo desliza, hay que averiguarlo. El camino seguro:

1. Suponé que no desliza (respecto de la superficie con la que roza): la aceleración relativa es cero.
2. Calculá con la segunda ley el rozamiento que haría falta para que eso pase, con su signo.
3. Compará con el tope. Si |f| ≤ μ_e N, la suposición era correcta y el resultado vale. Si |f| > μ_e N, el cuerpo desliza: replanteá con f_d = μ_d N, opuesto a la velocidad relativa.

El plano inclinado con rozamiento

Un bloque apoyado en un plano inclinado un ángulo α, sin otras fuerzas, tiene N = m g cos α. Si está quieto, el rozamiento estático equilibra la componente del peso a lo largo del plano: f = m g sen α. La condición f ≤ μ_e N da

La masa no importa. Inclinando un plano de a poco hasta que el bloque arranca se mide μ_e: es la tangente del ángulo crítico. Si el bloque desliza, el rozamiento dinámico apunta contra la velocidad, y eso cambia según el sentido del movimiento (eje x a lo largo del plano, hacia abajo):

Subiendo, el peso y el rozamiento frenan juntos; bajando, el rozamiento se opone al peso. Un bloque lanzado hacia arriba se frena, se detiene y después vuelve a bajar sólo si tan α > μ_e; si no, se queda arriba.

Tensión, hilos, poleas y barras: los vínculos

Un hilo ideal (o cuerda ideal) es inextensible, de masa despreciable y perfectamente flexible. La fuerza que hace sobre lo que tiene atado en cada extremo es la tensión: va a lo largo del hilo y siempre tira, nunca empuja.

• Masa despreciable ⇒ misma tensión en los dos extremos. Aplicada al tramo de hilo, la segunda ley da F₁ − F₂ = m_hilo a; con m_hilo = 0, las dos fuerzas que le hacen los cuerpos son iguales. Y como la tensión sobre cada cuerpo es el par de la fuerza que ese cuerpo le hace al hilo, las dos tensiones tienen el mismo módulo T. Ojo: esas dos tensiones no son un par de interacción entre sí (actúan sobre cuerpos distintos, pero cada una es pareja de una fuerza sobre el hilo).
• Inextensible ⇒ relación entre aceleraciones. Si el hilo no cambia de largo, las posiciones de los cuerpos que une no son independientes. Esa relación es la condición de vínculo.
• Sólo tira ⇒ T ≥ 0. Si un cálculo da tensión negativa, el hilo está flojo: se replantea con T = 0 y los cuerpos se mueven por separado.

Una polea ideal no tiene masa y gira sin rozamiento en su eje, así que el hilo que pasa por ella tiene la misma tensión de los dos lados. Una polea fija sólo cambia la dirección del hilo. Una polea móvil (que se traslada con algo colgado) igual cumple la segunda ley: como no tiene masa, la suma de las fuerzas sobre ella es m_polea a = 0 aunque acelere. Si un hilo la abraza, tira de ella con sus dos tramos, 2T, y eso tiene que equilibrar lo que cuelga de su eje.

Una barra rígida liviana articulada en sus extremos (sin masa, sin otras fuerzas en el medio) hace sobre cada cuerpo una fuerza a lo largo de la barra, como un hilo, pero puede tirar o empujar: si tira está traccionada, si empuja está comprimida. En el planteo se supone un sentido (por ejemplo, que tira) y el signo del resultado dice cuál era el correcto. Un hilo, en cambio, nunca puede dar compresión.

Cómo sacar la relación entre aceleraciones

Que dos cuerpos unidos por un hilo tengan aceleraciones de igual módulo no es una regla: es lo que pasa con una polea fija, y con poleas móviles deja de valer. El método que siempre funciona es el del libro de la cátedra:

1. Coordenadas: elegí un origen fijo (un punto del techo, el eje de una polea fija) y ejes fijos, y escribí la posición de cada cuerpo y de cada polea móvil.
2. Largo del hilo: escribilo como suma de tramos, cada uno como diferencia de coordenadas de sus extremos, de modo que cada término sea positivo. Los pedazos que abrazan una polea y los tramos de largo fijo son constantes: se juntan en una constante.
3. Derivá dos veces respecto del tiempo. El largo es constante, así que la derivada da cero, y queda una relación lineal entre las aceleraciones (con sus signos, según tus ejes).
4. Si hay varios hilos, una ecuación por hilo.

Dos reglas que salen de ahí y sirven para controlar: si una polea móvil está abrazada por un hilo que tiene un extremo fijo, el otro extremo se mueve el doble que la polea (dos tramos que cambian a la par); si un hilo termina atado al eje de una polea móvil, esa polea se mueve igual que lo que está en el otro extremo de ese hilo.

El procedimiento completo para un sistema de cuerpos vinculados:

1. Un diagrama de cuerpo libre por cada cuerpo con masa y por cada polea móvil.
2. Ejes fijos, los mismos para todos, con el sentido positivo elegido de modo que convenga (el libro suele tomar y hacia abajo para que los cuerpos que bajan tengan aceleración positiva).
3. Segunda ley para cada cuerpo en cada eje; para cada polea móvil sin masa, suma de fuerzas igual a cero.
4. Una condición de vínculo por hilo.
5. Resolver el sistema. Controlar al final que las tensiones de los hilos den positivas y que el sentido supuesto para el rozamiento sea coherente con el movimiento obtenido.

Sumar las ecuaciones de los dos cuerpos para eliminar la tensión funciona porque los dos tienen la misma aceleración a lo largo del hilo: el resultado es como si fuera un solo cuerpo de masa m_A + m_B empujado por las fuerzas exteriores a lo largo del hilo. Con una polea móvil las aceleraciones son distintas y la suma directa ya no sirve; hay que usar el vínculo.

Fuerza viscosa proporcional a la velocidad

Un cuerpo que se mueve dentro de un fluido (aire, agua, aceite) recibe una fuerza de resistencia que depende de su velocidad respecto del fluido. Para velocidades chicas, o fluidos muy viscosos, un buen modelo es una fuerza proporcional a la velocidad y opuesta a ella:

k depende de la forma y el tamaño del cuerpo y de la viscosidad del fluido. (La guía de problemas llama k a este coeficiente en un problema y K en otro; ojo, que no es la constante de un resorte.) A velocidades altas la resistencia crece más rápido, como v², pero ese modelo no está en la guía. Lo que cambia todo respecto de los problemas anteriores es que la fuerza depende de la velocidad: la aceleración ya no es constante y las fórmulas del MRUV no sirven.

La ecuación y la velocidad terminal

Un cuerpo de masa m se mueve en línea recta (por ejemplo, cae) bajo una fuerza constante F en el sentido del movimiento (el peso, o el peso menos el empuje del fluido) más la viscosa. Con el eje en el sentido de F, la segunda ley es

Sin resolver nada ya se ve el comportamiento: mientras F > k v la aceleración es positiva y v crece; al crecer v, la resistencia crece y la aceleración baja. Se llega a un valor en el que las dos fuerzas se equilibran y la aceleración es cero: la velocidad terminal o velocidad límite (la guía usa los dos nombres),

Si el cuerpo arranca más rápido que v_L, la resistencia gana, la aceleración es negativa y el cuerpo frena hacia el mismo v_L. Es lo que pasa al abrir un paracaídas.

La solución: un exponencial

La ecuación es de variables separables. Escribiéndola como dv/(F − k v) = dt/m e integrando desde v₀ en t = 0 hasta v en t:

τ es el tiempo característico y tiene unidades de tiempo (kg dividido kg/s). La diferencia entre la velocidad y la terminal se achica en un factor e = 2,72 cada τ segundos. Desde el reposo (v₀ = 0) queda v(t) = v_L (1 − e^−t/τ).

• Aceleración: a(t) = dv/dt = −(v₀ − v_L)/τ · e^−t/τ, que es lo mismo que (F − k v)/m en cada instante. Desde el reposo, a(0) = F/m: al principio la resistencia es nula y el cuerpo acelera como si no hubiera fluido.
• Posición: integrando otra vez, x(t) = x₀ + v_L t + (v₀ − v_L) τ (1 − e^−t/τ). Para tiempos largos, el cuerpo avanza como si fuera a v_L desde el principio, más una distancia fija (v₀ − v_L) τ.
• Cuánto tarda: después de τ ya se hizo el 63 % del cambio de velocidad; después de 3τ, el 95 %; después de 5τ, el 99,3 %. Matemáticamente nunca llega a v_L; en la práctica, en unos pocos τ. El tiempo para que la diferencia baje a una fracción dada sale de despejar: t = τ ln[(v₀ − v_L)/(v − v_L)].

Un caso típico tiene dos tramos: primero una caída libre y después, de golpe, aparece la resistencia (se abre el paracaídas). Se resuelve tramo por tramo, y lo que conecta los tramos es la velocidad, que es continua: la velocidad final del primero es la v₀ del segundo. La aceleración, en cambio, salta: justo antes de abrir vale g hacia abajo y justo después vale (m g − k v₀)/m, que puede ser enorme y apuntar hacia arriba.

Dinámica del movimiento circular

De la cinemática (sección 3): en un movimiento sobre una circunferencia de radio R, la aceleración tiene una componente normal (o centrípeta), dirigida hacia el centro, y una tangencial, en la dirección de la velocidad:

En el movimiento circular uniforme sólo hay normal. La segunda ley proyectada en esos ejes dice cuánta fuerza hace falta:

La fuerza centrípeta no es una fuerza más: es el nombre de la suma de las componentes hacia el centro de las fuerzas que ya están (la tensión de un hilo, el rozamiento, la Normal, el peso). Nunca se dibuja en el diagrama de cuerpo libre. Para que un cuerpo gire, algo real tiene que tirar o empujar hacia el centro; si eso desaparece (se corta el hilo), el cuerpo sigue en línea recta en la dirección que tenía, tangente a la circunferencia, como dice la primera ley. La "fuerza centrífuga" no existe vista desde el laboratorio: sólo aparece si se describe el movimiento desde un sistema que gira con el cuerpo (último apartado).

1. Ubicá la circunferencia: en qué plano está, dónde está su centro y cuánto vale el radio. En un movimiento en un plano horizontal el centro está a la altura del cuerpo, no en el punto del que cuelga el hilo.
2. Diagrama de cuerpo libre con las fuerzas reales.
3. Ejes: uno hacia el centro (horizontal, si la circunferencia es horizontal), uno perpendicular al plano de giro y, si la rapidez cambia, el tangencial.
4. Ecuaciones: ΣF_n = m v²/R, la de equilibrio en el eje perpendicular, y la tangencial si hace falta. Si el dato es la frecuencia, usá v = ω R, con ω igual a 2π por la cantidad de vueltas por segundo (60 rpm son 1 vuelta por segundo, ω = 2π rad/s).
5. Condiciones: rozamiento estático que no supere μ_e N, hilo con T ≥ 0, contacto con N ≥ 0. De ahí salen las velocidades máximas y mínimas.

Cuerda sobre una mesa horizontal

Una piedra atada a un hilo gira sobre una mesa horizontal sin rozamiento. El peso y la Normal se equilibran; la única fuerza horizontal es la tensión, que apunta hacia el centro. Entonces T = m v²/R: la tensión crece con el cuadrado de la rapidez.

Curva plana

Un auto que toma una curva plana de radio R con rapidez v necesita una fuerza horizontal hacia el centro. El peso y la Normal son verticales; la única fuerza horizontal es el rozamiento estático entre las ruedas y el piso. Es estático aunque el auto se mueva, porque las ruedas no patinan de costado: no hay deslizamiento lateral relativo. Entonces

El rozamiento necesario crece con v²; cuando llega al tope, el auto empieza a derrapar hacia afuera (sigue más recto de lo que pide la curva). La velocidad máxima no depende de la masa: un camión y una moto con el mismo μ_e tienen el mismo límite.

Curva peraltada

Si la calzada está inclinada un ángulo θ hacia el centro (el peralte), la Normal deja de ser vertical y su componente horizontal ayuda a doblar. Conviene tomar un eje horizontal hacia el centro y uno vertical (no los del plano inclinado: la aceleración es horizontal). Con el rozamiento f a lo largo de la calzada, positivo hacia abajo (hacia el centro):

Resolviendo el sistema para N y f:

• Velocidad de diseño: f = 0 cuando v_d = √(g R tan θ). A esa rapidez la curva se toma sin rozamiento: la Normal sola da la centrípeta (sirve incluso con hielo).
• Más rápido que v_d: f > 0, el rozamiento apunta hacia abajo de la calzada; el auto tiende a irse hacia afuera.
• Más despacio que v_d: f < 0, el rozamiento apunta hacia arriba; el auto tiende a resbalar hacia adentro.

Poniendo |f| = μ_e N en cada caso salen los límites:

Si tan θ ≤ μ_e, el numerador de v_mín es negativo o cero: no hay mínima, el auto puede incluso detenerse en la curva sin resbalar (es el mismo criterio del bloque en un plano). Con θ = 0 las dos fórmulas vuelven a la curva plana: v_máx = √(μ_e g R).

Péndulo cónico

Una bola colgada de un hilo de largo L que gira en una circunferencia horizontal con velocidad angular Ω constante (la cátedra usa Ω en el problema del poste) describe un cono. Si el hilo forma un ángulo φ con la vertical, el radio es r = L sen φ y el centro de la circunferencia está a la altura de la bola, sobre la vertical del punto de suspensión.

Tres lecturas: la tensión siempre es mayor que el peso (su componente vertical ya lo equilibra); cuanto más rápido gira, más se abre el cono; y hace falta Ω > √(g/L) para que el hilo se aparte de la vertical. La altura del cono, L cos φ = g/Ω², no depende del largo del hilo.

Bola sujeta con dos cuerdas

Si la bola está atada a un poste vertical con dos cuerdas, una que sube y otra que baja, hay dos tensiones desconocidas y dos ecuaciones. Con cuerdas de igual largo L que forman el ángulo φ con el poste (simétricas, la bola a media altura):

La cuerda de arriba siempre está más tensa, porque además de aportar a la centrípeta sostiene el peso; la de abajo tira hacia abajo y empeora las cosas en vertical. La de abajo sólo está tensa (T₂ ≥ 0) si m Ω² L ≥ m g/cos φ, es decir, si Ω² ≥ g/h, con h = L cos φ la distancia vertical entre cada punto de atadura y la bola. Si gira más despacio, la cuerda de abajo queda floja, la bola baja y el sistema se vuelve un péndulo cónico de un solo hilo con un ángulo menor. La geometría manda: en el instante en que la cuerda de abajo justo se afloja, todavía vale la geometría simétrica, y la frecuencia crítica sale de ahí.

Circunferencia vertical: el rizo

Si el cuerpo recorre una circunferencia en un plano vertical (un carrito en un rizo, un balde que se hace girar), la rapidez cambia de punto a punto: el peso tiene componente tangencial. La rapidez en cada punto sale de la energía (sección 6); la dinámica dice qué fuerza hace la pista o el hilo, escribiendo la ecuación normal en el punto que interesa:

Arriba el peso ya apunta hacia el centro y ayuda; abajo apunta hacia afuera y la Normal tiene que compensarlo y además dar la centrípeta, por eso abajo se siente más "pesado". Como la pista sólo empuja, N ≥ 0 arriba exige v ≥ √(g R) en el punto más alto: más despacio, el cuerpo se despega antes de llegar. Con un hilo es igual, cambiando N por T. Con una barra rígida, que puede empujar, la condición desaparece: arriba alcanza con cualquier rapidez mayor que cero.

Sistemas de referencia no inerciales

Los problemas de la guía se resuelven desde el laboratorio. Pero el libro de la cátedra dedica un cuadernillo a qué pasa cuando el observador está en un sistema que acelera respecto de Tierra (un vagón que arranca, un ascensor que frena), y a veces es lo más cómodo. El cuadernillo trata sólo sistemas que se trasladan sin rotar, y eso es lo que sigue.

Si un sistema S′ se traslada respecto del laboratorio con aceleración a_arr (la aceleración de arrastre; el libro la escribe a_sist o a_a), la aceleración de una partícula respecto del laboratorio es la de arrastre más la relativa a S′:

Multiplicando por m y usando la segunda ley (que vale en el laboratorio), ΣF = m a_arr + m a′, o sea

Desde el sistema acelerado la ecuación tiene la forma de la segunda ley si a las fuerzas reales se les suma una fuerza ficticia (o fuerza de inercia, o pseudofuerza) F*, opuesta a la aceleración del sistema y proporcional a la masa de cada cuerpo, y si la aceleración que se usa es la relativa a′. Sus propiedades la distinguen de una fuerza de verdad:

• No es una interacción: nadie la hace y no tiene par. Por eso no se puede decir que las leyes de Newton valgan en un sistema no inercial: lo que vale es una ecuación con la misma forma.
• Depende del observador: desde el laboratorio no existe; desde dos sistemas con distinta aceleración, vale distinto.
• Es proporcional a la masa de cada cuerpo, igual que el peso. Por eso dentro de un vehículo que acelera se siente como una gravedad extra: dentro de un ascensor que acelera hacia arriba con a, todo pasa como si la gravedad valiera g + a.
• No agrega física nueva: las ecuaciones son las del laboratorio con un término pasado del otro lado. Conviene cuando los cuerpos están quietos respecto del vehículo (las ecuaciones quedan de equilibrio) o cuando se conoce su movimiento relativo.

El mismo cuadernillo usa una idea parecida con el péndulo que oscila, describiéndolo desde un sistema que acompaña a la lenteja: ahí aparecen dos fuerzas ficticias, opuestas a las aceleraciones normal y tangencial. La opuesta a la normal, m v²/R hacia afuera, es la que en la calle se llama fuerza centrífuga. Sólo existe para quien gira con el cuerpo; en un diagrama hecho desde el laboratorio no va nunca.

Las trampas del tema

Un bloque atado a un resorte, un péndulo, el pistón de un motor, la hoja de una sierra: todos van y vienen alrededor de una posición de equilibrio y, mientras el apartamiento sea chico, todos siguen la misma ley. La fuerza que los devuelve al equilibrio es proporcional a cuánto se apartaron. Eso alcanza para que el movimiento sea un movimiento armónico simple (MAS, como lo escribe siempre la guía): la posición es un coseno del tiempo y el período no depende de la amplitud. Esta sección arma ese modelo con las leyes de Newton y lo aplica a los dos sistemas de la unidad: la masa unida a un resorte y el péndulo simple.

Es parte de la unidad 1 de la Guía de Problemas y entra en el parcial, que abarca las unidades 1 a 3. Con esta sección se resuelven, de la unidad 1: el pistón de un motor con su carrera y sus rpm (problema 22), la partícula sometida a una fuerza proporcional a la posición de la que se conocen datos en dos instantes (23), el péndulo simple completo, con ecuación, gráficos, rapidez y tensión (24), y los dos bloques apilados unidos a un resorte (25). También da la base de los problemas de energía con resortes (38, 39 y 40) y del péndulo con un clavo (43), que se resuelven con la sección 6, y del péndulo físico de la sección 14. Se dan por vistas la cinemática de la sección 3 (derivar la posición, movimiento circular con aceleración tangencial y normal) y la dinámica de la sección 4 (diagrama de cuerpo libre, segunda ley, rozamiento).

Dos nombres antes de empezar: ω es la pulsación de la oscilación (muchos libros la llaman frecuencia angular) y φ es la fase inicial (en otros textos, constante de fase o ángulo de fase).

Fuerza restitutiva lineal y ecuación del oscilador

La fuerza de un resorte

Un resorte ideal (sin masa) estirado o comprimido una distancia Δl respecto de su longitud natural l₀ hace sobre lo que tiene atado una fuerza de módulo k Δl (ley de Hooke). La constante elástica k, en N/m, mide cuán duro es el resorte. La fuerza apunta siempre hacia donde el resorte recupera su longitud natural: si está estirado, tira; si está comprimido, empuja. La ley de Hooke es una aproximación: vale mientras la deformación sea chica frente al largo del resorte (es el primer término de un desarrollo de la fuerza en potencias de la deformación).

Con el bloque sobre un piso horizontal sin rozamiento, conviene poner el origen del eje x en la posición del bloque cuando el resorte tiene su longitud natural. Así la deformación es directamente x (positiva si el resorte está estirado, negativa si está comprimido) y la componente x de la fuerza del resorte es

El signo menos no dice que la fuerza sea "negativa": dice que tiene sentido contrario al desplazamiento. Con x > 0 la fuerza apunta hacia −x; con x < 0, hacia +x. A una fuerza así, que apunta siempre hacia un punto fijo y crece en proporción a la distancia a ese punto, se la llama fuerza restitutiva lineal. El punto donde se anula, x = 0, es la posición de equilibrio.

La ecuación del oscilador

Sobre el bloque actúan el peso y la normal, que se anulan, y la fuerza del resorte. La segunda ley de Newton (el principio de masa, en el libro de la cátedra) en la dirección x da

Es una ecuación diferencial: dice cuánto vale la aceleración en cada posición, no dónde está el bloque en cada instante. Se lee así: la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario. Cualquier sistema que cumpla eso, sea un bloque, un péndulo o un pistón, hace el mismo movimiento. Por eso, para justificar que algo es un MAS alcanza con mostrar que su fuerza neta (o su aceleración) es de la forma −(constante positiva) × (desplazamiento desde un punto fijo).

La solución: amplitud, pulsación, período y fase

La solución general de la ecuación del oscilador es

Se comprueba derivando dos veces: d²x/dt² = −ω² A cos(ω t + φ) = −ω² x. Tiene dos constantes, A y φ, porque la ecuación es de segundo orden: la ecuación sola no las fija, las fija cómo se largó el movimiento. En cambio ω no se elige: la fija el sistema.

• Amplitud A (en m): el apartamiento máximo desde el equilibrio. Se toma positiva. El bloque va y viene entre x = −A y x = A, y la distancia entre los dos extremos, 2A, es la longitud de la trayectoria (en un motor se la llama carrera).
• Fase ω t + φ (en rad): el argumento del coseno. Dice en qué parte del ciclo está el cuerpo. Su valor en t = 0, φ, es la fase inicial.
• Pulsación ω (en rad/s, o sea s⁻¹): cuánto avanza la fase por segundo.
• Período T (en s): lo que dura un ciclo completo, ida y vuelta. En un período la fase avanza 2π y todo se repite: ω T = 2π.
• Frecuencia f (en Hz, ciclos por segundo): f = 1/T.

Tres cosas para mirar en estas fórmulas. El período no depende de la amplitud: un bloque apartado 1 cm y otro apartado 10 cm tardan lo mismo en ir y volver (el que se apartó más va más rápido). Más masa, período más largo; resorte más duro, período más corto. Y ω tiene unidades de velocidad angular aunque nada gire: si un dato viene en rpm o en ciclos por minuto, f = (ciclos por minuto) / 60 en Hz y ω = 2π f.

El coseno no es la única manera de escribir la solución: A sen(ω t + φ′), con φ′ = φ + π/2, es la misma función, y también C₁ cos(ω t) + C₂ sen(ω t), con A = √(C₁² + C₂²). Conviene elegir una forma y sostenerla: en esta guía va el coseno.

El MAS como sombra de un movimiento circular

Una imagen que ayuda mucho con la fase: un vector de largo A que gira alrededor del origen con velocidad angular constante ω, en sentido antihorario. El ángulo que forma con el eje x en el instante t es ω t + φ, y su proyección sobre el eje x vale A cos(ω t + φ): exactamente x(t). El MAS es la sombra de un movimiento circular uniforme. De ahí sale el nombre de fase para el ángulo, y de ahí que ω se mida en rad/s.

El dibujo sirve para leer la fase sin cuentas. φ = 0 es el vector apuntando hacia +x, con el cuerpo en x = A; φ = π, hacia −x, con el cuerpo en −A; φ = −π/2, hacia abajo, con la sombra en x = 0 y avanzando hacia +x (como el vector gira en sentido antihorario, cuando pasa por abajo su punta va hacia la derecha). Y la velocidad de la sombra es la componente x de la velocidad de la punta, que tiene módulo ω A: por eso la rapidez máxima del MAS es ω A.

Velocidad y aceleración

Derivando la posición respecto del tiempo:

Los máximos salen de que el seno y el coseno no pasan de 1:

La aceleración no es constante: cambia con la posición. Por eso no sirven las fórmulas del movimiento uniformemente variado (x = x₀ + v₀ t + a t²/2 y las que salen de ella) para un MAS. Lo que sí sirve es una relación entre velocidad y posición que no tiene el tiempo. Como sen² + cos² = 1,

Da la rapidez en cada posición. El signo de v depende de para qué lado va el cuerpo: por cada posición pasa dos veces por ciclo, una para cada lado. Es la misma relación que da la conservación de la energía, como se ve más abajo.

Los gráficos y el desfase

Con φ = 0 (cuerpo soltado desde x = A en t = 0) los tres gráficos quedan como en la figura. Conviene leerlos por columnas, en cada línea punteada. En t = 0 el cuerpo está en el extremo positivo, quieto, con la aceleración máxima hacia −x. En t = T/4 pasa por el equilibrio con la rapidez máxima, hacia −x, y aceleración nula. En t = T/2 está en el otro extremo, quieto, con la aceleración máxima hacia +x. Y así sigue.

Las tres curvas tienen el mismo período y están corridas una respecto de otra. Como −sen θ = cos(θ + π/2) y −cos θ = cos(θ + π):

• la velocidad está adelantada π/2 (un cuarto de período) respecto de la posición: llega a su máximo T/4 antes que x;
• la aceleración está en oposición de fase con la posición (desfase π, medio período): cuando x es máxima, a es mínima, y al revés. Su gráfico es el de x dado vuelta y multiplicado por ω².

La pendiente de cada gráfico es el valor del de abajo. Donde x(t) tiene pendiente nula (en los extremos), v = 0; donde la pendiente de x es máxima (al cruzar el eje), v es máxima en módulo. Eso permite dibujarlos sin hacer cuentas y controlar uno con otro. Si φ no es cero, los tres gráficos se corren juntos φ/ω hacia la izquierda: un φ positivo adelanta el movimiento.

Amplitud y fase a partir de los datos

ω sale del sistema (de k y m, o de la fuerza). A y φ salen de dos datos más sobre el movimiento, que pueden venir de tres maneras.

Con las condiciones iniciales

Si se conocen la posición x₀ y la velocidad v₀ en t = 0, de x(0) = A cos φ y v(0) = −ω A sen φ:

Para φ hacen falta los dos, el coseno y el seno, porque cada uno por separado deja dos ángulos posibles. Con el dibujo del vector que gira: el signo de x₀ dice si φ está a la derecha (cos φ > 0) o a la izquierda del eje vertical, y el signo de v₀ dice si está abajo (v₀ > 0, sen φ < 0) o arriba (v₀ < 0, sen φ > 0). La fórmula tan φ = −v₀ / (ω x₀) también vale, pero la calculadora devuelve un ángulo entre −π/2 y π/2: si x₀ < 0, hay que sumarle o restarle π.

Con los extremos o con la energía

Si el enunciado da los dos extremos, A es la mitad de la distancia entre ellos y el equilibrio está en el medio. Si se suelta el cuerpo desde el reposo apartado una distancia d del equilibrio, A = d, porque se lo suelta en un extremo. Si se le da un golpe en el equilibrio que lo deja con rapidez v₀, A = v₀ / ω. Y en general la energía da la amplitud: ½ k A² = ½ m v² + ½ k x² en cualquier punto (se ve más abajo). La fase, en estos casos, la fija dónde se pone t = 0; si el enunciado no lo dice, se elige lo más cómodo, en general t = 0 en un extremo y φ = 0.

Con datos en dos instantes distintos

A veces el enunciado no da el estado en t = 0 sino un dato en un instante t₁ (por ejemplo, que pasa por el equilibrio) y otro en un instante t₂ (por ejemplo, la velocidad). Se plantea igual: dos ecuaciones con A y φ como incógnitas, una por dato.

1. Hallar ω del sistema; si la fuerza es F = −c x, ω = √(c/m).
2. Escribir la condición en t₁. Si dice que pasa por x = 0: cos(ω t₁ + φ) = 0, o sea ω t₁ + φ = π/2 o ω t₁ + φ = −π/2 (sumar múltiplos de 2π no cambia nada). Quedan dos candidatos para φ: con el primero el cuerpo va hacia −x en t₁; con el segundo, hacia +x.
3. Escribir la condición en t₂ con cada candidato, por ejemplo v(t₂) = −ω A sen(ω t₂ + φ) = dato, y despejar A.
4. Quedarse con el candidato que da A > 0. El otro da una amplitud negativa, que es el mismo movimiento escrito con la fase corrida en π: se descarta para no tener dos versiones de lo mismo.
5. Controlar: reemplazar t₁ y t₂ en x(t) y en v(t) y ver que se cumplan los dos datos.

Un detalle: si el dato en t₂ es la rapidez, sin signo, la amplitud sale la misma con los dos candidatos y la fase queda con dos posibilidades, una por cada sentido de movimiento. Si lo que se pide es la longitud de la trayectoria (2A) o el período, da lo mismo.

Masa colgada de un resorte vertical

Si el resorte cuelga del techo, además de la fuerza elástica actúa el peso, que es constante. Lo que cambia es dónde queda el equilibrio, no la pulsación.

Con el eje y hacia abajo: en equilibrio, el resorte está estirado Δl y tira hacia arriba con k Δl, que compensa el peso.

Si ahora se mide y desde esa posición de equilibrio, con el bloque en y el resorte está estirado Δl + y, y la fuerza neta (positiva hacia abajo) es

porque m g − k Δl = 0. Es la misma ecuación que la del resorte horizontal: el bloque hace un MAS alrededor del nuevo equilibrio, con la misma ω = √(k/m). El peso sólo corrió el centro de la oscilación Δl hacia abajo.

Consecuencias que se usan mucho:

• El período de un resorte vertical no depende de g: en la Luna oscilaría igual. El del péndulo, en cambio, sí depende de g.
• Como k/m = g/Δl, la pulsación se puede sacar midiendo sólo cuánto se estira el resorte al colgar el cuerpo: ω = √(g/Δl).
• La amplitud se mide desde el equilibrio, no desde la longitud natural. Si se suelta el bloque desde la longitud natural del resorte (sin estirar), la amplitud es Δl y el bloque baja hasta que el resorte está estirado 2Δl, el doble de lo que se estira en equilibrio.
• Lo mismo pasa con cualquier fuerza constante que se sume a la del resorte: la componente del peso en un plano inclinado un ángulo β corre el equilibrio m g sen β / k a lo largo del plano, y una fuerza aplicada constante F lo corre F/k. La pulsación no cambia.

Resortes en serie y en paralelo

Dos resortes que sostienen juntos al mismo cuerpo y se estiran lo mismo (uno al lado del otro) están en paralelo: sus fuerzas se suman y equivalen a un único resorte de constante k₁ + k₂. Un bloque entre dos resortes atados a paredes opuestas es el mismo caso: al correrse x, uno empuja y el otro tira, los dos hacia el equilibrio. Dos resortes enganchados uno a continuación del otro están en serie: hacen la misma fuerza y sus estiramientos se suman, y el resorte equivalente es más blando que cualquiera de los dos. Con la constante equivalente vale todo lo anterior: ω = √(k_eq/m).

La energía del oscilador

La energía se desarrolla en la sección 6; acá va lo justo para el MAS. El resorte guarda energía potencial elástica E_p = ½ k x² (x es la deformación) y el bloque tiene energía cinética E_c = ½ m v². Sin rozamiento, la fuerza del resorte es la única que trabaja y la energía mecánica E_m = E_c + E_p se conserva. En los extremos v = 0 y toda la energía es potencial; en el equilibrio x = 0 y toda es cinética:

De ½ k A² = ½ m v_máx² sale otra vez v_máx = √(k/m) A = ω A, y despejando v en cualquier punto, v² = (k/m)(A² − x²) = ω² (A² − x²), la relación de antes. Con x(t) y v(t) se ve que la suma no depende del tiempo: E_c = ½ k A² sen²(ω t + φ) y E_p = ½ k A² cos²(ω t + φ). La energía pasa del resorte al bloque y vuelve dos veces por ciclo.

En el gráfico de energía contra posición, la energía potencial es una parábola y la mecánica una recta horizontal. Donde se cortan están los puntos de retorno, x = ±A: ahí la cinética se anula y el bloque da la vuelta. La energía es proporcional al cuadrado de la amplitud: para duplicar la amplitud hay que darle cuatro veces más energía.

En el resorte vertical, si y se mide desde el equilibrio, la suma de la energía potencial elástica y la gravitatoria resulta ½ k y² más una constante (que no importa, porque sólo cuentan las diferencias): se puede trabajar como si no hubiera peso, con ½ k y² contada desde el equilibrio. Ojo: ese ½ k y² no es la energía del resorte, que sigue siendo ½ k (Δl + y)².

Los problemas 38, 39 y 40 de la unidad 1 trabajan con esto: gráficos de energía de un resorte, y bloques que primero empuja una fuerza constante y después quedan oscilando libres. Para el segundo tipo sirve lo que se vio con el resorte vertical: mientras actúa la fuerza constante, el bloque oscila alrededor de un equilibrio corrido F/k; cuando la fuerza desaparece, oscila alrededor de la longitud natural, con la amplitud que le dé la energía que tenga en ese momento.

Dos cuerpos que oscilan juntos

Un bloque de masa M sobre un piso sin rozamiento, unido a un resorte, y otro bloque de masa m apoyado encima, con rozamiento entre los dos. Mientras el de arriba no resbale, los dos se mueven juntos como un solo cuerpo de masa M + m y hacen un MAS con

¿Qué fuerza acelera al bloque de arriba? No el resorte, que está atado al de abajo. Sobre el de arriba actúan su peso, la normal y el rozamiento con el de abajo. La única horizontal es el rozamiento estático (estático porque entre ellos no hay deslizamiento), y es la que le da la aceleración del conjunto:

O sea que el rozamiento cambia de sentido con la posición: apunta siempre hacia el equilibrio, como la aceleración, y su módulo es máximo en los extremos, m ω² A. El rozamiento estático tiene un tope, |f_e| ≤ μ_e N = μ_e m g. Para que no resbale en ningún momento hace falta

En la desigualdad m se simplifica: la condición es que la aceleración máxima del conjunto, ω² A, no pase de μ_e g (m sigue estando dentro de ω). Si la amplitud supera ese valor, el bloque de arriba empieza a resbalar cerca de los extremos, donde la aceleración es mayor, y el movimiento deja de ser un MAS de los dos juntos.

El péndulo simple

Un péndulo simple (el libro de la cátedra lo llama péndulo ideal) es una partícula de masa m colgada de un hilo inextensible y sin masa, de longitud L, que oscila en un plano vertical alrededor del punto de suspensión O. La guía llama α al ángulo que forma el hilo con la vertical, y α_MAX a su valor máximo (la amplitud angular); muchos libros de texto usan θ, y la sección 14 también, para el péndulo físico. La aceleración angular se escribe γ = d²α/dt² (en muchos libros de texto, α). El ángulo α se mide desde la vertical, positivo hacia un lado elegido, y en las fórmulas va siempre en radianes.

Ecuación de movimiento

Sobre la masa actúan el peso m g y la tensión del hilo, que en esta sección se escribe T_h para no confundirla con el período. La masa se mueve sobre una circunferencia de radio L, así que conviene usar ejes intrínsecos (sección 3): uno tangente a la trayectoria, positivo hacia donde crece α, y uno normal, sobre el hilo y hacia O.

La tensión no tiene componente tangencial. El peso se descompone en m g cos α a lo largo del hilo, hacia afuera, y m g sen α tangente a la trayectoria y siempre hacia la vertical. Como el arco recorrido es s = L α con L fijo, la aceleración tangencial es a_t = L γ. La segunda ley en la dirección tangencial queda

Se llega a lo mismo tomando momentos respecto de O: la tensión pasa por O y no hace momento, el peso hace −m g L sen α y el momento de inercia de la partícula respecto de O es m L² (así se trata el péndulo físico en la sección 14). La masa se simplifica: el movimiento de un péndulo simple no depende de cuánto pese.

Esta ecuación no es la del oscilador: tiene sen α en lugar de α. El péndulo también oscila con amplitudes grandes (con un hilo, hasta 90°: más arriba el hilo se afloja), pero su movimiento es un MAS sólo en forma aproximada, cuando el ángulo es chico.

Aproximación de ángulos chicos

Para ángulos chicos medidos en radianes, sen α ≈ α. La tabla muestra cuánto se equivoca uno con esa aproximación, y cuánto más largo es el período real que el de la fórmula aproximada:

Hasta unos 15° de amplitud, el período real se aparta menos de 0,5 % del de la fórmula aproximada. Con la aproximación:

Es la ecuación del oscilador con α en lugar de x y g/L en lugar de k/m. El período depende sólo de L y de g: no de la masa y, mientras el ángulo sea chico, tampoco de la amplitud. Esa independencia de la amplitud (el isocronismo) es lo que hizo útiles a los péndulos para medir el tiempo. Con amplitudes grandes el período crece un poco (última columna) y el movimiento ya no es un MAS.

La solución: ángulo, velocidad angular y aceleración angular

Con la aproximación, la solución es la del MAS:

α_MAX es la amplitud angular, en rad, y φ la fase inicial. Si el enunciado da la amplitud pero no dice desde dónde se cuenta el tiempo, cualquier fase es compatible con los datos; lo más cómodo es poner t = 0 en un extremo (φ = 0: se lo suelta desde α_MAX) o en el paso por la vertical (φ = −π/2: α = α_MAX sen(ω t)). Los gráficos de α, dα/dt y γ contra t son los de x, v y a de la figura de más arriba, con α_MAX, ω α_MAX y ω² α_MAX como amplitudes. Para graficar tres períodos alcanza con repetir tres veces el dibujo de uno.

Las magnitudes de la masa salen multiplicando por L: el arco es s = L α, la velocidad (tangente a la trayectoria) vale v = L dα/dt y la aceleración tangencial a_t = L γ. La rapidez máxima, al pasar por la vertical, es L ω α_MAX.

Si se pide el gráfico de la rapidez angular, |dα/dt|, es el de la velocidad angular con la parte negativa dada vuelta: nunca es negativo, se anula en cada extremo (con una punta en forma de V, porque ahí la velocidad angular cambia de signo) y su período es T/2. La velocidad angular, en cambio, dice además para qué lado gira el hilo.

Rapidez en función del ángulo

La rapidez de la masa en cada posición sale de la conservación de la energía: la tensión es perpendicular a la velocidad y no trabaja, y el único que trabaja es el peso. Con el nivel de referencia en el punto más bajo, cuando el hilo forma un ángulo α la masa está a una altura h = L (1 − cos α). Igualando la energía en el extremo (quieta, en α_MAX) con la de una posición cualquiera:

Esta fórmula es exacta: no usa la aproximación de ángulos chicos y vale para cualquier amplitud. Con ángulos chicos, cos α ≈ 1 − α²/2, y queda v ≈ √(g L (α_MAX² − α²)) = L ω √(α_MAX² − α²), que es la relación v² = ω² (A² − x²) del MAS con A = L α_MAX y x = L α. Para el péndulo del ejemplo anterior, en la vertical da 0,685 m/s con la fórmula exacta y 0,686 m/s con la aproximada: con 0,20 rad la diferencia es menor que 0,2 % (redondeadas a dos cifras dan 0,68 y 0,69 m/s sólo porque caen a uno y otro lado de 0,685).

Tensión del hilo y aceleración de la masa

La ecuación en la dirección normal (hacia O) da la tensión. La masa recorre un arco de radio L, así que su aceleración normal es v²/L, hacia O:

Reemplazando v² = 2 g L (cos α − cos α_MAX), que salió de la energía:

La aceleración de la masa tiene dos componentes, la tangencial y la normal:

Lo que más cuesta ver: en el punto más bajo la aceleración no es cero. La tangencial se anula (por eso la rapidez es máxima ahí), pero la masa está doblando y tiene aceleración centrípeta; por eso la tensión supera al peso. Y en el extremo la tensión no es m g: la masa está quieta pero acelerada tangencialmente, y en la dirección del hilo las fuerzas se equilibran porque v = 0: T_h = m g cos α_MAX. La tensión es máxima abajo y mínima en los extremos. Para ángulos chicos, la tensión abajo es aproximadamente m g (1 + α_MAX²), apenas más que el peso.

Cómo se plantean los problemas de la guía

MAS con la frecuencia y la carrera (tipo problema 22)

1. Pasar todo a SI: la carrera (la longitud de la trayectoria) es 2A; las rpm o los ciclos por minuto se dividen por 60 para tener f en Hz, y ω = 2π f.
2. Ubicar dónde se pide cada cosa: en los extremos de la carrera la aceleración y la fuerza neta son máximas (ω² A y m ω² A) y la velocidad es nula; en el punto medio la rapidez es máxima (ω A) y la aceleración es nula.
3. Si cambia la frecuencia con la misma amplitud, razonar con las potencias: la rapidez va con ω, la aceleración y la fuerza con ω².

Justificar el MAS y hallar A y T con datos en dos instantes (tipo 23)

1. Mostrar que la fuerza es de la forma −c x con c > 0 y escribir la segunda ley: d²x/dt² = −(c/m) x. Eso justifica que es un MAS.
2. Calcular ω = √(c/m) y T = 2π/ω.
3. Escribir x(t) = A cos(ω t + φ) y v(t) = −ω A sen(ω t + φ) y plantear un dato por instante: con el de posición salen dos candidatos para φ, con el de velocidad sale A.
4. Quedarse con A > 0 y controlar con los dos datos. La longitud de la trayectoria es 2A.

Péndulo simple completo (tipo 24)

1. Diagrama de cuerpo libre de la masa con el peso y la tensión, ejes tangencial y normal. Ecuación tangencial: m L γ = −m g sen α. Si α_MAX es chico (en rad), aproximar sen α ≈ α y decirlo.
2. ω = √(g/L) y T = 2π √(L/g), con L en metros.
3. Una solución: α(t) = α_MAX cos(ω t + φ), eligiendo φ según dónde se ponga t = 0. Derivar para tener dα/dt y γ.
4. Gráficos: los tres son senoidales del mismo período, corridos T/4 uno de otro; γ es α dada vuelta y escalada por ω². La rapidez angular es |dα/dt|, de período T/2.
5. Rapidez en función del ángulo, por energía: v = √(2 g L (cos α − cos α_MAX)).
6. Tensión, con la ecuación normal en cada posición pedida: T_h = m g cos α + m v²/L. Aceleración: componentes g sen |α| (tangencial) y v²/L (normal), y su suma vectorial.

Dos bloques apilados unidos a un resorte (tipo 25)

1. Mientras no resbalen, tratarlos como un solo cuerpo: ω² = k/(M + m).
2. Diagrama de cuerpo libre del bloque de arriba solo: la única fuerza horizontal es el rozamiento estático, f_e = m a.
3. La aceleración máxima, ω² A, se da en los extremos. Pedir que el rozamiento necesario no supere μ_e m g y despejar la amplitud. En el enunciado y en la figura del problema 25 el coeficiente aparece como μ_s (la s es de static, estático en inglés): es el mismo μ_e.

Trampas del tema

Las leyes de Newton dan la aceleración en cada instante. Muchas preguntas, en cambio, piden una velocidad en una posición: con qué velocidad llega abajo un cuerpo que bajó por una rampa curva, cuánto se comprime un resorte, si un carrito completa un rizo. Para eso está el planteo por energía: el trabajo de las fuerzas dice cuánto cambia la energía cinética entre dos posiciones, sin seguir el movimiento instante por instante. Esta sección arma ese planteo para una partícula: trabajo, potencia, energía cinética, energía potencial, fuerzas conservativas y no conservativas, y conservación de la energía mecánica.

Es el último bloque de la unidad 1 de la Guía de Problemas y entra en el parcial, que abarca las unidades 1 a 3 (y en el integrador, que abarca las cinco). Con esta sección se resuelven, de la unidad 1: el trabajo de cada fuerza sobre un cuerpo que sube un plano inclinado (problema 32), la energía cinética en la espiral del problema 10 (33), el trabajo de una fuerza leído de un gráfico (34), la potencia de un auto que acelera (35), las afirmaciones sobre potencia, trabajo y energía (36), el malacate que sube un furgón minero (37), la energía del sistema masa y resorte y sus gráficos (38), el resorte estirado por una fuerza constante (39 y 40), las energías de un proyectil (41), la piedra que baja por un tazón con rozamiento (42), el péndulo cuyo hilo toca un clavo (43), el resorte que lanza un objeto hacia una pista circular (44) y el paquete que baja por un plano inclinado contra un resorte (45). Se dan por vistos la cinemática, las leyes de Newton con el diagrama de cuerpo libre y el rozamiento (secciones 3 y 4), y el oscilador de masa y resorte y el péndulo simple (sección 5).

Notación. El trabajo es W y la potencia, P; para que no se confunda con la potencia, el peso se escribe siempre m g. Las energías son E_c (cinética), E_p (potencial: E_pg la gravitatoria y E_pe la elástica) y E_m = E_c + E_p (mecánica). W_fnc es el trabajo de las fuerzas no conservativas. Δ es siempre final menos inicial. De un resorte, l₀ es la longitud natural y Δl = l − l₀ la deformación (positiva si está estirado, negativa si está comprimido). El libro de la cátedra llama a W_total = ΔE_c teorema de las fuerzas vivas (muchos libros de texto le dicen teorema del trabajo y la energía cinética) y a W_fnc = ΔE_m, teorema del trabajo y la energía mecánica.

Trabajo de una fuerza

Una fuerza F actúa sobre una partícula que, en un instante, se desplaza dr sobre su trayectoria (un tramo tan chico que se lo puede tomar recto). El trabajo elemental de la fuerza en ese tramo es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento, y el trabajo entre dos puntos A y B es la suma de todos esos aportes a lo largo del camino que recorre la partícula: una integral de línea.

Como sale de un producto escalar, el trabajo es un escalar: tiene signo pero no dirección. Se mide en joule: 1 J = 1 N · 1 m = 1 kg·m²/s². Escrito con módulos, F · dr = F cos θ ds, donde ds = |dr| es el largo del tramo y θ el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento, que es el ángulo entre la fuerza y la velocidad. F cos θ es la componente tangencial de la fuerza: sólo esa parte trabaja. La componente perpendicular a la trayectoria cambia la dirección de la velocidad, pero no trabaja nunca. En componentes cartesianas, F · dr = F_x dx + F_y dy + F_z dz.

El signo lo decide el ángulo:

• θ menor que 90°: W > 0. La fuerza tiene una componente a favor del movimiento (el peso sobre un cuerpo que cae, el motor que empuja).
• θ = 90°: W = 0. La fuerza es perpendicular a la velocidad todo el tiempo (la normal de un piso fijo, la tensión del hilo de un péndulo, la fuerza que mantiene un movimiento circular).
• θ mayor que 90°: W < 0. La fuerza se opone al movimiento (el rozamiento sobre un cuerpo que resbala sobre un piso fijo, el peso sobre un cuerpo que sube).

Con varias fuerzas, el trabajo total es la suma de los trabajos de cada una. En una partícula todas las fuerzas actúan en el mismo punto y se desplazan lo mismo, así que esa suma es también el trabajo de la resultante.

Fuerza constante

Hay dos casos en los que la integral se resuelve sin cuentas, y conviene no mezclarlos:

• La fuerza es un vector constante (mismo módulo y misma dirección todo el tiempo, como el peso). Sale de la integral: W = F · ∫dr = F · Δr, con Δr el desplazamiento entre el punto inicial y el final, por cualquier camino.
• La fuerza tiene módulo constante y forma siempre el mismo ángulo con la velocidad (como el rozamiento dinámico sobre un piso, que siempre apunta contra el movimiento). Entonces W = F s cos θ, donde s es el largo del camino recorrido, que en un camino curvo o de ida y vuelta no es el módulo del desplazamiento.

En un camino recto recorrido en un solo sentido las dos coinciden. El libro de la cátedra lo escribe W = F Δr cos θ y subraya que no es la definición: sólo vale con módulo y ángulo constantes.

Fuerza variable: la integral y el área

Si la partícula se mueve sobre el eje x y la fuerza depende de la posición, sólo trabaja la componente F_x(x) y el trabajo es una integral común:

En un gráfico de F_x contra x el trabajo se lee como un área: lo que queda por encima del eje suma y lo que queda por debajo resta, si la partícula avanza hacia x positivo. Si retrocede (x_f < x_i), la integral se recorre al revés y los signos se invierten: una fuerza positiva sobre un cuerpo que va hacia la izquierda hace trabajo negativo. Las áreas se cortan en figuras simples (triángulos, rectángulos, trapecios) y se suman.

El trabajo de un resorte. Un resorte ideal (de masa despreciable, que cumple la ley de Hooke) le hace al cuerpo una fuerza proporcional a su deformación y opuesta a ella. Con el eje x a lo largo del resorte y el origen donde el resorte tiene su longitud natural, F_x = −k x. El gráfico es una recta y el área entre dos posiciones es un trapecio:

Con k = 200 N/m, si el resorte pasa de estar estirado 0,10 m a estarlo 0,30 m, el resorte hace −(1/2) · 200 · (0,30² − 0,10²) = −8,0 J. Una mano que lo estire despacio (sin darle energía cinética al extremo) hace +8,0 J. El trabajo del resorte es negativo cuando la deformación crece y positivo cuando el resorte vuelve hacia su longitud natural, estirado o comprimido.

Energía cinética y teorema de las fuerzas vivas

La energía cinética de una partícula de masa m que se mueve con rapidez v es

Es un escalar, nunca negativo, y no depende de la dirección de la velocidad. Sí depende del sistema de referencia, porque la velocidad depende de él: una valija en un tren tiene energía cinética para alguien parado en el andén y no para el pasajero sentado al lado.

De dónde sale el teorema. Se proyecta la segunda ley de Newton sobre la tangente a la trayectoria: la componente tangencial de la resultante cambia la rapidez, F_t = m dv/dt. El trabajo de la resultante en un tramo ds es F_t ds = m (dv/dt) ds. Como ds/dt = v, se puede reagrupar: m (dv/dt) ds = m (ds/dt) dv = m v dv, que es el diferencial de (1/2) m v². Integrando entre el punto inicial y el final:

Con vectores es lo mismo en una línea: Σ F · dr = m (dv/dt) · v dt = m v · dv = d((1/2) m v²). La parte normal de la resultante no aparece porque no trabaja. El nombre viene del siglo XVIII, cuando a m v² se la llamaba "fuerza viva".

Condiciones.

• W_total es el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula (o el de la resultante, que es lo mismo). Con el trabajo de una sola fuerza no vale.
• Es un teorema de una partícula (o de un cuerpo que se traslada sin girar ni deformarse). Para un sistema de partículas y para un cuerpo rígido se extiende en las unidades 2 y 3.
• Velocidades y desplazamientos se miden en un sistema inercial, que en los problemas es el sistema fijo a Tierra.

Consecuencias directas. Si la rapidez no cambia, el trabajo total es cero, aunque haya fuerzas: en un movimiento circular uniforme, o en cualquier curva recorrida con rapidez constante, la resultante es perpendicular a la velocidad en cada instante (sólo hay aceleración normal) y no trabaja. Un trabajo total positivo aumenta la rapidez y uno negativo la disminuye.

Potencia

Dos grúas que suben la misma carga a la misma altura hacen el mismo trabajo, pero la que lo hace en menos tiempo desarrolla más potencia: la potencia es la rapidez con la que una fuerza hace trabajo.

Se mide en watt: 1 W = 1 J/s. También se usa el caballo de fuerza, 1 HP ≈ 746 W. La potencia instantánea es la de una fuerza en un instante, y sólo cuenta la componente de la fuerza en la dirección de la velocidad. La potencia de la resultante es dE_c/dt. La potencia media en un intervalo es el promedio en el tiempo de la instantánea.

Trabajo, energía y potencia no son lo mismo. Trabajo y energía se miden en joule; la potencia, en watt, es un ritmo. Por eso la energía se puede guardar (en un tanque de agua elevado, en un resorte comprimido, en una batería) y la potencia no: lo que se guarda es energía, que después se puede entregar más rápido o más despacio. La factura de la luz cobra energía, en kilowatt hora: 1 kWh = 1000 W · 3600 s = 3,6 · 10⁶ J. Dos personas del mismo peso que suben la misma altura hacen el mismo trabajo contra el peso; la que sube más rápido desarrolla más potencia. Una persona de 70 kg que sube 3,0 m hace 70 · 9,8 · 3,0 = 2,1 kJ: en 4,0 s son 515 W, en 12 s son 172 W.

Cuando un motor no entrega toda la potencia que consume (calor, rozamientos internos), su rendimiento es el cociente entre la potencia útil y la consumida, siempre menor que 1.

Con fuerza constante, la potencia crece

Con potencia constante, la aceleración baja

Si el motor entrega una potencia P constante y la fuerza que hace va en la dirección de la velocidad, F = P/v. Si es la única fuerza que trabaja, la aceleración es

A potencia constante la aceleración no es constante: cuanto más rápido va el auto, menos fuerza puede hacer el motor con la misma potencia y menos acelera. La velocidad sube cada vez más despacio, como la raíz cuadrada del tiempo. Arrancando del reposo la fórmula daría una fuerza infinita: ningún motor real entrega toda su potencia a velocidad cero (las ruedas patinarían), y a velocidades altas la resistencia del aire, que crece con v, termina igualando la fuerza del motor.

Potencia a velocidad constante y potencia máxima

Si un motor mueve un cuerpo a velocidad constante, la energía cinética no cambia: todo el trabajo del motor se va en subir el cuerpo (energía potencial) o en vencer el rozamiento. La fuerza del motor es la que equilibra a las demás (la segunda ley con a = 0) y su potencia es esa fuerza por la velocidad. Como el trabajo total es cero, el trabajo de la fuerza que sostiene o arrastra es menos el de las otras: si sólo están el peso y esa fuerza, vale +m g h cuando el cuerpo sube una altura h y −m g h cuando baja. Mientras el cuerpo acelera, el motor tiene que hacer más fuerza y la velocidad va creciendo: la potencia es máxima justo al final de la etapa de aceleración.

Fuerzas conservativas y energía potencial

El trabajo del peso

Cerca de la superficie terrestre el peso es un vector constante. Con el eje y vertical hacia arriba, m g = −m g ĵ, y el desplazamiento elemental es dr = dx î + dy ĵ. El producto escalar sólo deja la parte vertical: m g · dr = −m g dy. Integrando entre la altura inicial y la final,

De ahí salen tres propiedades. El trabajo del peso no depende del camino: sólo de la altura inicial y la final. Es positivo cuando el cuerpo termina más abajo y negativo cuando termina más arriba. En un camino cerrado (vuelve a la misma altura) vale cero. Si se llama E_pg = m g y, el trabajo del peso es menos la variación de esa función: W_peso = −ΔE_pg.

Qué es una fuerza conservativa

Una fuerza es conservativa cuando su trabajo entre dos puntos no depende del camino que siga la partícula, sólo del punto inicial y del final. Dicho de otra manera: su trabajo en cualquier camino cerrado es cero. Para eso tiene que depender sólo de la posición (no de la velocidad ni del tiempo). Para una fuerza así se puede definir una función de la posición, la energía potencial E_p, tal que

La segunda expresión sale de aplicar la primera a un tramo dx: F_x dx = −dE_p. En tres dimensiones es F = −∇E_p (el gradiente: el vector de las derivadas parciales respecto de x, y, z), que es como el libro de la cátedra define una fuerza conservativa. La fuerza apunta siempre hacia donde la energía potencial baja. Son conservativas el peso, la fuerza de un resorte ideal, la fuerza gravitatoria y la eléctrica.

La energía potencial está definida salvo una constante: si a todos sus valores se les suma el mismo número, ΔE_p no cambia y la fuerza tampoco. Sólo las diferencias tienen sentido físico, y por eso el cero se elige.

Energía potencial gravitatoria y nivel de referencia

• El nivel de referencia (donde E_pg = 0) se elige libremente: el punto más bajo del problema, el punto de partida, el piso. Por debajo de ese nivel la energía potencial es negativa, y no hay ningún problema con eso.
• Una vez elegido, se mantiene en todo el problema y se marca en el dibujo. Cambiarlo suma la misma constante a todos los valores: no cambia ΔE_pg, ni el trabajo del peso, ni las velocidades que se calculen.
• Vale para alturas chicas frente al radio terrestre, donde g es constante. Lejos de la superficie la fuerza gravitatoria baja como 1/r² y su energía potencial es −G M m / r, con el cero en el infinito; en esta materia alcanza con m g y.

Energía potencial elástica

Para un resorte ideal, el trabajo calculado más arriba se escribe como menos la variación de

Es cero con el resorte en su longitud natural y positiva tanto estirado como comprimido: un resorte comprimido 5 cm guarda la misma energía que estirado 5 cm. Acá el cero no se elige: la fórmula supone que Δl se mide desde la longitud natural. En el oscilador horizontal, con el origen en la longitud natural, Δl = x.

Fuerzas no conservativas

Una fuerza es no conservativa cuando su trabajo depende del camino. El ejemplo típico es el rozamiento dinámico sobre una superficie fija: apunta siempre contra el movimiento, así que su trabajo, −∫ f_d ds, siempre es negativo. Si f_d es constante (un piso horizontal, por ejemplo) vale −f_d s, con s el largo del camino; en un camino curvo la normal cambia de punto a punto y hay que integrar. Si se arrastra una caja de 10 kg por un piso con μ_d = 0,30 desde A hasta B, a 5,0 m en línea recta, el rozamiento hace −0,30 · 10 · 9,8 · 5,0 = −147 J; si se la lleva pasando por un punto C (3,0 m hasta C y 4,0 m desde C hasta B), hace −206 J. Y si se la vuelve a dejar en A, el trabajo del rozamiento no es cero. Para una fuerza así no existe energía potencial. Tampoco para la resistencia del aire o la fuerza viscosa (dependen de la velocidad), ni para las fuerzas que hacen una persona, un motor, un cable o un apoyo.

Conservación de la energía mecánica

El teorema del trabajo y la energía mecánica

Se separa el trabajo total en el de las fuerzas conservativas y el de las no conservativas: W_total = W_cons + W_fnc. El de las conservativas es −ΔE_p (sumando todas las energías potenciales: gravitatoria y elástica), y el total es ΔE_c. Entonces W_fnc − ΔE_p = ΔE_c, es decir:

El trabajo de las fuerzas no conservativas es la variación de la energía mecánica. Si ese trabajo es cero, la energía mecánica se conserva: E_m,i = E_m,f. La energía no desaparece: cambia de forma (potencial gravitatoria en cinética, cinética en elástica). Cuando hay rozamiento, la energía mecánica que se pierde pasa a energía interna de los cuerpos en contacto (se calientan).

Hay dos maneras equivalentes de plantear un problema, y no se mezclan:

Poner el peso como trabajo y además como energía potencial es contarlo dos veces.

Cómo se plantea

1. Elegí la partícula y dos estados: el inicial y el final, las posiciones donde conocés o te piden la velocidad. Si el movimiento cambia de régimen (un tramo con rozamiento y otro sin, un resorte que se suelta o empieza a comprimirse, una fuerza que deja de actuar), cortalo en tramos y encadenalos: el estado final de uno es el inicial del siguiente.
2. Hacé el diagrama de cuerpo libre y clasificá cada fuerza: conservativa (va a E_p), no conservativa que trabaja (va a W_fnc) o no conservativa que no trabaja (no aparece).
3. Elegí el nivel cero de la energía potencial gravitatoria y marcalo en el dibujo. El de la elástica es la longitud natural.
4. Escribí la energía mecánica en cada estado, término por término: (1/2) m v² + m g y + (1/2) k Δl².
5. Calculá W_fnc: el rozamiento como −μ_d N s, con N sacada de la segunda ley en la dirección perpendicular al movimiento; una fuerza aplicada como F · Δr. Si un trabajo no se puede calcular (rozamiento en una pista curva, donde N cambia punto a punto), es una incógnita o un dato.
6. Igualá W_fnc = E_m,f − E_m,i y despejá.
7. Controlá: la energía cinética no puede salir negativa (si sale, el cuerpo no llega a ese punto); con rozamiento tiene que salir menos velocidad que sin él; las unidades.

Si además te piden una fuerza en un punto (la normal en una pista curva, la tensión de un hilo), la energía da la velocidad ahí y la segunda ley en la dirección normal da la fuerza.

Gráficos de energía contra posición

Si una partícula se mueve sobre una recta y sólo trabajan fuerzas conservativas, E_m es constante y la energía cinética en cada posición es E_c(x) = E_m − E_p(x). Como E_c no puede ser negativa, la partícula sólo puede estar donde E_p(x) ≤ E_m. En un gráfico se dibuja la curva E_p(x) y una recta horizontal a la altura de E_m, y se lee todo el movimiento:

• Zona permitida: donde la curva queda por debajo de la recta. La distancia vertical entre la recta y la curva es la energía cinética en ese punto: donde la curva está más baja, la partícula va más rápido.
• Puntos de retorno: donde la curva corta la recta, E_c = 0. La partícula se detiene un instante y vuelve. En un punto de retorno la velocidad es cero pero la fuerza no: F_x = −dE_p/dx apunta hacia la zona permitida. Entre dos puntos de retorno el movimiento va y viene.
• Equilibrio: donde dE_p/dx = 0 la fuerza es cero. En un mínimo el equilibrio es estable: si se aparta un poco a la partícula, la fuerza la devuelve y oscila alrededor. En un máximo es inestable: cualquier apartamiento la aleja. En un tramo horizontal, indiferente.
• Si la recta de E_m pasa por encima de un máximo, la partícula lo supera, más lenta arriba que a los costados.

Energía en el oscilador y en el péndulo

Masa y resorte

Un bloque de masa m sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido a un resorte de constante k. Con x medida desde la longitud natural (que acá es también la posición de equilibrio), el peso y la normal no trabajan y la energía mecánica se conserva:

En los extremos (x = ±A) el bloque se detiene y toda la energía es elástica; al pasar por x = 0 toda es cinética. De ahí salen las relaciones del MAS de la sección 5 sin integrar nada: v_máx = √(k/m) A = ω A, y en cualquier posición

La amplitud queda fijada por la energía: con el doble de energía, la amplitud es √2 veces mayor. Con x(t) = A cos(ω t + φ), la energía potencial es (1/2) k A² cos²(ω t + φ) y la cinética (1/2) m ω² A² sen²(ω t + φ) = (1/2) k A² sen²(ω t + φ), porque m ω² = k: suman siempre (1/2) k A². Cada una va y viene dos veces por período, y en promedio cada una se lleva la mitad.

Un resorte cargado por una fuerza que después desaparece

Si una fuerza externa constante actúa durante un tramo, su trabajo F · Δr entra como W_fnc. Cuando deja de actuar, lo que el cuerpo tiene (energía cinética más energía elástica) es la energía del oscilador que sigue, y de ahí salen la amplitud y la velocidad máxima.

Mientras la fuerza actúa, el bloque también hace un MAS, pero alrededor de otra posición de equilibrio: la que cumple k Δl = F, acá Δl = 0,24 m. Si la fuerza no se quitara, el bloque iría y vendría entre Δl = 0 y Δl = 0,48 m.

Péndulo

En un péndulo simple de largo L, la lenteja que forma un ángulo θ con la vertical (el α de la sección 5 y de la guía de problemas) está a una altura L (1 − cos θ) sobre el punto más bajo. Con el cero en ese punto,

La tensión no trabaja (es perpendicular a la velocidad), así que si no hay rozamiento la energía mecánica se conserva y la lenteja vuelve a subir hasta la misma altura de la que partió. Eso no depende de la forma del camino: si el hilo se apoya en un clavo o se enrolla en un poste, el centro de la circunferencia cambia, pero la tensión sigue perpendicular a la velocidad de la lenteja y sigue sin trabajar. Hay una condición: el hilo tiene que seguir tenso. Mientras la lenteja no suba por encima del clavo, la tensión no se anula y llega a la misma altura. Si tuviera que pasar por encima, el hilo se puede aflojar (como en un rizo, hace falta T ≥ 0) y desde ahí la lenteja sigue en tiro oblicuo: en lo más alto de esa parábola todavía tiene velocidad horizontal, así que no llega a la altura de partida. Con un hilo de 1,0 m soltado desde la horizontal y el clavo a 0,50 m sobre el punto más bajo, el hilo se afloja a 0,83 m de altura y la lenteja llega a 0,93 m, no a 1,0 m. Con una amplitud chica, como la del problema 43, la lenteja sube muy poco, queda por debajo del clavo y el hilo no se afloja. Para ángulos chicos, 1 − cos θ ≈ θ²/2 (en radianes) y E_pg ≈ (1/2) (m g/L) (L θ)²: la misma forma que la de un resorte de constante m g/L con el arco L θ como deformación, coherente con ω = √(g/L) de la sección 5. La tensión sale de la segunda ley en la dirección del hilo: T − m g cos θ = m v²/L.

Movimiento circular vertical: cuándo se pierde el contacto

Cuando un cuerpo recorre una pista circular en un plano vertical, la energía da la velocidad en cada altura y la segunda ley en la dirección radial da la normal. Si se mide la posición con el ángulo φ desde el punto más bajo de una pista de radio R (por adentro), la altura sobre el punto más bajo es R (1 − cos φ) y la componente del peso hacia el centro es −m g cos φ: hacia afuera en la mitad de abajo, hacia adentro en la de arriba.

La normal no cambia la rapidez: sólo la componente tangencial del peso, que frena al subir. La aceleración tiene una componente normal v²/R hacia el centro y una tangencial g sen φ, y su módulo es √(a_n² + a_t²).

Condición de contacto. Una pista puede empujar pero no tirar: N ≥ 0. Si las cuentas dan N < 0, el cuerpo ya se separó antes de ese punto. En el punto más alto (φ = 180°) la ecuación radial queda N + m g = m v²/R, y pedir N ≥ 0 da

La segunda sale de la energía entre abajo y arriba (subir 2R): v_abajo² = v_arriba² + 4 g R. La tercera, de m g h = m g (2R) + (1/2) m (g R). Con v_arriba = √(g R) justo, el peso alcanza solo para hacer de fuerza centrípeta y la normal vale cero.

Plano inclinado, resorte y rozamiento

Un cuerpo que baja por un plano inclinado con rozamiento y choca contra un resorte junta todo lo anterior: rozamiento estático para saber si arranca o si se queda, rozamiento dinámico que cambia de sentido cuando el movimiento se invierte, energía gravitatoria medida a lo largo del plano y energía elástica.

1. ¿Arranca? Quieto sobre el plano, el rozamiento estático tendría que equilibrar m g sen α, y puede hacer hasta μ_e m g cos α. Si tan α > μ_e, no alcanza y el cuerpo baja.
2. Hasta el resorte (recorre d sobre el plano): baja d sen α de altura y el rozamiento dinámico, f_d = μ_d m g cos α, hace −f_d d. Con W_fnc = ΔE_m sale la velocidad al tocar el resorte.
3. Compresión máxima x (v = 0): desde la largada recorre d + x, así que −f_d (d + x) = (1/2) k x² − m g (d + x) sen α. Es una cuadrática en x: se queda la raíz positiva.
4. ¿Se queda ahí? Con v = 0, a lo largo del plano el resorte empuja k x hacia arriba y el peso tira m g sen α hacia abajo. Si la diferencia supera μ_e m g cos α, el rozamiento estático no alcanza y el cuerpo vuelve a subir.
5. Si sube: ahora el rozamiento apunta hacia abajo del plano. Si el cuerpo no está atado al resorte, se separa cuando el resorte llega a su longitud natural. Sube hasta que v = 0: (1/2) k x² = (m g sen α + f_d) D, con D el recorrido desde la compresión máxima. Esa cuenta supone que el resorte le entregó toda su energía, así que vale sólo si sale D mayor que x (el cuerpo se despegó). Si sale D menor que x, o si el cuerpo está atado al resorte, se frenó con el resorte todavía deformado, que se queda con (1/2) k (x − D)²: la cuenta es (1/2) k x² − (1/2) k (x − D)² = (m g sen α + f_d) D, que da D = 2 [x − (m g sen α + f_d)/k]. Ahí se vuelve a preguntar si se queda: con el paso 1 si quedó lejos del resorte, con el paso 4 (y la deformación x − D) si quedó apoyado.

¿Energía o Newton?

Los teoremas de energía no traen física nueva: salen de integrar la segunda ley de Newton a lo largo del camino (por eso se los llamó primeras integrales del movimiento). Lo que ahorran es justamente esa integración. Conviene usarlos según lo que se pida:

Hasta acá cada cuerpo era una partícula y se lo estudiaba solo. Esta sección da el paso a los sistemas de partículas: varios cuerpos que se empujan, se tiran o se rozan entre sí, y que además reciben fuerzas de afuera. Las herramientas nuevas son tres: el impulso de una fuerza, la cantidad de movimiento y el centro de masa. La idea que ordena todo es una sola: las fuerzas que los cuerpos del sistema se hacen entre sí no pueden cambiar la cantidad de movimiento total ni mover el centro de masa; eso sólo lo hacen las fuerzas de afuera. En cambio, sí pueden cambiar la energía cinética del sistema, y eso explica por qué una persona puede ponerse a caminar sobre un bote quieto.

Es el comienzo de la unidad 2 de la Guía de Problemas y entra en el parcial, que abarca las unidades 1 a 3. Un dato para tener una idea: de 45 ejercicios de 16 parciales y recuperatorios del primer cuatrimestre de 2026, de cursos distintos, 4 tienen como tema principal lo de esta sección (dos de un bloque que desliza con rozamiento sobre un carro o un cuerpo largo, uno de una persona que camina sobre una plataforma de ferrocarril y uno de tres partículas que sólo interactúan entre sí), y en 8 se pide como ítem el impulso que recibe uno de los cuerpos: en 7 es el de un choque o una explosión, y el otro es uno de los dos del bloque sobre el carro. El parcial lo arma cada curso, así que esos números describen esos exámenes y no dicen qué va a tomar el tuyo.

Con esta sección se resuelven, de la unidad 2: la diferencia entre cantidad de movimiento e impulso (problema 1); el impulso de una fuerza constante y de una que depende del tiempo, con su gráfico (2, 3 y 4); la energía cinética de dos cuerpos con la misma cantidad de movimiento (5); la fuerza media de un golpe y el peso durante el contacto (6 y 7); las definiciones de centro de masa y de sistema aislado (8); la trayectoria del centro de masa sin fuerzas exteriores y con peso (9 y 10); la velocidad que tiene que tener una tercera partícula (11); las tres partículas que sólo interactúan entre sí (13); la persona que camina sobre una plancha apoyada en el hielo (12); la energía cinética respecto del laboratorio y respecto del centro de masa (14 y 15); los dos cochecitos con un resorte comprimido (16); el bloque que desliza sobre un carro (17); el bloque que baja por una rampa que se puede mover (18); la persona que corre sobre una plataforma de ferrocarril (19), y la persona que lanza una bolsa parada sobre el hielo (21). Se dan por vistas la dinámica y la energía de una partícula (unidad 1). Los choques y las explosiones son la sección que sigue, y el momento cinético de un sistema, la sección 9.

Lo que se trae de la unidad 1 y la notación

• Leyes de Newton. Se nombran por su número; el libro de la cátedra las llama principio de inercia, principio de masa y principio de interacción. La segunda vale en un sistema de referencia inercial, que acá es siempre el sistema fijo a Tierra o laboratorio. La tercera dice que si A le hace una fuerza a B, B le hace a A una fuerza igual y opuesta, al mismo tiempo: las dos forman un par de interacción y nunca actúan sobre el mismo cuerpo.
• Trabajo y energía de una partícula: W = ∫ F · dr; E_c = (1/2) m v²; el trabajo de todas las fuerzas es la variación de la energía cinética, W_total = ΔE_c; el de las fuerzas no conservativas es la variación de la energía mecánica, W_fnc = ΔE_m, con E_m = E_c + E_p. Energías potenciales: m g h para el peso y (1/2) k Δl² para un resorte ideal, con Δl lo que está estirado o comprimido respecto de su longitud natural.

Notación. Los vectores llevan flecha (F, v) y su módulo va sin flecha (F, v). Las magnitudes del centro de masa llevan el subíndice CM: r_CM, v_CM, a_CM (la guía de problemas escribe a veces V_cm). La masa total del sistema es M. Una velocidad relativa se escribe con una barra: v_A/B = v_A − v_B es la velocidad de A vista desde B, y v_i/CM es la de la partícula i vista desde el CM (el libro de la cátedra la escribe v_i−CM; la sección 9 y algunas resoluciones la abrevian v′_i, con una prima). La energía cinética es E_c; la energía cinética interna (la del movimiento respecto del CM) es E_c,int.

Cantidad de movimiento de una partícula

La cantidad de movimiento de una partícula es su masa por su velocidad (muchos libros la llaman momento lineal; la guía de problemas usa los dos nombres):

Es un vector con la dirección y el sentido de la velocidad, y depende del sistema de referencia, igual que la velocidad. Describe el estado de movimiento de la partícula en un instante: junta en un solo vector qué tan rápido va y cuánta masa se mueve. Una pelota de tenis y un camión a la misma velocidad tienen cantidades de movimiento muy distintas, y eso es lo que hace tan distinto frenarlos.

Con la cantidad de movimiento, la segunda ley de Newton se escribe en su forma general:

Si la masa es constante, dp/dt = m dv/dt = m a, y se vuelve la conocida Σ F = m a. La forma con p dice algo que la otra esconde: la resultante de las fuerzas es la rapidez con la que cambia la cantidad de movimiento.

Relación con la energía cinética. Como v = p/m, la energía cinética se escribe con el módulo de la cantidad de movimiento:

Dos cuerpos con la misma cantidad de movimiento no tienen la misma energía cinética: tiene más el más liviano, en proporción inversa a la masa. Y dos cuerpos con la misma energía cinética no tienen la misma cantidad de movimiento: tiene más el más pesado, en proporción a la raíz de la masa. Lo primero aparece cada vez que dos cuerpos se separan desde el reposo (un rifle y su bala, dos carritos que se empujan): salen con cantidades de movimiento iguales y opuestas, y casi toda la energía se la lleva el liviano.

Impulso de una fuerza

El impulso (o impulso lineal) de una fuerza durante un intervalo de tiempo es la integral de la fuerza en ese intervalo:

Es un vector y mide cuánto "empujó" una fuerza: cuenta tanto lo grande que fue como el tiempo que actuó. Una fuerza chica durante mucho tiempo puede dar el mismo impulso que una enorme durante un instante. Se calcula según cómo sea la fuerza:

• Fuerza constante: J = F Δt, con la dirección y el sentido de la fuerza.
• Fuerza de dirección fija y módulo variable: J = ∫ F(t) dt, el área bajo la curva de F en función de t. El área por encima del eje t cuenta positiva y la de abajo, negativa. Si el gráfico es de tramos rectos, el área sale de rectángulos y triángulos; si F(t) es una función, se integra. Por ejemplo, ∫₀^T A tⁿ dt = A Tⁿ⁺¹/(n + 1).
• Fuerza vectorial que depende del tiempo: se integra componente por componente, J_x = ∫ F_x dt y J_y = ∫ F_y dt, y después se arma J = J_x î + J_y ĵ.

Las unidades de una constante. Si una fuerza viene dada como F(t) = A t³, con F en N y t en s, la constante A tiene que llevar las unidades que hacen que A t³ dé newton: [A] = N/s³. Con F(t) = B t², [B] = N/s². Es una pregunta que la guía hace y que sale de mirar la fórmula, no de hacer cuentas.

Fuerza media. Es la fuerza constante que en el mismo intervalo daría el mismo impulso:

En el gráfico de F en función de t es la altura del rectángulo que, con la misma base Δt, tiene la misma área que la curva.

El teorema del impulso

Multiplicando por dt la segunda ley, Σ F dt = dp, e integrando entre dos instantes:

El impulso de la resultante (que es la suma de los impulsos de todas las fuerzas) es igual a la variación de la cantidad de movimiento. Vale en un sistema inercial y sin ninguna otra condición: la fuerza puede ser variable, el movimiento curvo, la duración larga o corta. Es la segunda ley integrada en el tiempo, igual que el teorema de las fuerzas vivas (W_total = ΔE_c) es la segunda ley integrada a lo largo del camino. La diferencia es que el impulso da un vector (incluye la dirección) y no necesita saber por dónde se movió la partícula; el trabajo da un escalar y no necesita saber cuánto tardó.

Si la resultante es nula durante el intervalo, Δp = 0 y la cantidad de movimiento se conserva: es la primera ley dicha de otra manera. Si sólo una componente de la resultante es nula, se conserva esa componente: en un tiro sin aire la única fuerza es el peso, vertical, y p_x no cambia.

Cantidad de movimiento e impulso no son lo mismo

Tienen las mismas unidades y uno es la variación del otro, así que es fácil mezclarlos. Pero son cosas distintas:

Un ejemplo que lo muestra: una bola de billar que pega contra la banda y sale con la misma rapidez. Su cantidad de movimiento tiene el mismo módulo antes y después, pero el impulso de la banda no es cero, porque p cambió de dirección. El impulso es la flecha que hay que sumarle a p_i para llegar a p_f, y no apunta como ninguna de las dos:

Fuerza media, fuerzas impulsivas y el peso

Cuando un golpe dura muy poco, la fuerza de contacto se hace enorme: para cambiar la cantidad de movimiento en Δp durante un Δt de milésimas de segundo hace falta una fuerza media del orden de Δp/Δt. A esas fuerzas grandes y breves se las llama fuerzas impulsivas. Al lado de ellas, el peso es despreciable: su impulso en ese intervalo, m g Δt, es una fracción mínima del total. Pero eso depende de lo corto que sea el contacto, no de que el peso deje de actuar. Si el contacto es largo (caer sobre un colchón, un airbag), el impulso del peso puede ser una parte importante y no se puede dejar afuera.

Cuando hay peso, conviene distinguir tres impulsos: el de la fuerza de contacto, el del peso y el total (la suma), que es el único igual a Δp. Con el eje y hacia arriba, durante un golpe vertical contra el piso:

Cómo encarar un problema de impulso

1. Ejes y sentido positivo. Elegí un eje en la dirección del movimiento (o dos, si es en el plano) y escribí cada velocidad con su signo. Un rebote cambia el signo de la velocidad.
2. Qué impulso te piden. El total (igual a Δp), el de una fuerza en particular (el del piso, el del palo) o el del peso. Si te piden uno y conocés Δp, restale el de las otras fuerzas.
3. Velocidades de antes y de después. Si no las dan, salen de la cinemática o de la energía de los tramos de antes y de después del golpe (una caída desde una altura, una subida hasta otra).
4. Si la fuerza es dato: integrá F(t) (por tramos o por componentes) o calculá el área del gráfico. Si la incógnita es una constante de F(t), igualá el área al Δp.
5. Fuerza media: J/Δt, con Δt en segundos. Decidí si el peso cuenta comparando m g Δt con el impulso del golpe.
6. Trabajo durante un golpe: el de todas las fuerzas es ΔE_c; no se calcula como fuerza media por desplazamiento.

Sistemas de partículas: fuerzas interiores y exteriores

Un sistema de partículas es un conjunto de cuerpos que se eligen para estudiarlos juntos. Cada uno se trata como una partícula, o como un cuerpo cuyo movimiento interesa sólo a través de su centro de masa. Lo primero en cualquier problema es decir qué cuerpos forman el sistema, porque de eso depende cómo se clasifica cada fuerza:

• Fuerzas interiores: las que un cuerpo del sistema le hace a otro cuerpo del sistema. Vienen de a pares de interacción con los dos miembros adentro, así que su suma es siempre cero: Σ F_int = 0.
• Fuerzas exteriores: las que algo de afuera le hace a un cuerpo del sistema: el peso (lo hace la Tierra), la normal del piso, el rozamiento del piso, la tensión de una soga atada a una pared, una mano que empuja.

Una misma fuerza cambia de clase si cambia el sistema. La tensión de la soga que une dos bloques es interior si el sistema son los dos bloques con la soga, y exterior si el sistema es uno solo de ellos. (Si la soga queda afuera, las dos tensiones son exteriores, porque las hace la soga; con una soga ideal suman cero igual.)

Un sistema aislado es uno sobre el que no actúan fuerzas exteriores: las partículas sólo interactúan entre sí. Es una idealización (en la Tierra siempre hay peso), pero muchas veces se cumple en la práctica porque las fuerzas exteriores se cancelan (peso y normal de una mesa horizontal) o porque son despreciables durante el tiempo que interesa. Lo que importa para los teoremas que siguen no es que no haya ninguna fuerza exterior, sino que su resultante (o su impulso) sea nula, entera o en una dirección.

Centro de masa

El centro de masa (CM) de un sistema de partículas de masas m_i y posiciones r_i es el punto cuya posición es el promedio de las posiciones, pesado con las masas:

Por componentes, que es como se hace la cuenta:

(y lo mismo con z en tres dimensiones). Es un punto geométrico que se define en cada instante: si las partículas se mueven, el CM también. No tiene por qué coincidir con ninguna partícula ni tener masa encima. Lo que lo hace importante se ve más abajo: se mueve como si toda la masa del sistema estuviera en él y todas las fuerzas exteriores actuaran sobre él.

Propiedades que ahorran cuentas

• Dos partículas: el CM está sobre el segmento que las une, a distancias d₁ y d₂ de cada una que cumplen m₁ d₁ = m₂ d₂. Está más cerca de la de más masa; con masas iguales, en el punto medio.
• Varias partículas: el CM queda adentro de la figura que forman (en el plano, adentro del polígono que las encierra). Nunca puede quedar más a la derecha que la partícula de más a la derecha, ni más arriba que la más alta.
• El punto no depende del origen. Si se mueve el origen, cambian todas las coordenadas, incluidas las del CM, pero el punto del espacio es el mismo. Conviene elegir el origen sobre una de las partículas, o en un punto de simetría, para que haya ceros.
• Se puede agrupar. Para calcular el CM de varios cuerpos se puede reemplazar un grupo por una sola partícula con la masa del grupo, ubicada en el CM del grupo. Con cuerpos extensos (un bloque, una plancha, un carro), cada uno cuenta como una partícula de su masa en su propio CM. El CM de un cuerpo continuo (una barra, una placa) se calcula con una integral y es tema de la unidad 3; acá alcanza con saber que en un cuerpo homogéneo y simétrico está en el centro de simetría.
• Las posiciones respecto del CM, pesadas con las masas, suman cero. Si r_i/CM = r_i − r_CM es la posición de cada partícula medida desde el CM, entonces Σ m_i r_i/CM = Σ m_i r_i − M r_CM = 0. Es la definición dicha de otra manera, y es la herramienta de todas las deducciones de esta sección.

Velocidad y aceleración del CM

Derivando la posición del CM respecto del tiempo, con las masas constantes:

El numerador de la velocidad es la suma de las cantidades de movimiento de las partículas, que es la cantidad de movimiento del sistema, P. Queda una de las igualdades más útiles de la unidad:

La cantidad de movimiento de todo el sistema es la de una sola partícula de masa M que se moviera con el CM. Y como Σ m_i r_i/CM = 0 en todo instante, derivando, también suman cero las cantidades de movimiento respecto del CM: Σ m_i v_i/CM = 0.

La ecuación del movimiento del CM

Para cada partícula del sistema vale la segunda ley, con todas las fuerzas que recibe, exteriores e interiores: m_i a_i = F_i,ext + Σ_j F_ji, donde F_ji es la fuerza que la partícula j le hace a la i. Sumando las ecuaciones de todas las partículas, a la izquierda queda Σ m_i a_i = M a_CM. A la derecha, las fuerzas interiores aparecen de a pares, F_ji + F_ij = 0 por la tercera ley, y se cancelan todas. Queda:

Es la ecuación más importante de la unidad (el libro de la cátedra la llama ecuación universal del sistema de partículas). Vale con dos condiciones: la masa del sistema no cambia (no entran ni salen partículas) y las aceleraciones se miden desde un sistema inercial. No pide nada de las fuerzas interiores ni de cómo se mueve cada partícula.

El CM se mueve como una partícula

La ecuación Σ F_ext = M a_CM es la segunda ley de una partícula de masa M sobre la que actuaran todas las fuerzas exteriores. Por eso el CM se mueve exactamente como esa partícula, y se puede predecir su movimiento sin saber nada del de cada parte:

• Sistema aislado (o con fuerzas exteriores que se cancelan): a_CM = 0. El CM queda quieto o hace un movimiento rectilíneo uniforme, r_CM(t) = r_CM(0) + v_CM t, aunque las partículas choquen, se atraigan o giren unas alrededor de otras.
• Sistema en el que la única fuerza exterior es el peso (cerca de la Tierra, sin aire): Σ F_ext = Σ m_i g = M g, entonces a_CM = g. El CM hace un tiro, la parábola de un proyectil que sale de r_CM(0) con v_CM(0), sin importar cómo se muevan las partes ni si interactúan entre ellas.
• Con otras fuerzas exteriores, se hace el diagrama de cuerpo libre del sistema entero (sólo las exteriores) y se aplica la segunda ley al CM, como a una partícula.

Que a_CM = g no quiere decir que el CM esté "en reposo" ni que vaya en línea recta: está acelerado, con la aceleración de la gravedad. Lo que no tiene es una aceleración distinta de g, porque nada de adentro se la puede dar. Si el eje y apunta hacia arriba, g = −9,8 m/s² ĵ.

Cómo encarar un problema de centro de masa

1. Ejes y origen. Dibujá las partículas con sus coordenadas (si hay figura, leelas con cuidado) y escribí cada velocidad por componentes. Las que vienen con un ángulo se descomponen con el seno y el coseno.
2. Posición, velocidad y aceleración del CM con los promedios pesados, componente por componente. Controlá que el CM caiga entre las partículas, más cerca de las pesadas.
3. Fuerzas exteriores. Si no hay (o se cancelan), a_CM = 0 y el CM hace un MRU. Si sólo hay peso, a_CM = g y hace un tiro. En otro caso, Σ F_ext = M a_CM.
4. Trayectoria: escribí x_CM(t) e y_CM(t), despejá t de la primera y reemplazá en la segunda.
5. Si te dan cómo quedan algunas partículas más tarde y el sistema no recibe fuerzas exteriores, P es el mismo que al principio: de ahí sale la velocidad de la que falta.

Conservación de la cantidad de movimiento

Integrando en el tiempo la ecuación del CM, igual que se hizo para una partícula, se obtiene el teorema del impulso para el sistema. Los impulsos de las fuerzas interiores también se cancelan de a pares, porque las dos fuerzas de cada par son opuestas en todo instante:

Si el impulso de las fuerzas exteriores es nulo, la cantidad de movimiento del sistema se conserva. Pasa en cuatro casos:

1. Sistema aislado: no hay fuerzas exteriores.
2. Las fuerzas exteriores se equilibran: Σ F_ext = 0 todo el tiempo, por ejemplo el peso y la normal de una mesa horizontal sin rozamiento.
3. La resultante exterior es nula en una dirección: se conserva sólo la componente de P en esa dirección (ver abajo).
4. Interacciones muy breves: en un choque o una explosión, el impulso de las fuerzas exteriores acotadas (peso, resortes, rozamientos comunes) es despreciable. Se ve en la sección siguiente.

Conservar P es lo mismo que decir que la velocidad del CM no cambia. No quiere decir que las velocidades de las partículas sean constantes (pueden cambiar todo lo que quieran mientras la suma de m_i v_i no cambie), ni que se conserve la energía cinética. Para decidir si P se conserva se miran las fuerzas exteriores, no cómo se mueven los cuerpos.

Conservación de una sola componente

Muchas veces hay fuerzas exteriores que no se cancelan, pero todas tienen la misma dirección. Si las fuerzas exteriores son todas verticales (pesos, normales de un piso horizontal), la componente horizontal de su resultante es cero y se conserva P_x, aunque P_y cambie. Pasa, por ejemplo, cuando un bloque baja por una rampa que puede deslizar sobre la mesa: la normal de la mesa sobre la rampa no equilibra a los pesos (mientras el bloque baja, su velocidad vertical cambia), pero es vertical. También cuando una persona parada sobre el hielo lanza algo hacia arriba y adelante: para darle a la bolsa velocidad vertical empuja hacia abajo contra el hielo, y el hielo responde con una normal mayor que su peso. Esa diferencia es una fuerza exterior vertical, que cambia P_y y no P_x.

Interacción interna: los cuerpos se empujan entre sí

Son los problemas en los que dos cuerpos que forman un sistema sin fuerza exterior horizontal se empujan, se frenan o se separan entre sí: una persona que camina sobre un bote, un resorte que separa dos carritos, un bloque que roza sobre un carro, un bloque que baja por una rampa móvil. La receta de fondo es siempre la misma: la cantidad de movimiento (horizontal) del sistema no cambia, el CM sigue haciendo lo que hacía, y la interacción sólo reparte la cantidad de movimiento entre las partes. Lo que sí puede cambiar es la energía cinética, y para eso hace falta la energía (más abajo).

Velocidades relativas

La cantidad de movimiento se escribe siempre con velocidades medidas desde el laboratorio. Pero muchos enunciados dan la velocidad de un cuerpo respecto del otro ("la persona camina a 1 m/s respecto de la plataforma"). Se pasa de una a otra con la suma de velocidades de la unidad 1:

donde v_B es la velocidad de B en el mismo instante en que se mide v_A/B. En un problema de antes y después, si la persona termina caminando a v respecto de la plataforma, su velocidad respecto del suelo es la velocidad de la plataforma de después más (o menos) v, no la de antes. Usar la velocidad que tenía la plataforma antes de que la persona empezara a caminar es el error más común de este tema, y da otro resultado.

Persona que camina sobre un bote o una plancha

Si el sistema estaba en reposo y no hay fuerza exterior horizontal (bote en agua quieta sin rozamiento, plancha sobre hielo), P = 0 siempre. En cada instante la persona y el bote tienen cantidades de movimiento iguales y opuestas: m v_persona + M v_bote = 0. El bote se mueve para el otro lado, más despacio, en la proporción inversa de las masas. Si un enunciado dice que el bote "pesa" n veces lo que la persona, su masa también es n veces la de la persona. Y como v_CM = 0 todo el tiempo, el CM no se mueve: eso da los desplazamientos sin necesidad de saber cómo caminó.

Dos cuerpos que se separan con un resorte

Dos cuerpos quietos sobre una superficie sin rozamiento, atados con un hilo que mantiene comprimido un resorte entre ellos. Se corta el hilo y el resorte los separa. Con el sistema formado por los dos cuerpos y el resorte (ideal, sin masa), la fuerza del resorte es interior y las exteriores (pesos y normales) se equilibran. La cantidad de movimiento se conserva durante todo el proceso, y como era cero:

Salen en sentidos opuestos, con rapideces en proporción inversa a sus masas. La energía cinética del sistema no se conserva: era cero y después no lo es. Lo que se conserva, si no hay rozamiento, es la energía mecánica, y la energía elástica que tenía el resorte termina repartida como energía cinética:

Como las dos cantidades de movimiento tienen el mismo módulo, por E_c = p²/(2m) las energías cinéticas quedan en proporción inversa a las masas: el liviano se lleva la mayor parte.

Un bloque que desliza sobre un carro

Un bloque de masa m se lanza con velocidad v₀ sobre un carro largo de masa M, que está quieto sobre un piso sin rozamiento. Entre el bloque y el carro hay rozamiento. El bloque frena, el carro acelera, y al final se mueven juntos. Es el problema más completo de esta sección, porque junta la dinámica de dos cuerpos, el movimiento relativo, la conservación de la cantidad de movimiento y el trabajo de una fuerza interior.

• Fuerzas. Sobre el bloque: su peso, la normal del carro hacia arriba y el rozamiento del carro hacia atrás (opuesto a la velocidad del bloque respecto del carro). Sobre el carro: su peso, la normal del piso, la normal del bloque hacia abajo y el rozamiento del bloque hacia adelante. Hay dos pares de interacción entre los cuerpos: las normales y los rozamientos.
• Mientras desliza, el rozamiento es dinámico: f = μ_d N = μ_d m g. La segunda ley para cada cuerpo da a_bloque = −μ_d g y a_carro = +μ_d m g / M. La aceleración del bloque respecto del carro es la diferencia: a_rel = −μ_d g (1 + m/M).
• El sistema. No hay fuerzas exteriores horizontales, así que P_x se conserva y v_CM = m v₀/(m + M) no cambia en todo el proceso. Cuando el bloque deja de deslizar, los dos van juntos a esa velocidad: la velocidad final sale de la conservación, sin integrar nada.
• Cuándo deja de deslizar: cuando v_bloque = v_carro. Con la velocidad final conocida, el tiempo sale de cualquiera de las dos ecuaciones horarias, y los desplazamientos de cada uno, de un MRUV. El desplazamiento del bloque respecto del carro es la diferencia.
• Después: van juntos a velocidad constante y el rozamiento entre ellos es cero (nada horizontal los acelera).

La energía. La energía cinética del sistema baja: el par de rozamiento es interior pero trabaja. Sobre el bloque hace −f d_bloque (le saca energía) y sobre el carro +f d_carro (le da energía), y como el bloque recorre más que el carro, la suma es negativa: −f (d_bloque − d_carro) = −f d_rel. Es la energía que el rozamiento convierte en calor, y depende sólo de lo que resbalaron uno sobre el otro.

Un bloque que baja por una rampa que se puede mover

Un bloque de masa m parte del reposo desde una altura h sobre una rampa curva de masa M, que puede deslizar sobre una mesa. No hay rozamiento en ningún lado. El bloque baja y sale de la rampa horizontalmente; la rampa retrocede.

• Cantidad de movimiento. Las fuerzas exteriores sobre el sistema bloque más rampa son los pesos y la normal de la mesa, todas verticales. Se conserva P_x, que era cero: en cada instante m v_x,bloque + M V = 0. P_y no se conserva: mientras baja, el bloque tiene velocidad vertical, y la normal de la mesa no equilibra a los pesos.
• Energía mecánica. La normal entre el bloque y la rampa es interior y perpendicular a la superficie de la rampa. Hace trabajo sobre el bloque (negativo: el bloque termina con menos energía cinética que si la rampa estuviera fija) y sobre la rampa (positivo: la empuja hacia atrás), pero la suma de los dos es cero, porque el bloque se mueve respecto de la rampa a lo largo de la superficie, perpendicular a la normal. La normal de la mesa es vertical y la rampa se mueve horizontalmente, así que no trabaja. Sólo trabajan los pesos: se conserva la energía mecánica del sistema.
• Las dos ecuaciones, entre el reposo y la salida (con el bloque horizontal):

De la primera, V = −(m/M) v; reemplazando en la segunda y despejando:

Si la rampa es muy pesada (M ≫ m), el cociente tiende a 1 y queda v = √(2 g h), el resultado de la rampa fija. Con una rampa liviana, el bloque sale más despacio: parte de la energía se la llevó la rampa. El trabajo de la normal sobre el bloque es lo que le falta a su energía cinética para ser m g h: W_{N, bloque} = (1/2) m v² − m g h = −m² g h/(m + M), y el de la normal sobre la rampa es el opuesto, que es la energía cinética de la rampa.

Lanzar algo parado sobre el hielo

Una persona de masa m₁, quieta sobre hielo sin rozamiento, lanza una bolsa de masa m₂ con rapidez v₀ y un ángulo α sobre la horizontal. Durante el lanzamiento, para darle a la bolsa velocidad hacia arriba, la persona empuja hacia abajo contra el hielo, y el hielo responde con una normal mayor que el peso de los dos. Las fuerzas exteriores son verticales pero no se equilibran: se conserva P_x y no P_y. Si v₀ se mide respecto del hielo:

y la persona retrocede con V = −m₂ v₀ cos α / m₁. Si el enunciado da v₀ respecto de la persona, la velocidad horizontal de la bolsa respecto del hielo es V + v₀ cos α (con la V de después) y la ecuación cambia. Conviene decir cuál de las dos lecturas se usa. El trabajo de todas las fuerzas sobre el sistema durante el lanzamiento es la variación de la energía cinética; con v₀ medida respecto del hielo, (1/2) m₂ v₀² + (1/2) m₁ V². (Con v₀ respecto de la persona, la bolsa sale con V + v₀ cos α en horizontal y v₀ sen α en vertical, y su energía se calcula con ese módulo.) Casi todo lo hacen fuerzas interiores (los músculos): la normal del hielo es vertical y los pies sólo se mueven en horizontal (la persona retrocede), así que no trabaja, y si el lanzamiento es rápido la bolsa sube muy poco mientras la empujan, así que el trabajo de los pesos es despreciable.

Cómo encarar un problema de interacción interna

1. Elegí el sistema: los cuerpos que interactúan entre sí (persona y plataforma, bloque y carro, bloque y rampa). Así las fuerzas entre ellos son interiores.
2. Diagrama de cuerpo libre de cada cuerpo, marcando los pares de interacción. Las fuerzas que quedan sin par adentro del sistema son las exteriores.
3. Decidí qué componente de P se conserva: la de la dirección en la que no hay fuerza exterior (casi siempre la horizontal). Escribila con velocidades respecto del suelo, con signos.
4. Si te dan una velocidad relativa, pasala al suelo con v_A = v_B + v_A/B, usando la velocidad de B en el mismo instante.
5. Si te piden desplazamientos y el sistema arranca quieto: el CM no se mueve, Σ m_i Δx_i = 0. Si te piden tiempos o aceleraciones, segunda ley para cada cuerpo.
6. Energía: decidí si se conserva la mecánica (resorte, rampa lisa) o no (rozamiento, músculos), y usala como segunda ecuación o para calcular el trabajo de las fuerzas interiores. El trabajo sobre un solo cuerpo es la variación de su energía cinética (menos el trabajo de las otras fuerzas que actúen sobre él).

El sistema centro de masa

El sistema centro de masa es un sistema de referencia con el origen en el CM, que se traslada con él y cuyos ejes no giran: son siempre paralelos a los del laboratorio. Visto desde ahí, cada partícula tiene una posición r_i/CM y una velocidad que sale de la suma de velocidades, con la del CM como velocidad de arrastre:

La propiedad que lo hace especial: en el sistema CM la cantidad de movimiento total es cero, Σ m_i v_i/CM = 0. Visto desde el CM, el sistema en conjunto no va a ningún lado; sólo se ve cómo se mueven las partes unas respecto de otras. Por eso el libro de la cátedra lo llama un sistema "privilegiado". Si las fuerzas exteriores se anulan, el CM va a velocidad constante y el sistema CM es inercial. Si no, está acelerado: para describir velocidades y energías sirve igual, pero la segunda ley no se puede escribir en él sin agregar fuerzas ficticias.

Dos partículas. Con la velocidad relativa v_rel = v₂ − v₁ (la del 2 vista desde el 1), las velocidades respecto del CM quedan:

Salen de restar: v₁ − v_CM = v₁ − (m₁ v₁ + m₂ v₂)/(m₁ + m₂) = m₂ (v₁ − v₂)/(m₁ + m₂). Desde el CM, las dos velocidades son siempre paralelas y de sentidos opuestos (y las dos partículas están siempre alineadas con el CM, una de cada lado), y la liviana va más rápido. Eso no quiere decir que se muevan en línea recta: dos partículas unidas por una barra que gira, por ejemplo, describen circunferencias alrededor del CM.

Energía cinética de un sistema

La energía cinética de un sistema es la suma de las de sus partículas, medidas desde el laboratorio:

Es una suma de números positivos: no hay cancelaciones y sólo importa el módulo de cada velocidad. Por eso, a diferencia de la cantidad de movimiento, la energía cinética del sistema no es la de una partícula de masa M que se mueve con el CM: E_c ≠ (1/2) M v_CM². Dos patinadores de la misma masa que se alejan uno del otro a la misma rapidez tienen v_CM = 0 y bastante energía cinética.

La descomposición. Reemplazando v_i = v_CM + v_i/CM y desarrollando el cuadrado:

El primer término es (1/2) M v_CM². El segundo es cero, porque las cantidades de movimiento respecto del CM suman cero. Queda:

La energía cinética del sistema es la del CM (la de toda la masa moviéndose con el CM) más la energía cinética interna, la del movimiento de las partículas respecto del CM. Es la energía cinética que mide un observador que viaja con el CM, y es la menor que puede medir cualquier observador que se traslade: cualquier otro le suma una parte "de traslación". Algunos libros llaman a esta descomposición teorema de König; el libro de la cátedra la usa sin ese nombre y parte además la energía interna en una parte de expansión o compresión (las partículas se acercan o se alejan del CM) y otra de rotación alrededor del CM. En un cuerpo rígido las distancias al CM no cambian y sólo queda la de rotación, que es la de la unidad 3.

Dos partículas: la masa reducida

Reemplazando las velocidades respecto del CM de dos partículas en la energía interna:

Sacando factor común m₁ m₂ v_rel²/(2M²), lo que queda es m₂ + m₁ = M, y resulta:

El cociente m₁ m₂/(m₁ + m₂) se llama masa reducida del par; es menor que la más chica de las dos masas, y si una de ellas es mucho mayor que la otra, se parece a la menor. La energía interna de dos partículas es la de una sola partícula con la masa reducida que se moviera con la velocidad relativa. Es lo que usa la sección siguiente para clasificar los choques: si P se conserva entero, en el choque sólo puede cambiar el término de v_rel. También sirve para el resorte entre dos carritos: (1/2) k Δl² = (1/2) · [m_A m_B/(m_A + m_B)] · v_rel², porque el CM estaba y sigue quieto (con los datos del ejemplo, masa reducida 0,375 kg y v_rel = 2,83 m/s, que es 0,71 + 2,1).

¿Hace falta conocer las direcciones?

Para la energía cinética respecto del laboratorio, no: alcanza con el módulo de cada velocidad. Para cada uno de los dos términos de la descomposición, sí. La velocidad del CM es una suma de vectores, y la velocidad relativa también: con θ el ángulo entre v₁ y v₂, v_rel² = v₁² + v₂² − 2 v₁ v₂ cos θ. Al cambiar el ángulo, las dos partes cambian y su suma no. Con m₁ = 1,0 kg a 6,0 m/s y m₂ = 2,0 kg a 3,0 m/s:

Cómo calcular las dos energías

1. Velocidades por componentes, respecto del laboratorio.
2. E_c desde el laboratorio: Σ (1/2) m_i v_i², con los módulos.
3. v_CM con el promedio pesado (vectorial), y cada v_i/CM = v_i − v_CM. Control: Σ m_i v_i/CM = 0.
4. E_c,int: Σ (1/2) m_i v_i/CM², o con la masa reducida si son dos partículas.
5. Control final: (1/2) M v_CM² + E_c,int tiene que dar la E_c del laboratorio.

Trabajo y energía en un sistema de partículas

Sumando el teorema de las fuerzas vivas de cada partícula, el trabajo de todas las fuerzas sobre todas las partículas es la variación de la energía cinética del sistema:

Acá está la diferencia con la cantidad de movimiento. Las fuerzas interiores se cancelan al sumarlas, pero sus trabajos no, porque las dos fuerzas de un par actúan sobre cuerpos que pueden moverse distinto. Por eso una persona puede ganar energía cinética caminando sobre un bote sin que nada de afuera trabaje, y un bloque que roza sobre un carro pierde energía aunque el sistema esté aislado.

El trabajo de un par de fuerzas interiores

Si F es la fuerza que el cuerpo 2 le hace al 1, y −F la que el 1 le hace al 2, en un intervalo dt el par hace F · dr₁ − F · dr₂ = F · d(r₁ − r₂). El trabajo de un par depende sólo del desplazamiento relativo de los puntos donde actúan las fuerzas: es el mismo que si uno de los cuerpos estuviera quieto. De ahí sale cuándo trabaja y cuándo no: