Análisis Matemático II · Segundo parcial

Esta guía no explica la teoría: eso está en la guía completa de Análisis II (secciones 8 a 12). Acá se mira qué toma la cátedra en el 2do parcial, se convierte cada tipo de ejercicio en un procedimiento y se entrena contra los enunciados reales. Todo número de esta guía está contado sobre 66 exámenes reales con temas de los TP VI a X, de febrero de 2022 a julio de 2026, con sus 325 ejercicios transcriptos textualmente y resueltos: 49 integradores del régimen anterior (2022 a febrero de 2025) y 17 exámenes del régimen actual (segundos parciales, diferidos, recuperatorios, integradores para quienes tenían prórroga y un libre).

Las reglas del 2do parcial del 2C2026

Los tipos de ejercicio y cuánto cae cada uno

El esqueleto por posición

La cátedra repite ejercicios

Hay enunciados que aparecen textuales en dos fechas distintas, y la reutilización alcanza al régimen actual:

• El integrador del 14/3/23 (tema 1) repite los cinco ejercicios del 19/7/22 (tema 2), textuales.
• El integrador del 3/3/26 repite el Ej 2 (volumen de la bola dentro del cilindro) y el Ej 3 (integral de superficie sobre z = x²) del 7/3/23.
• El diferido del 29/6/26 repite el Ej 4 (circulación sobre la línea de campo de (−y, 9x)) del 12/12/23.
• El diferido del 30/6/25 repite tres ejercicios del integrador del 2/7/24: el Green, el flujo por el paraboloide en el primer octante y la integral doble sobre la línea de campo de (−y, x + 2). Además reusa la curva del Ej 4 (la hélice dentro de la bola de radio 1, con otro campo) y el cuerpo del Ej 1 (allá para una masa, acá para un Gauss).

Además, en las fechas con dos temas, el tema 2 suele ser el tema 1 con otro número o con las variables intercambiadas. El banco de la sección 11 tiene los 325.

Antes de escribir, en cada ejercicio

1. ¿Hay una EDO adentro? Familia ortogonal, línea de campo, μ(x), φ(x): resolvela primero y verificala (sección 9).
2. ¿Qué me piden: una integral sobre una curva, una región, un sólido o una superficie? Eso decide la herramienta (sección por tipo).
3. ¿Conviene un teorema? Curva cerrada en el plano: Green. Curva cerrada en el espacio: Stokes. Superficie cerrada (o que se cierra con una tapa): Gauss. Campo de gradientes: potencial.
4. ¿Se cumplen las hipótesis? Campo C¹ en una región que contiene todo (¿hay un punto donde el campo explota?), curva o superficie cerrada, dominio simplemente conexo para el potencial. Escribilas.
5. ¿Qué orientación piden y cuál uso? Decilo con palabras y con un dibujo: antihorario visto desde arriba, normal exterior, normal con componente z positiva. Es el error que más puntos cuesta en este parcial.
6. ¿Qué dejo escrito como respuesta? El número, con la orientación usada.

La estrategia de las tres horas

Es el Ej 1 del 2do parcial. Te dan un sólido con desigualdades o con las superficies que lo limitan y te piden su volumen, su masa con una densidad proporcional a una distancia, o ∭_H f con una f polinómica sencilla. La integración casi nunca es difícil: el ejercicio se gana o se pierde en describir el sólido (qué superficies lo limitan, dónde se cortan, qué sistema de coordenadas conviene, el rango de cada variable y el jacobiano). Esta sección convierte eso en un procedimiento fijo. La teoría larga (Fubini, cambio de variables, cilíndricas y esféricas) está en la guía completa, sección 10.

Qué es y cuánto pesa

Por año: 11 de 16 exámenes en 2022, 10 de 15 en 2023, 12 de 14 en 2024, 5 de 12 en 2025 y 7 de 8 en 2026 (el libre, sin fecha, no trae). Sumando los Gauss, 55 de los 66 exámenes piden integrar sobre un sólido. En el régimen actual los cinco exámenes sin triple son el diferido del 30/6/25, los recuperatorios del 8/7/25, 16/12/25 y 10/2/26 y el libre; los cinco segundos parciales de primera fecha (28/6/25, los dos temas del 6/12/25 y los dos del 27/6/26) la trajeron, y siempre como Ej 1.

Los subtipos que caen

Agrupados por el sólido, que es lo que decide el método (cada ejercicio en un solo grupo):

Lo que piden sobre ese sólido, contado sobre los 45 enunciados:

Preguntas que se repiten

Contado con un script que compara los enunciados de a pares, con los números enmascarados y las variables x, y, z identificadas (y revisado a ojo):

Además, dos cuerpos de triples salieron antes en un Gauss: el de 2/8/22 es el del 22/2/22 Ej 2, y el dominio del 12/7/22 es el del 15/2/22 Ej 3. Si el cuerpo de un Gauss te suena, es porque probablemente ya lo integraste.

La teoría que se usa

Los cuatro sistemas. Detalle y deducción de los jacobianos en la guía completa, sección 10.

Reconocer cada superficie (la tabla completa, con su traducción a cilíndricas y esféricas, está en la guía completa, sección 10):

La densidad. «Proporcional a» quiere decir δ = k·(distancia) con k > 0 constante, que queda en la respuesta.

Las magnitudes. V = ∭_H 1; M = ∭_H δ; momentos estáticos M_xy = ∭ zδ, M_xz = ∭ yδ, M_yz = ∭ xδ; centro de masa (M_yz, M_xz, M_xy)/M. Si el cuerpo y δ son simétricos respecto de un plano coordenado, la coordenada correspondiente del centro de masa es 0 sin cuentas.

Dos controles que salen gratis.

• Paraboloide sobre su sombra: si techo − piso = c(R² − ρ²) en polares (centradas o corridas) sobre el disco ρ ≤ R, el volumen es cπR⁴/2. Por eso 20/12/22, 10/7/24 y 24/2/26 dan los tres 81π/2 (c = 1, R = 3) y el 7/7/26 da 8π (R = 2).
• Por tajadas: si el integrando depende sólo de la variable del eje (z) y cada corte z = cte es un disco de radio ρ(z), entonces ∭_H g(z) dV = ∫ g(z)·πρ(z)² dz. Es Fubini en el orden "primero la doble sobre la tajada".

El procedimiento infalible

Las consignas de 64 de los 66 exámenes (los otros dos, el 10/2/26 y el 14/7/26, no la traen transcripta) dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas» y también «En la resolución de integrales, cada paso de integración debe resolverse indicando la primitiva y los límites correspondientes». En una triple, justificar es describir el sólido: quien corrige tiene que poder leer por qué cada límite es el que es.

Paso común: describir el sólido

1. Traducí cada condición a "superficie + lado". Completá cuadrados donde haya términos lineales y poné nombre: «x² + y² − 4y ≤ 0 es el cilindro sólido de eje paralelo a z, centrado en (0, 2), de radio 2». Una cadena a ≤ z² ≤ b son dos condiciones, y z² ≥ x² + y² sin z ≥ 0 es el cono doble.
2. Encontrá el eje. La combinación de cuadrados que se repite en todas las superficies (x² + y², o x² + z²) es el eje de simetría y decide el sistema. Si los coeficientes no coinciden (2x² + y²), no hay revolución: escribilo, porque eso descarta las esféricas.
3. Elegí la variable de adentro y escribí piso ≤ variable ≤ techo. Es la que aparece despejable en las dos superficies que encierran el cuerpo (casi siempre z). Si hay dos pisos (z ≥ 0 y z ≥ 4r² − 4), el piso es el mayor y la integral se parte donde cambia.
4. Calculá dónde se cortan. Igualá piso y techo: la curva intersección, proyectada, es el borde de la sombra D. Escribí la sombra con nombre («disco de centro (0, −1) y radio 2»). Justificación: un (x, y) tiene algún z en el cuerpo si y sólo si piso ≤ techo.
5. Comprobá cuál es el piso. Escribí techo − piso como algo ≥ 0 en D (o probá con un punto de D). Si te da negativo, los invertiste.
6. Leé las paredes. x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ x, «primer octante», «semiespacio z ≥ 0» se traducen en el rango de θ (o de φ). Buscá también las paredes escondidas: 0 ≤ z ≤ x obliga a x ≥ 0 (13/8/24).
7. Dibujá dos cosas: el cuerpo, y el corte con un semiplano θ = cte (si hay revolución) o la sombra (si no). En el corte se leen todos los límites.
8. Elegí el sistema y escribí el jacobiano en la hoja, solo, antes de la integral.
9. Escribí los rangos de adentro hacia afuera: el de adentro depende de las otras variables; el de afuera es constante. Comprobá que tu rectángulo de parámetros recorre todo el cuerpo y nada más.
10. Escribí el integrando: densidad = k·distancia, sacando el valor absoluto con el signo que tiene esa coordenada en H («en H, z ≥ 1, así que |z| = z»).
11. Integrá una variable por vez, con la primitiva y los límites a la vista.
12. Controlá con otro orden, otro sistema o una cota geométrica, y dejá la respuesta con su k («M = 6πk, con k > 0 la constante de proporcionalidad»).

Subtipo 1 · Cucurucho (cono y esfera)

1. Cono: z = c√(x² + y²) es z = c·r en cilíndricas y tan φ₀ = 1/c en esféricas (φ se mide desde el eje z: tan φ = r/z). c = 1 da φ₀ = π/4; c = √3 da π/6; c = √2 da φ₀ = arctg(1/√2), que no es un ángulo de tabla.
2. «Adentro del cono» (x² + y² ≤ z² con z ≥ 0, o «limitada inferiormente por el cono») es 0 ≤ φ ≤ φ₀. La esfera x² + y² + z² ≤ R² es 0 ≤ ρ ≤ R.
3. Dónde se cortan: c²r² = R² − r², o sea r₀ = R/√(1 + c²) y z₀ = c·r₀. Sirve para el control en cilíndricas.
4. θ: entero [0, 2π]; y ≥ 0, [0, π]; primer octante, [0, π/2].
5. Esféricas: ∫∫∫ f · ρ² sen φ dρ dφ dθ con todos los límites constantes. Si f es producto de una función de cada variable (z = ρ cos φ, xz = ρ² sen φ cos φ cos θ), la triple es el producto de tres simples.
6. Control en cilíndricas: r ∈ [0, r₀], z de c·r a √(R² − r²).
7. Si el cono o el elipsoide no son de revolución (4/7/23, 15/8/23), no uses esféricas: integrá z entre las dos superficies, igualalas para la sombra (da un disco) y seguí en polares.

Subtipo 2 · Elipsoide de revolución cortado

1. Identificá el eje (la variable con coeficiente distinto: en x² + y² + 5z² ≤ 9 es z) y el semieje sobre él: z_max = √(9/5) = 3/√5. No es √9.
2. Cortá con planos perpendiculares al eje: a altura z la tajada es el disco x² + y² ≤ 9 − 5z², de área π(9 − 5z²), no vacío si z ≤ 3/√5.
3. Rango del eje: desde el plano del enunciado (z ≥ 1) hasta el semieje. Si además hay una pared (y ≥ 0), la tajada es medio disco y θ ∈ [0, π].
4. Si el integrando sólo depende de z: ∫ g(z)·A(z) dz. Si depende de x o y (∭ yz), cilíndricas con z afuera: ∫ dz ∫ dθ ∫₀^ρ(z) … r dr.
5. Control en el otro orden (r afuera): r va de 0 al radio del corte con el plano, y z del plano al elipsoide.

Subtipos 3 y 4 · Piso y techo que son gráficos

1. Escribí piso y techo despejados: z = …(x, y).
2. Igualalos y completá cuadrados: la sombra es un disco (centrado o corrido) o una elipse.
3. Escribí techo − piso en el sistema de la sombra: con polares centradas en el centro de la sombra queda una función de r sola (en los 5 del subtipo 4 da c(R² − r²)).
4. Jacobiano: r (centradas o corridas), ab·r (elípticas).
5. Si hay un plano z = 0 además de los dos gráficos (8/3/22), el piso es el máximo: partí en el radio donde el paraboloide de abajo cruza z = 0.
6. Control: cπR⁴/2 si techo − piso = c(R² − r²).

Subtipo 5 · Cilindro corrido como pared

1. x² + y² ≤ 2ay es r ≤ 2a sen θ con θ ∈ [0, π]; x² + y² ≤ 2ax es r ≤ 2a cos θ con θ ∈ [−π/2, π/2]. O bien polares centradas en (0, a) con r ≤ a.
2. Cruzá con las otras paredes: y ≤ 0 en x² + y² ≤ 2x deja θ ∈ [−π/2, 0] (15/3/22); x ≥ 2 en (x − 2)² + y² ≤ 4 deja medio disco, cómodo en polares centradas en (2, 0) con θ ∈ [−π/2, π/2] (13/12/22).
3. Piso y techo son los que da el enunciado; comprobá que piso ≤ techo en toda la sombra (en 9/8/22, x − 4 ≤ 4 − x pide x ≤ 4, que se cumple en el disco).
4. Si el integrando es la altura y la sombra es simétrica, usá la simetría: en 9/8/22 la altura es 8 − 2x y ∬ x = 0 sobre el disco centrado en el eje y, así que V = 8·área = 32π.

Tres ejercicios reales resueltos

Trampas

Te piden la circulación de un campo plano f = (P, Q) sobre una curva del plano, y el campo trae algo que no se puede integrar parametrizando: e^cos(y), e^y², una función h sin fórmula. Green cambia la curva por la región que encierra, y en la cuenta queda Q′_x − P′_y, donde lo imposible se va. Casi nunca te lo dan servido: la curva viene abierta y hay que cerrarla, o viene recorrida en sentido horario, o sale de una ecuación diferencial. El ejercicio se gana o se pierde en el sentido de recorrido.

Qué es y cuánto pesa

Lo que cambió con el régimen actual no es la frecuencia sino la variedad. En los integradores viejos aparecían siete formatos; en los 13 de 2025 y 2026 aparecieron sólo tres: arco abierto que se cierra con un segmento (8), borde de una región con una función desconocida (3) y curva que sale de una EDO (2). El Green "al revés" (un área o una integral doble calculada como circulación) no sale desde el 17/12/24; el de parámetro, desde el 19/12/23; el de la singularidad, sólo el 22/2/22.

Los subtipos que caen

Por encima de los subtipos, hay tres rasgos que se repiten y que deciden la cuenta:

Preguntas que se repiten

Además, en las 12 fechas con dos temas que traen Green, el tema 2 es el tema 1 con x e y intercambiadas, un número cambiado o la figura espejada, y en 7 de las 12 la respuesta es la misma o la opuesta: 9/8/22 (−128/3 en los dos), 6/12/25 (16/3 en los dos), 13/12/22 (22 y −22), 19/7/22 (5π/2 y −5π/2). Otras estructuras que volvieron con otros números: X = (2 sen(t), 2 cos(t)) (12/7/22 y los dos temas del 13/12/22), la media elipse x ≥ 0 de 4y² + 8y + x² = 0 con h(xy) (8/2/22), que volvió como 9y² + 18y + x² = 0 con h(2xy) (15/8/23), las líneas de campo de (4y, −x) y de (y, −4x) (5/3/24 y 14/7/26).

La teoría que se usa

Repaso operativo; la teoría completa, con la demostración, las regiones con agujeros y el corte de la singularidad, está en la guía completa, sección 12 (TP X).

Cómo traducir el sentido que da el enunciado

La función desconocida siempre se va: por qué y cuándo

Green al revés y la singularidad

El procedimiento infalible

A · Arco abierto (24 veces, más dos que salen de una EDO):

1. Identificá la curva completando cuadrados (x² + 4x + y² = 0 es la circunferencia de centro (−2, 0) y radio 2) y dibujala con la flecha del sentido pedido.
2. Cerrala con el tramo más simple: el diámetro, el segmento sobre un eje o sobre x = cte. El segmento S arranca donde termina C y termina donde arranca C. Escribí con palabras: "C ∪ S es el borde de D recorrido en sentido horario".
3. Justificá Green: P y Q C¹ en ℝ² (decí por qué), D región regular, C ∪ S cerrada simple suave a trozos. Decí qué signo lleva por la orientación.
4. Q′_x − P′_y: lo que no se podía integrar tiene que desaparecer o quedar fácil. Si no, revisá la derivada.
5. La integral doble, con los límites escritos (franjas, o polares centradas en el centro de la circunferencia con el jacobiano r; en una elipse x = a r cos θ, y = b r sen θ con jacobiano a b r). Indicá la primitiva y los límites en cada paso: la consigna lo exige.
6. El segmento, directo: sobre y = c es dy = 0 y queda ∫ P(x, c) dx, con x desde el punto inicial de S hasta el final; sobre x = c, ∫ Q(c, y) dy.
7. Despejá: ∫_C = ∮_C∪S − ∫_S, y escribí la respuesta con el sentido de C.

B · Borde de una región con una función desconocida (9 veces):

1. Dibujá la región: |x| ≤ y ≤ 3 es un triángulo, |y| ≤ x ≤ 2 − y² es la región entre una V y una parábola. Calculá los puntos de corte.
2. Decí por qué no parametrizás: con h desconocida las integrales de línea no se pueden calcular.
3. Hipótesis: h ∈ C¹ (o C² si aparece h′) compuesta con un polinomio da P y Q de clase C¹.
4. Q′_x − P′_y con la regla de la cadena, mostrando que los h′ se cancelan: P′_y = 2y + 3h′(3x + 3y) y Q′_x = 3h′(3x + 3y).
5. Sentido: el pedido, traducido a horario o antihorario. Con vértices, el producto vectorial.
6. Integral doble en el orden que corte la región en una sola franja (en |y| ≤ x ≤ 2 − y², franjas horizontales).

C · La curva sale de una EDO (7 veces):

1. Resolvé la EDO (sección 9): familia ortogonal con y′ = −1/(pendiente de la familia), línea de campo con y′ = g₂/g₁. Usá el punto dado para la constante y verificá: ∇(ecuación de la curva) · g = 0 para una línea de campo.
2. Reconocé la curva: en los 7 casos es una elipse, una circunferencia o una parábola. Decí si es cerrada.
3. Sentido: si lo fija el campo («línea de campo… orientada según g», o un versor tangente), evaluá g en un punto de la curva; si es a elección, dibujalo.
4. Seguí con A (si quedó un arco) o con Green directo (si quedó cerrada). El área de la elipse x²/a² + y²/b² ≤ 1 es π a b.

D · Green al revés (7 veces, ninguna desde 2025):

1. Elegí el campo según lo que piden (tabla de arriba) y decí que es C¹ en ℝ².
2. Mirá el sentido de la parametrización con tres puntos. En los dos de área del corpus (11/7/23 y 17/12/24) era horaria.
3. Calculá la circulación sobre cada tramo; los segmentos de los ejes suelen aportar 0 (decí por qué: y = 0 o x = 0 anula el campo elegido, o dx = 0).
4. Si te dio un área negativa, es la marca de que el recorrido era horario: decilo y cambiá el signo.

E · Singularidad adentro (1 vez):

1. Decí que f no está definido (o no es C¹) en P₀ y que P₀ está en el interior de D: Green no se aplica directo.
2. O separás f = ∇φ + g con g de clase C¹ en todo D (∇φ tiene circulación nula en curvas cerradas que no pasan por P₀) y aplicás Green a g; o cortás con C_ε y aplicás Green en la región entre las dos curvas, con la de afuera antihoraria y C_ε horaria.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Te dan un campo f y una curva, y te piden la circulación ∫_C f · ds. En casi todos los ejercicios del tipo el campo es de gradientes, o lo es después de hallar una función incógnita, así que la cuenta final es U(final) − U(inicial). El trabajo de verdad está en otro lado: probar que es de gradientes con las hipótesis bien dichas, encontrar el potencial y saber dónde empieza y dónde termina la curva. Esa curva casi nunca viene servida: sale de una EDO (una línea de campo, una trayectoria ortogonal), de cortar dos superficies o de recortar una curva paramétrica con una bola. Es el tipo con más ejercicios del corpus (56); por exámenes, Green lo supera por uno (51 contra 50).

Cuánto pesa

Sumando las dos cosas, las ideas de esta sección se usan en 63 de los 66 exámenes: sólo se salvaron el tema 2 del 11/7/23, el tema 2 del 17/12/24 y el integrador del 24/2/26.

Los subtipos que caen

Los 56 ejercicios, agrupados por dónde está el trabajo:

En los 17 exámenes desde marzo de 2025 el reparto fue A 4, B 4, C 6 y D 0. En el subtipo A, la cátedra dice "de gradientes" de cuatro maneras, y la EDO que sale es siempre de una de cinco formas:

Preguntas que se repiten

Contadas con un script sobre los enunciados normalizados y revisadas a ojo:

Y en las 11 fechas en que los dos temas traen este tipo (19/7/22, 16/8/22, 13/12/22, 14/2/23, 7/3/23, 1/8/23, 27/2/24, 13/8/24, 10/12/24, 25/2/25 y 6/12/25), el tema 2 es el tema 1 con x e y intercambiadas, un signo o un número cambiado: el procedimiento es el mismo.

La teoría que se usa

Repaso operativo. La teoría larga de integrales de línea, campos de gradientes y función potencial está en la guía completa, sección 9 (TP VII); las EDO, en la sección 8 (TP VI); Green y Stokes, en la 12 (TP X).

Cómo se encadena la EDO del primer paso

33 de los 56 ejercicios traen una EDO antes de la circulación. Se resuelve como en la sección 9; lo que importa acá es qué te llevás de ella:

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas». En este tipo se justifica por qué el campo es de gradientes (C¹ en un dominio simplemente conexo con las derivadas cruzadas iguales, o el potencial exhibido con su control), de dónde salen los extremos de la curva y qué sentido se usó.

A · Función incógnita para que sea de gradientes (20 de 56)

1. Traducí la condición. "Campo de gradientes", "conservativo", "admite función potencial" y "∮ = 0 para toda curva cerrada" son lo mismo en ℝ². Escribilo en una línea.
2. Condición necesaria, con su hipótesis. f es C¹ porque la incógnita es C¹ y lo demás son polinomios, exponenciales o trigonométricas. Si f = ∇U, U es C² y por Schwarz P′_y = Q′_x.
3. La EDO. Derivá con la regla del producto: φ(x) derivada respecto de y da 0, pero el y² que la acompaña no. Factorizá; suele quedar (factor)·(EDO) = 0, como y(φ′ + 1 − 2φ) = 0 o x sen y·(xh′ − h) = 0. Elegí un valor que no anule el factor (y = 1, y = π/2) y escribí la EDO.
4. Resolvé la EDO (sección 9). Si dividiste por x, decí qué pasa en x = 0 (trampa 2).
5. El dato fija la constante. Evaluá f en el punto con cuidado, porque muchas veces una componente se anula: f(1, 1) = (0, μ(1)) en el 16/12/25.
6. Suficiencia. Con la función hallada, P′_y = Q′_x en ℝ², simplemente conexo: es de gradientes. O exhibí U y verificá ∇U = f, que lo prueba sin más.
7. Potencial, integrando y ajustando. Si piden "todas", + K.
8. Circulación: U(final) − U(inicial). Si dan sólo los extremos ("una curva Γ suave a trozos con punto inicial … y punto final …"), no busques la curva. Si dan la curva, sacá sus extremos: en el 7/7/26, X(−1) = (2, 1) y X(1) = (2, 3).

B · La curva sale de una EDO (13 de 56)

1. La curva (sección 9): línea de campo de g con dy/dx = g₂/g₁, trayectoria ortogonal, o la EDO dada; con el punto, la curva concreta. Control: derivá la cantidad conservada a lo largo de X′ = g(X) y tiene que dar 0.
2. El recorte. Cortá la curva con el borde de la región (la recta del semiplano, los ejes del cuadrante) y decí qué parte queda, probando un punto: el punto por donde pasa la línea tiene que cumplir la condición.
3. El extremo con incógnita, si lo hay: B = (1, y₀) se saca evaluando la curva.
4. El sentido. El que diga el enunciado ("abscisas crecientes", "versor tangente en A con primera componente positiva", "de B a A"), traducido a cuál extremo es el inicial. Si dice "indique", elegilo, dibujá la flecha y nombrá el punto inicial.
5. f de gradientes: P′_y = Q′_x en ℝ² (los 13 lo son) y potencial con control.
6. U(final) − U(inicial), con el sentido del paso 4.

C · Campo de gradientes dado; la curva es el trabajo (16 de 56)

1. rot f = 0 con las tres componentes escritas, y f de clase C¹ en ℝ³, que es simplemente conexo. Si el enunciado dice "pruebe que f es campo de gradientes" (14/7/26), esa es la prueba.
2. Potencial de tres variables, con control ∇U = f.
3. Los extremos. Intersección de superficies: combiná las ecuaciones (reemplazá z) para ver la proyección (circunferencia, elipse) y aplicá la restricción; los extremos están donde la restricción vale con igualdad. Paramétrica recortada: ‖X(t)‖² ≤ r² o x, y, z ≥ 0 es una inecuación en t, y su intervalo [t₀, t₁] da X(t₀) y X(t₁). Segmento en una región: la inecuación sobre la recta (15/2/22: x³(2x + 2) ≤ 0, x ∈ [−1, 0]).
4. El sentido: "y creciente", "z creciente", "la segunda componente del vector tangente nunca negativa" o el de la parametrización. Decí cuál es A y cuál es B; si piden indicar la orientación, elegila y dibujala.
5. U(B) − U(A). Aprovechá lo que se anula en los extremos: x = 0 mata xyz, y 2x − z = 0 hace e^2x−z = 1.

D · No es de gradientes (7 de 56)

1. rot f ≠ 0 (o P′_y ≠ Q′_x): decí que no es de gradientes y que, por lo tanto, "es cerrada, da 0" no vale.
2. Separá f = ∇U + h, con U que se lleve todo lo que pueda; la g desconocida entra en U como su primitiva. Control: ∇U + h = f.
3. La parte de gradientes: U(B) − U(A), que en una curva cerrada es 0 sin importar g.
4. El resto: parametrizando (h suele ser (0, −x, 0), (y, 0, 0) o (−2y, 0, 0), y queda una integral de cos² o sen²) o con Stokes sobre el pedazo de plano que encierra la curva, con la normal compatible (sección 5). En la curva abierta del 8/8/23, la parte (0, g(y)) aporta ∫₀¹ g = 2 y el resto se parametriza.

Ejercicios reales resueltos

Trampas

Tres enunciados del tipo traen una errata evidente: el 13/12/22 t2 escribe la condición 1 con f en lugar de g = μf, el 5/3/24 t2 escribe f(x, y) para un campo que depende de z, y el 18/2/25 t2 Ej 4 dice φ ∈ C²(ℝ²) para un campo de ℝ³. Si te toca algo así, escribí en una línea cómo lo leés y seguí.

Te piden la circulación ∮_C f · ds de un campo de ℝ³ sobre una curva cerrada (o casi cerrada), y la cuenta directa es eterna o imposible: la curva es una elipse inclinada, el campo trae 2xy³z², e^z² o una función φ que no conocés. El teorema del rotor la cambia por el flujo de rot f a través del trozo de plano que encierra la curva, y ahí rot f queda constante o lineal. 41 ejercicios en 41 de los 66 exámenes (nunca dos en el mismo) y en otros 6 exámenes es el camino corto de un ejercicio de circulación (tipo M, sección 4). Es también el ejercicio donde más puntos se pierden sin hacer una cuenta mal: en 23 de los 41 la orientación la elegís vos, y si no la decís y no la dibujás, el número solo no alcanza.

Cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 41 agrupados por qué curva te dan, que es lo que decide la superficie:

Y por qué trae el campo (un ejercicio puede estar en más de una fila; esto decide si podés terminar la cuenta):

Y por cómo te dan la orientación:

Preguntas que se repiten

Contado con un script sobre el texto normalizado (sin etiquetas, sin tildes, sin espacios; después con números y signos tapados y con x e y intercambiadas) y mirado a ojo. Las respuestas, verificadas calculando cada circulación directo, sin el teorema:

El patrón: en los 8 días con dos temas que traen el rotor en los dos (19/7/22, 9/8/22, 16/8/22, 14/2/23, 7/3/23, 4/7/23, 30/7/24, 10/12/24), el tema 2 es el tema 1 con x e y intercambiadas o con un número cambiado, y la respuesta sale igual, con el signo cambiado o con otra constante. Y la familia 2xy³z² (y su prima 3x²y²z²) aparece en 8 de los 41 y en 3 de los 6 de circulación tipo M: si la ves, el rotor es una línea.

La teoría que se usa

Repaso operativo. El teorema con todas sus hipótesis, la traducción de cada forma de dar la orientación y la elección de la superficie están en la guía completa, sección 12 (TP X); la circulación y los campos de gradientes, en la sección 9 (TP VII).

El procedimiento infalible

Los exámenes piden «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas» y «En la resolución de integrales, cada paso de integración debe resolverse indicando la primitiva y los límites correspondientes». En un rotor eso es: las hipótesis del teorema, la superficie elegida con su borde, la orientación con su normal compatible y el dibujo.

A · Curva cerrada dada por dos ecuaciones o paramétrica (24 de los 41)

1. Regularidad del campo. «f es C¹ en ℝ³»: polinomios, exponenciales y la función desconocida es C¹ por dato. Una línea, pero va.
2. rot f, componente por componente. Fijate qué se fue (gradientes escondidos, φ de su propia variable). Si quedó una función desconocida, anotá en qué componente: la superficie tendrá que anularla.
3. El plano y la proyección. Si una ecuación ya es un plano, despejá z = g(x, y). Si no, reemplazá una en otra (22/2/22: x² + y² = 2y en z = 3 − x² − y² da z = 3 − 2y). Si es paramétrica, buscá la relación lineal entre las componentes. La proyección D sale completando cuadrados: x² + y² − 2y = 0 ⇔ x² + (y − 1)² = 1. Si elevaste al cuadrado (el cono del 15/2/22), chequeá que no agregaste puntos.
4. La superficie. Σ: z = g(x, y), (x, y) ∈ D. Escribí: «es un gráfico C¹ sobre D, suave y orientable, y su borde es C; como f es C¹ en ℝ³, vale el teorema con esta superficie (con cualquiera de borde C daría lo mismo)».
5. La orientación. Traducí el dato a «antihoraria (u horaria) vista desde arriba»: ubicá el punto P en la proyección (el más bajo, el de más a la izquierda…) y mirá hacia dónde lo mueve la componente pedida. Si es a elegir, elegí y decilo. Mano derecha: antihoraria ⇔ N = (−g′_x, −g′_y, 1); horaria ⇔ su opuesta. Dibujá la proyección con la flecha y la normal.
6. rot f · N, reemplazando z = g(x, y) si el rotor depende de z.
7. La doble sobre D, en cartesianas o en polares desplazadas (x = x₀ + ρ cos θ, y = y₀ + ρ sen θ, jacobiano ρ; para una elipse, x = x₀ + aρ cos θ, y = y₀ + bρ sen θ, jacobiano abρ), con primitiva y límites.
8. Resultado con su sentido («con C antihoraria vista desde arriba, ∮ = 2π; con el otro, −2π») y el control con x̄ · área.

B · Borde de un triángulo (11)

1. f ∈ C¹(ℝ³) y rot f.
2. El plano: N = (B − A) × (C − A), su ecuación, y despejá z (si el plano es vertical, como x = 2 en el 20/2/24, proyectá sobre el plano yz).
3. La proyección es el triángulo de los vértices proyectados: su área es base · altura / 2, y si la integral no es constante, los límites salen de las rectas de los lados.
4. La orientación. Si te dan A → B → C, (B − A) × (C − A) es la normal compatible: mirá si su tercera componente es positiva o negativa. Si es a elegir, tomá la normal hacia arriba y nombrá los vértices en el orden en que la proyección gira antihoraria.
5. Hipótesis: el triángulo es un trozo de plano (suave, orientable), su borde son tres segmentos (cerrada, simple, suave a trozos), f ∈ C¹.
6. rot f · N por el área de la proyección (si es constante) o la doble completa. Resultado con el sentido y el dibujo.

C · Arco abierto (4)

1. Los extremos A = X(a) y B = X(b), y la curva que describe (media circunferencia, media elipse en un plano).
2. Si hay parte gradiente, ∫_C ∇φ · ds = φ(B) − φ(A): los extremos están donde te dan φ.
3. Cerrar con el segmento L de B a A, elegido donde conocés el campo (el diámetro; o la recta donde te dan g, en el 9/8/22). Así C ∪ L es cerrada con un solo sentido.
4. La superficie plana con borde C ∪ L y su normal compatible con el sentido de C (la de C manda).
5. El flujo del rotor por esa superficie.
6. El segmento parametrizado de B a A, con su integral.
7. ∫_C = flujo − ∫_L, más la parte gradiente si la había.

D · Borde de una superficie no plana (2, el mismo ejercicio): no hay plano con ese borde, así que Σ es la superficie del enunciado. Describí los tramos del borde, tomá la normal (−g′_x, −g′_y, 1) hacia arriba, recorré el borde de modo que la proyección gire antihoraria y dibujá las dos orientaciones (la normal sobre Σ y las flechas del borde): el 14/7/26 las pide explícitamente.

Si te dan ∇ × g como dato (5): antes de usarlo, calculá su divergencia. Si da 0, seguí con A o C. Si no da 0 (pasó dos veces), usá igual el trozo de plano y dejá escrita la observación.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Gauss aparece como ejercicio propio en 45 de los 66 exámenes (45 ejercicios: nunca dos en el mismo examen) y en el régimen actual es el Ej 5 más frecuente: 6 de los 17 exámenes cierran con un Gauss. Si contás también los ejercicios de otro tipo que se resuelven con Gauss (flujos directos que se pueden cerrar y los «φ para que el flujo por cualquier cubo sea nulo»), el teorema hace falta en 51 de los 66 exámenes y en 16 de los 17 del régimen actual. En el régimen actual el más tomado es una superficie abierta que se cierra con una tapa (7 de los 13), y lo que se cobra es el signo; en todo el corpus está casi empatado con la frontera de un sólido dado (19 contra 20 de los 45).

Cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 45 ejercicios, agrupados por lo que piden de verdad (contado con un script sobre las resoluciones, etiquetando cada uno a mano):

Lo que cambia la cuenta, además del subtipo, es qué orientación piden:

Y lo que nunca apareció en los 45: un campo con una singularidad adentro del sólido (tipo r/‖r‖³). En todos f es C¹ en ℝ³ o lo es por hipótesis. No quiere decir que no lo tomen, pero si lo toman, la herramienta (cortar con una esfera chica) está en la guía completa, sección 12.

Preguntas que se repiten

Contado con un script sobre el texto normalizado (sin etiquetas, sin tildes, sin espacios; después con los números tapados y con x e y intercambiadas) y mirado a ojo. 26 de los 45 son el mismo ejercicio que otro con un número, una variable o una componente cambiada:

Dos parentescos más que no son textuales pero conviene ver: el casquete x² + y² + z² ≤ 10, z ≥ 1 aparece como sólido el 20/12/22 y como superficie abierta el 15/7/25, y el del 20/2/24 (radio √18, z ≥ 3) da la misma triple ∭ 2z dV = 81π/2. Y el h = (x, y², 8 − z) del 22/2/22 vuelve el 20/12/22.

La teoría que se usa

Repaso operativo. El teorema con su prueba, los operadores y el caso con singularidad están en la guía completa, sección 12 (TP X); las triples, en la sección 10 (TP VIII) y en la sección 2 de esta guía; el flujo directo de la tapa, en la sección 11 (TP IX).

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas» y «en la resolución de integrales, cada paso de integración debe resolverse indicando la primitiva y los límites correspondientes». En un Gauss eso es: superficie cerrada que es frontera de un sólido, campo C¹ en el sólido, normal exterior, y cada cambio de signo explicado.

A · Superficie abierta: cerrar con una tapa (19 de los 45, 7 de los 13 recientes)

1. Dibujá Σ y encontrá su borde. El borde es una curva plana: la circunferencia (o elipse) donde la condición se vuelve igualdad. 27/6/26: x² + y² = 4 sobre z = 5 − x² − y² está en z = 1, no en z = 0. Si Σ es una pared de cilindro, tiene dos bordes.
2. La tapa T: la región plana con ese borde (disco, elipse). Escribila con su ecuación y su región: «T: z = 1, x² + y² ≤ 4».
3. El sólido H encerrado por Σ ∪ T, con desigualdades (1 ≤ z ≤ 5 − x² − y²). Decí: «Σ ∪ T es una superficie cerrada, suave a trozos, frontera del sólido acotado H».
4. Hipótesis sobre f: polinómico, o «φ ∈ C¹ ⇒ f ∈ C¹(ℝ³)», o «f ∈ C¹ por dato». Una línea, pero va.
5. Orientación. Elegí un punto concreto de Σ (el vértice, el polo) y decí hacia dónde apunta ahí la exterior de H. Compará con la pedida: si coinciden, el resultado es directo; si no, al final cambiás el signo. Si dicen «Indique en un gráfico», elegí la exterior, dibujá dos o tres flechas sobre Σ y escribí cuál es.
6. div f, derivando cada componente respecto de su variable. Si hay una función desconocida, escribí por qué se va.
7. La triple ∭_H div f dV, con límites y primitivas.
8. La tapa con su normal exterior a H: ň = (0, 0, 1) si la tapa es el techo, (0, 0, −1) si es el piso. f · ň = ±f₃(x, y, h). Si f es desconocido, acá entra el dato.
9. Despejá: Φ_{Σ, ext} = ∭ − Φ_{T, ext}. Ojo: si Φ_T es negativo, restarlo es sumar.
10. Respondé con la orientación pedida y nombrala en la respuesta: «Φ = 20π con las normales hacia arriba».

B · Frontera de un sólido: Gauss directo (20 de los 45)

1. Describí H y mostrá que es acotado: dónde se cortan techo y piso (igualá y vas a encontrar la proyección: x² + y² = 4, x² + y² = 25). Completá cuadrados si hace falta: x² + y² ≤ 2x es el disco de centro (1, 0) y radio 1.
2. ∂H cerrada, suave a trozos; f ∈ C¹(ℝ³). Si el sólido viene como dominio natural (15/2/22) y no es cerrado, aplicás Gauss en su clausura: la frontera y el volumen son los mismos.
3. div f: si sale constante, el flujo es esa constante por el volumen. Si sale de una jacobiana o una hessiana, es la traza; si hay un rotor, aporta 0.
4. La triple en las coordenadas que convienen. Con div = cz, primero en z: ∬ c(T² − P²)/2 dA. Con una parte impar en x o en y sobre una región simétrica, decí la simetría y tachala.
5. El signo: saliente, resultado directo; «hacia el interior», con el signo cambiado; «a elección», decí cuál elegiste.

C · Hallar un parámetro o una función (6 de los 45, más los 3 de la sección 10)

1. div f en función de la incógnita (a, g, φ).
2. Gauss con sus hipótesis sobre el sólido del enunciado (el cono macizo, el cubo, las bolas): el flujo es la triple de esa divergencia.
3. La ecuación: para a, una ecuación lineal; para «div f constante», la EDO div f = k, y el flujo por el cubo de arista 2 (volumen 8, en cualquier posición) fija k. Ojo con la normal entrante: −8k.
4. Flujo nulo por toda esfera centrada en el origen: div f ≡ 0 alcanza, así que buscás una φ que lo cumpla (EDO lineal). No digas que es necesario: no lo es (abajo, la trampa). Para «cualquier cubo» o «cualquier bola», sí es equivalente (sección 10).
5. La condición puntual en todas las componentes.
6. Control con la respuesta: div f y el dato puntual.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Te dan un pedazo de superficie Σ con sus recortes y te piden una de tres cosas: el flujo de un campo a través de Σ con una orientación (tipo Q), su área o la integral de un campo escalar sobre ella (tipo P). Las tres son la misma maniobra: parametrizar Σ, bajar a un dominio plano D y hacer una integral doble. Lo que cambia es el factor: en el área y el campo escalar va ‖X_u × X_v‖, en el flujo va el vector X_u × X_v con el sentido que pide el enunciado. Ese sentido es donde se pierde el ejercicio: una cuenta perfecta con la normal al revés da −Φ, y eso es un ejercicio mal resuelto.

Qué es y cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 32 flujos se agrupan por la superficie, que es lo que decide la parametrización y el lugar donde aparece la trampa:

Y en los 32 la orientación se pide de cinco maneras. Ésta es la segunda tabla que tenés que tener en la cabeza:

Los 17 de P, por superficie:

Preguntas que se repiten

Contado con un script que compara los enunciados con los números enmascarados, y mirado a ojo. Tres son textuales en fechas distintas; el resto, el mismo ejercicio con un número o con x e y intercambiadas.

La teoría que se usa

Repaso operativo. La teoría larga (regularidad, orientabilidad, los atajos y quince ejemplos) está en la guía completa, sección 11; las superficies paramétricas, en la sección 5.

Las parametrizaciones que aparecen en el corpus, con la normal en el orden escrito:

El procedimiento infalible

Flujo directo (Q). En cada paso, lo que tiene que quedar escrito para que cuente como justificado:

1. Reconocé la superficie y descartá Gauss. Si Σ es abierta y no te piden un teorema, el camino es directo. Si el campo trae una φ sólo continua, ni lo intentes cerrar: Gauss pide f ∈ C¹. Escribí: «Σ es la porción del cilindro x² + y² = 9 entre…».
2. Traducí cada condición a los parámetros y armá D. Una por una: y ≥ x es θ ∈ [π/4, π/2] en el primer cuadrante; z ≤ x es z ≤ R cos θ, y además obliga a cos θ ≥ 0; z ≤ 4 − x² en el cilindro de radio 2 es z ≤ 4 sen² θ. Dibujá D. Escribí D completo, con los límites.
3. Parametrizá y calculá N = X_u × X_v en el orden que elegiste. Decí que X es C¹ y que N ≠ 0 en el interior de D.
4. Test de un punto. Elegí un punto interior (θ = π/2, x = 1, lo que dé números limpios), evaluá N, comparalo con la condición del enunciado y concluí «es la pedida» o «es la opuesta, uso −N». Para «no negativa», el punto tiene que estar donde la componente no se anula. Para «en P el versor es ǐ», el punto es P. Para «elegida en un gráfico», dibujala y declarala. Este es el renglón que más puntos vale.
5. Componé y simplificá f(X(u, v))·N antes de integrar. En los cilindros la tercera componente se multiplica por 0; en planos y paraboloides suele quedar una constante. Si queda algo con φ, es que te equivocaste en algo: está armado para que se cancele.
6. Integrá indicando primitiva y límites en cada paso, como pide la consigna. Si f·N es constante, Φ = constante × área(D), y decilo.
7. Respuesta con la orientación: «Φ = −8/3, con la normal de primera componente no negativa». Un negativo no es un error: quiere decir que el campo cruza Σ más en contra de la normal pedida que a favor.

Área o integral de un campo escalar (P).

1. Elegí cómo parametrizar: si Σ es un gráfico sobre algún plano coordenado, usá esa proyección (z = g(x, y), y = g(x, z)); si es un cono o un paraboloide de revolución, polares; si es un cilindro de eje z, (θ, z), nunca la proyección sobre xy.
2. Traducí los recortes a D igual que en el flujo. En el cono, z es r: «1 ≤ z ≤ 4» es «1 ≤ r ≤ 4». En la paramétrica dada, cada condición en x, y pasa a u, v.
3. Calculá ‖X_u × X_v‖ y justificá la regularidad: que no se anule en el interior de D (en el cono, que el vértice r = 0 quede afuera o sea un solo punto).
4. Componé h(X(u, v)) si es un campo escalar. No hay orientación ni signo que elegir: el orden de los parámetros no cambia nada.
5. Integrá con primitiva y límites. Si usaste polares como parámetros, la r ya está adentro de ‖X_r × X_θ‖: no la agregues otra vez.
6. Control: un área es positiva y, si Σ es un gráfico, mayor o igual que el área de su proyección. En el cono, exactamente √2 veces.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Te piden una integral doble sobre una región del plano: la masa de una placa con densidad "proporcional a la distancia" a algo, o ∬_D f dx dy con f un monomio (x, y, x², y²…). La cuenta en sí es corta. Lo que tiene de particular este parcial es de dónde sale la región: en 18 de los 26 ejercicios el borde de D es una curva que primero tenés que encontrar resolviendo una EDO, una línea de campo o una trayectoria ortogonal a una familia (esa EDO se trabaja en la sección 9). Después, casi siempre, un cambio de variables que deja los límites constantes: polares, polares desplazadas o elípticas.

Cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 26, agrupados por de dónde sale el borde de D, que es lo que cambia el trabajo:

Qué se integra, sobre los 26:

Y la forma de la región, con cómo se integró en el banco:

En total, 16 de los 26 se resolvieron con un cambio de variables (9 elípticas, 5 desplazadas, 2 polares) y 10 en cartesianas.

Preguntas que se repiten

Contado con un script sobre el texto normalizado (sin etiquetas ni tildes, con los números y los signos reemplazados, y probando con x e y intercambiadas): un enunciado textual entre dos años y cinco pares de temas espejados. El script también junta por la redacción el 20/2/24 con los dos temas del 25/2/25 («Sea ℱ la familia de curvas: …, y sea 𝒢 la familia de curvas ortogonales a las curvas de ℱ. Sea D la región acotada de ℝ² cuyo borde es…»), y a ojo la misma plantilla está en el 19/12/23: cambian la familia y el integrando.

Y mirando las curvas, cuatro cosas que vuelven con otros números:

• La elipse x² + 4y² = 4 (o 4x² + y² = 4) es el borde en 5 ejercicios: 4/7/23 (los dos temas), 6/8/24, 17/12/24 y 24/2/26, y corrida a (1, 0) en el 8/8/23. Sale de los campos (4y, −x), (−y, 4x), (y, −4x) o de ser ortogonal a y = cx⁴. Semiejes 2 y 1, jacobiano 2r.
• Lo ortogonal a y = kxⁿ son las elipses x² + ny² = C: 12/7/22 y 20/2/24 (n = 2; x² + ky = 0 es y = −x²/k), 8/8/23 (n = 4, corrida a x = 1), 17/12/24 (n = 4) y 11/7/23 (n = 9). Cinco veces.
• Lo ortogonal a xy = k son las hipérbolas x² − y² = C: 14/2/23 (los dos temas) y 19/12/23. No son cerradas: siempre viene una recta que cierra un casquete.
• Un disco que pasa por el origen y ∬ x: 2/7/24, 30/6/25 y 25/2/25 (los dos temas). La respuesta es x_centro · área, con el signo del centro.

La teoría que se usa

Repaso operativo. La teoría larga (Fubini, regiones tipo I y II, el teorema de cambio de variables y por qué aparece |J|, la tabla de bordes en polares) está en la guía completa, sección 10. Las EDO de líneas de campo y familias ortogonales, en la guía completa, sección 8, y en la sección 9 de esta guía.

Cambio de variables. Si T(u, v) = (x, y) es C¹, lleva D* sobre D, es inyectiva y su jacobiano no se anula, salvo en un conjunto de área nula (un punto, un lado del borde), entonces ∬_D f dx dy = ∬_D* f(T(u, v)) |∂(x, y)/∂(u, v)| du dv. Los tres cambios del corpus:

En elípticas θ no es el ángulo geométrico y x² + y² no es r²: hay que reemplazar x e y.

La EDO del borde, en dos renglones (el detalle, en la sección 9):

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas», y en 25 de los 26 exámenes con este tipo la consigna agrega: «En la resolución de integrales, cada paso de integración debe resolverse indicando la primitiva y los límites correspondientes» (en el otro, el 10/2/26, la consigna no quedó transcripta). Cada integral iterada se escribe con su primitiva y su evaluación entre límites, no sólo con el número.

A · La curva del borde (18 de 26)

1. La EDO. Línea de campo: "X′ = g(X), o sea x′ = P, y′ = Q, y las trayectorias cumplen dy/dx = Q/P". Familia: derivá respecto de x y eliminá k (despejala de la ecuación de la familia y reemplazala) hasta tener y′ = φ(x, y) sin parámetro; recién ahí "las ortogonales cumplen y′ = −1/φ(x, y)".
2. Resolvé (separables) y fijá la constante con el punto dado. Si en ese punto la pendiente no está definida (tangente vertical, como en (−2, 0) el 4/7/23 o en (1, 0) el 14/2/23), pasá a la forma diferencial o a dx/dy: la curva existe igual.
3. Controlá en un renglón: en una línea de campo, d/dt F(x(t), y(t)) = ∇F · g = 0; en una ortogonal, producto de pendientes −1 (o gradientes perpendiculares).
4. Nombrá la curva: completá cuadrados y escribí centro y semiejes. Si no es cerrada (hipérbola, parábola), decí qué rama pasa por el punto.

B · La región (en los 26)

1. Dibujo con los cortes calculados: vértices e intersecciones, resolviendo el sistema y descartando lo que no cumple las condiciones (en el 8/2/22, x = −3/2 sale de la cuenta pero no puede ser, porque x = y² ≥ 0).
2. D como conjunto, con desigualdades en el orden en que vas a integrar, o directamente D* en las coordenadas nuevas.
3. Simetrías, si las vas a usar: "D es simétrica respecto del eje y y f es impar en x, entonces ∬ f = 0" (o "par, entonces el doble de la mitad").

C · La densidad (10 de 26)

1. "Proporcional a la distancia…" ▸ δ = k · (distancia), k > 0, con la tabla de arriba.
2. Sacá el módulo justificándolo: "en D vale y ≥ 3|x| ≥ 0, así que |y| = y". Si D cruza el eje, partí D ahí.

D · La integral (en los 26)

1. Elegí las coordenadas por la forma del borde: las buenas dejan límites constantes. Disco o corona: polares (desplazadas si el centro no es el origen). Elipse: elípticas. Polígono o región entre gráficos: cartesianas.
2. Con cambio de variables: escribí T, calculá el jacobiano como determinante (no lo recites), escribí D* y la frase de las hipótesis: "T es C¹ y biyectiva de D* en D salvo en un conjunto de área nula; |J| = …".
3. En cartesianas: decí si es tipo I o tipo II y partí donde el piso o el techo cambian de fórmula. Si un orden pide partir y el otro no, usá el otro.
4. Cada iterada: primitiva, límites, valor.
5. Control: el otro orden, x̄ · área, la fórmula de la elipse, o el signo (∬ x sobre un disco que está en x ≤ 0 tiene que dar negativa).

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

En los 66 exámenes del corpus ningún ejercicio es sólo de ecuaciones diferenciales, pero los 66 traen uno cuyo primer paso es una EDO o una línea de campo: 67 ejercicios en total (el integrador del 20/2/24, tema 2, trae dos). La curva sobre la que hay que integrar, la región o la función incógnita no están dadas: se definen con una EDO. Si esa EDO sale mal, todo lo que sigue sale mal aunque la integral esté perfecta. Esta sección convierte ese paso en un trámite; la teoría larga está en la guía completa, sección 8 (TP VI: 8.10 trayectorias ortogonales, 8.11 líneas de campo, 8.14 este mismo formato).

Qué es y cuánto pesa

La familia ortogonal a las líneas de campo de g = (x, 4y) (17/12/24, tema 2) está contada como ortogonal: pide las dos cosas. En el régimen actual son 17 ejercicios en 17 exámenes: uno por examen, sin excepción.

Los subtipos que caen, contados

Contando la forma de la función incógnita: en 11 de los 20 de gradientes μ multiplica a todo el campo (μ(x)·g) y en 9 está metida en las componentes ((g(x)y², yx + g(x)y)). El procedimiento es el mismo.

Preguntas que se repiten

• El campo de g′ = 2g − 1, seis veces. f(x, y) = (g(x)y², yx + g(x)y) con f(0, 1) = (1, 1) el 19/7/22 (tema 1, Ej 4), el 7/3/23 (tema 1, Ej 4, con φ en lugar de g y «∫_C f.ds = 0 para toda curva cerrada suave a trozos C contenida en ℝ²» en lugar de «campo de gradientes») y el 3/3/26 (Ej 4, «campo conservativo»). Su espejo (yx + g(y)x, g(y)x²) con f(1, 0) = (1, 1), el 19/7/22 (tema 2, Ej 3), el 7/3/23 (tema 2, Ej 3) y el 14/3/23 (tema 1, Ej 3, textual del 19/7/22). Siempre: P′_y = Q′_x da g′ = 2g − 1, el dato da g(0) = 1 y sale g = (1 + e^2x)/2 (o en y). Cuando piden la circulación hasta el origen (7/3/23 y 3/3/26), da −1/2.
• La media elipse de (−y, 9x) por (1, 0) en el semiplano 3x − y ≥ 0: textual el 12/12/23 (tema 2, Ej 4) y el 29/6/26 (diferido, Ej 4), y con otro f el 10/12/24 (tema 2); el tema 1 del 10/12/24 es el espejo, (9y, −x) por (0, 1) con x − 3y ≤ 0. Siempre una recta por el centro que corta la elipse en dos puntos simétricos, y en los cuatro el potencial hace que sólo cuente un término.
• La circunferencia de (−y, x + 2) por (0, 0) y ∬_D x dxdy: textual el 2/7/24 (tema 1, Ej 5) y el 30/6/25 (diferido, Ej 5). Da −8π.
• La región de las dos líneas de campo de (x − 2, 2y) y (y, −x) por (0, 2): el 15/2/22 pide la circulación por su borde y el 20/12/22 la integral doble de x².
• (yα(y), 2xα(y)) con f(1, 1) = (3, 6): el 20/2/24 (tema 2, Ej 5) y el 11/2/25 (tema 2, Ej 4), con otro arco de circunferencia. α = 3y y el potencial es 3xy².
• μ′ = 2xμ en los dos temas del 16/8/22 y del 13/12/22, con campos distintos y la misma μ = K e^x² (K e^y² en los temas 2, donde μ depende de y; K = 2 o 3).
• y = k(x − 1)⁴ por (1, 1): el 22/2/22 (circulación sobre la mitad de arriba) y el 8/8/23 (∬ x). La ortogonal es (x − 1)² + 4y² = 4 las dos veces.
• xy = k: los dos temas del 14/2/23 y el 19/12/23, siempre por un punto de un eje y cortando con una recta.
• La ortogonal a una familia de elipses es y = x²: el 5/8/25 (x² + 2y² = c, por (1, 1)) y los dos temas del 27/6/26 (por (−1, 1) y por (1, 1)).

Y la elipse de la línea de campo es x² + 4y² = 4 o 4x² + y² = 4 en 11 de los 21 ejercicios de línea de campo, con los campos (4y, −x), (y, −4x) o (−y, 4x). Si te da otra cosa con esos campos, revisá.

La teoría que se usa

El procedimiento infalible

Línea de campo de g por P₀ (y la porción que piden):

1. Definición en una línea: «la línea de campo tiene tangente paralela a g en cada punto: x′ = P, y′ = Q». Escribirla es parte de la justificación.
2. La EDO: donde P ≠ 0, dydx = QP. Separá e integrá.
3. Control que no divide: si te dio H(x, y) = C, verificá ∇H · g = 0 (o ddt H = 0 sobre el sistema). Eso cubre los puntos donde P = 0, que suelen ser justo el punto dado: en (1, 0) con g = (−y, 9x) la tangente es vertical y dy/dx no existe.
4. La constante: reemplazá P₀. Mirá si g se anula sobre la curva (un punto de equilibrio corta la línea; (−y, x + 2) se anula en el centro, que no está en la curva).
5. La porción: con un semiplano, cortá la curva con la recta del borde (da los extremos) y elegí el arco que contiene a P₀ (reemplazá P₀ en la desigualdad). Con un cuadrante o «la región que encierra», dibujá.
6. La orientación: si el enunciado la fija («abscisas crecientes», «de B a A», «el versor tangente en A es…»), traducila a un sentido de recorrido y a una parametrización y comprobalo en un punto. Si dice «indique en un gráfico», elegí una, dibujala con flecha y escribila con palabras. De las 14 líneas de campo que terminan en una circulación, en 8 la fija el enunciado y en 6 la elegís vos; ninguna dice «en el sentido del campo».

Curva de la familia ortogonal a ℱ por P₀:

1. EDO de ℱ sin constante: derivá respecto de x (implícitamente si ℱ viene como F(x, y) = c) y eliminá la constante despejándola de la ecuación original. Tiene que quedar y′ = m(x, y) sin k.
2. Ortogonal: y′ = −1/m(x, y). Escribí por qué: «pendientes perpendiculares, producto −1».
3. Resolvé (casi siempre separable) y escribí la familia con su propia constante.
4. Por P₀: despejá la constante. P₀ puede no estar en ninguna curva de ℱ (por (0, 2) no pasa ninguna y = Cx⁴): no importa, la ortogonal sí está definida.
5. Control: en P₀, la tangente de tu curva es paralela a ∇F (o el producto de pendientes da −1).
6. La rama y la región: hipérbola, la rama que pasa por P₀; elipse, cerrada (encierra D); potencia, el tramo entre los extremos. Si un extremo es (0, b) o (2, y₀), sale de la curva: no es dato.

μ(x) o φ(x) para que f sea de gradientes (o «circulación nula sobre toda curva cerrada», o «conservativo»):

1. Traducción: las tres frases dicen lo mismo: f = ∇U en ℝ². Decilo.
2. Necesaria: f es C¹ porque μ ∈ C¹; si f = ∇U, U es C² y por Schwarz P′_y = Q′_x. Derivá con la regla del producto (si μ depende de x, aparece μ′ en Q′_x).
3. Sacá factor común y anulá el paréntesis: «vale para todo (x, y); con y = 1 queda…». Si el factor que sacás es x, la EDO vale para x ≠ 0: resolvela en cada semirrecta y pegá en 0 por continuidad o derivabilidad.
4. La condición es sobre f, no sobre μ: f(P₀) = μ(x₀)·g(P₀). Calculá g(P₀) antes de despejar.
5. Suficiencia: con la μ hallada, P′_y = Q′_x en ℝ², simplemente conexo, o exhibí el potencial (que además es lo que piden después).
6. «Todas las funciones potenciales»: U + K, K ∈ ℝ, porque ℝ² es conexo.

φ(x) con la divergencia:

1. Regularidad: φ ∈ C¹ hace a f de clase C¹ en ℝ³.
2. Traducción con Gauss: el cubo o la bola es un sólido acotado con frontera cerrada suave a trozos y normal exterior, así que flujo = ∭ div f dV. Nulo para cualquier cubo o bola ⟺ div f = 0 en todo punto (si div f(P) ≠ 0, por continuidad conserva el signo en un cubito alrededor de P y ahí el flujo no es 0).
3. Divergencia, componente por componente: ∂(yφ(x))/∂y = φ(x), no φ′(x).
4. EDO lineal: factor integrante. Por ejemplo, el 28/6/25 (tema 2) da div f = φ′ − 1 − φ, o sea φ′ − φ = 1 y φ = K e^x − 1.
5. La condición: f(P₀) da φ en un punto (el 28/6/25, f(0, 1, 1) = (1 + φ(0), −1, −φ(0)) = (2, −1, −1) da φ(0) = 1, K = 2 y φ = 2e^x − 1). Controlá que las otras componentes sean compatibles.

EDO explícita (18/2/25): la condición inicial no está escrita como «α(0) = 0»: sale de que el extremo A = (0, 0) está sobre y = α(x). y′ + 2xy = 2x da y = 1 + C e^−x², C = −1, y el otro extremo es (2, 1 − e⁻⁴).

Tres ejercicios reales, resueltos

Trampas

Son los dos tipos que menos cayeron en el corpus: 8 ejercicios de integral de línea de campo escalar (tipo L: longitud de un arco, masa de un alambre, ∫_C f ds) y 3 de operadores (tipo U: hallar una función para que el campo sea solenoidal). Pero casi todo eso es reciente: 8 de los 17 exámenes del régimen actual traen uno de los dos, y en los cinco segundos parciales de primera fecha (28/6/25, los dos temas del 6/12/25 y los dos del 27/6/26) el Ej 5 fue un U o un L. Los dos son ejercicios cortos si sabés el procedimiento, y los dos se caen por una sola línea mal justificada.

Cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 11 ejercicios agrupados por lo que piden de verdad:

En L, lo que cambia la cuenta es cómo te dan la curva:

Y lo que nunca pidieron en los 8: centro de masa ni valor medio sobre una curva. Tampoco hubo una L en el plano con la curva dada como gráfico desde el arranque.

Los 4 U escondidos adentro de un Gauss (todos integradores de 2022) usan los operadores como herramienta, no como pregunta:

Preguntas que se repiten

Contado con un script sobre el texto normalizado (sin etiquetas, sin tildes, sin espacios; después con números y signos tapados y con x e y intercambiadas) y mirado a ojo:

Fijate el patrón: en los cuatro exámenes con dos temas, el tema 2 es el tema 1 con un número o una variable cambiada, y la respuesta sale igual: la misma, con el signo cambiado o con otra constante. Si sabés resolver uno, sabés el otro.

La teoría que se usa

Repaso operativo. La integral de línea de campo escalar está en la guía completa, sección 9 (TP VII); los operadores, las identidades y el teorema de Gauss, en la sección 12 (TP X); la EDO lineal de primer orden, en la sección 8 (TP VI). Las familias ortogonales, en la sección 9 de esta guía.

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas» y además «cada paso de integración debe resolverse indicando la primitiva y los límites correspondientes». En L eso es: una parametrización que se ve que es de C, el intervalo justificado y la regularidad. En U es: por qué la condición sobre los flujos equivale a div f ≡ 0, en las dos direcciones.

A · Longitud, masa o ∫_C f ds (los 8 L)

1. Parametrizá C. Si viene paramétrica, ya está. Si viene por dos ecuaciones, buscá la variable que despeja a las otras dos (sumar y restar ecuaciones suele alcanzar), o usá cos y sen si hay un cilindro circular. Escribí la verificación: reemplazá X(t) en las dos ecuaciones y mostrá que se cumplen.
2. El intervalo. Cada desigualdad del enunciado (x ≥ 0, primer octante, «contenido en la región D») se traduce reemplazando X(t) y resolviendo en t. Si son varias, el intervalo es la intersección. Escribí los extremos de C, X(a) y X(b), como control.
3. Regularidad. X de clase C¹, X′(t) ≠ 0 (casi siempre porque una componente es 1 o porque ‖X′‖ es constante positiva) e inyectiva en [a, b] (una componente es t, o el ángulo no da más de una vuelta).
4. La densidad o el integrando. Si es «proporcional a la distancia a…», escribí δ = k·d con la tabla de distancias y decí que k > 0 es la constante. Evaluá en X(t) y simplificá con el signo que tiene la coordenada sobre C (sobre el primer octante |x| = x).
5. La rapidez ‖X′(t)‖, con la regla de la cadena completa (el π de cos(πt), la componente z).
6. La integral de a a b con a < b, indicando la primitiva y los límites. Si hay sustitución, controlá la primitiva derivándola.
7. Control. Longitud y masa dan positivas. Una longitud es al menos la distancia entre los extremos. ∫ f ds tiene el signo de f sobre C.

B · Si la curva sale de una EDO (27/6/26, los dos temas)

1. EDO de la familia: derivá implícitamente respecto de x, y si queda la constante, eliminala.
2. EDO de las ortogonales: y′ → −1/y′. Resolvela (en los dos temas es de variables separables) y aclará en qué región dividís (x ≠ 0, y ≠ 0).
3. La que pasa por el punto dado. Control: su tangente es paralela a ∇F en ese punto.
4. El extremo incógnito (0, b) sale de pedir que esté sobre la curva.
5. Seguí con A: si la curva es un gráfico, X(x) = (x, g(x)) con x de menor a mayor.

C · Hallar φ para que el flujo por la frontera de toda bola o cubo sea nulo (los 3 U)

1. Regularidad: φ ∈ C¹(ℝ) ⇒ las componentes de f son C¹ en ℝ³.
2. Ida, con Gauss: cada bola (o cubo) cerrada es un sólido acotado con frontera cerrada suave (a trozos, el cubo) y f es C¹ en todo ℝ³: con normal exterior, flujo = ∭ div f dV. Si div f ≡ 0, el flujo es nulo en todas.
3. Vuelta, con continuidad: si div f(P₀) ≠ 0, como div f es continua conserva el signo en una bola (o cubo) chica centrada en P₀, y ahí el flujo sería ≠ 0. Entonces la condición ⇔ div f = 0 en todo ℝ³.
4. div f, componente por componente con la tabla de derivadas de arriba.
5. EDO lineal div f = 0, con factor integrante, hasta la solución general con su constante.
6. La condición puntual f(P) = v: reemplazá y mirá las tres componentes. Tienen que dar el mismo φ(0) o cumplirse solas; si se contradijeran, no habría φ.
7. Control con la φ final: div f = 0 y f(P) = v.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Todos los ejercicios de los exámenes reales que circularon de 2022 a julio de 2026, transcriptos textualmente y resueltos paso a paso, con cada cuenta verificada con sympy. Están agrupados por tipo, en el orden de las secciones de esta guía, y dentro de cada tipo del más nuevo al más viejo. La cabecera de cada uno dice el tipo, la fecha (con el tema, si hubo dos) y la posición en el examen.

Antes de abrir el banco: clasificá

Diez enunciados reales para entrenar el primer paso del examen, que es reconocer qué método pide cada ejercicio.

Cómo sacarle provecho

1. En papel y a libro cerrado, como el día del parcial. Si podés, de un tirón y con el cronómetro (el cronograma del 1C2026 daba de 9 a 12).
2. Unos minutos leyendo los cinco y anotando al lado de cada uno de qué tipo es y si es seguro, creo o ni idea. Al corregir se muestra el tipo de cada uno: fijate si lo clasificaste bien.
3. Tres cerrados antes de tocar el cuarto. Se aprueba con 3 de 5 bien resueltos, y cinco a medias desaprueba.
4. Corregite como corrige la cátedra. Si quedó a medias, con una cuenta mal, sin justificar una hipótesis o sin la respuesta escrita, marcalo como No me salió.
5. Mirá qué tipo fallaste, no sólo cuántos. Cada error te dice qué sección repasar y en qué bloque del banco hacer seis seguidos.

Los ejercicios y sus resoluciones salen del banco de la sección 11. En el parcial nuevo nunca salen dos del mismo examen y se evitan los de tus tres parciales anteriores. En el parcial real, "al azar" elige una fecha que todavía no corregiste, y cuando ya hiciste todas empieza otra vuelta. El resultado lo marcás vos, y tus últimos resultados quedan guardados sólo en este navegador.