Análisis Matemático II · Primer parcial

Esta guía no explica la teoría: eso está en la guía completa de Análisis II (secciones 2 a 7). Acá se mira qué toma la cátedra, se convierte cada tipo de ejercicio en un procedimiento que se ejecuta en media hora y se entrena contra los enunciados reales. Todo número de esta guía está contado sobre 54 exámenes reales del 1er parcial (parciales, diferidos, recuperatorios y un libre) de mayo de 2022 a julio de 2026, con sus 270 ejercicios transcriptos textualmente y resueltos.

Las reglas del 1er parcial del 2C2026

Los tipos de ejercicio y cuánto cae cada uno

Cada ejercicio real se clasificó por el método central que pide. Esta es la tabla que ordena la guía:

El polinomio de Taylor (tipo G) nunca aparece como ejercicio principal, pero viene adentro de muchos de extremos y de regla de la cadena: está en la sección 3. Los ejercicios con más de un tema cuentan por el tema central; el tipo D (plano tangente, gradiente, derivadas direccionales, aproximación lineal), además, aparece como paso de otro ejercicio 78 veces, en 48 exámenes.

El esqueleto por posición

Así se repartieron los tipos en cada posición. La columna que importa es la de la derecha: los 14 exámenes del régimen actual (2025 y 2026).

Cómo cambió de 2022 a 2026

Falta un examen en la suma: la hoja sin fecha que circuló en 2022 (rotulada «22-6»), que entra en los 54 pero en ninguna de las dos columnas.

La cátedra repite ejercicios

Esto es lo más útil que sale de mirar todos los exámenes juntos: los diferidos se reciclan. El diferido del 13/5/24 es idéntico (los cinco ejercicios) al del 15/5/23. El recuperatorio diferido del 3/6/24 repite, textuales o con una palabra cambiada, los Ej 1 a 4 del 5/6/23. El diferido del 21/10/24 copia los Ej 2 y 3 del 13/11/23 y usa las mismas funciones en el 1 y el 4, y el del 11/5/26 repite el Ej 4 y el Ej 5 del 21/10/24. Además, en las fechas con dos temas, el tema 2 suele ser el tema 1 con las variables intercambiadas o un signo cambiado. Por eso el banco real de la sección 10 no es sólo práctica: es la fuente de donde sale buena parte de lo que se toma.

Antes de escribir, en cada ejercicio

1. ¿Qué me piden al final? Leé la última oración primero: «halle el plano tangente», «decida si hay extremo», «calcule en forma aproximada». Eso dice el tipo, no los objetos del principio.
2. ¿Qué teorema voy a usar y qué hipótesis tengo que escribir? Función implícita: F de clase C¹ y la derivada respecto de la variable despejada no nula en el punto. Regla de la cadena: diferenciabilidad. Lagrange: restricción regular. Weierstrass: compacto y continuidad.
3. ¿Me falta una coordenada del punto? Muy seguido el enunciado da (x₀, y₀) y hay que sacar z₀ de la ecuación, a veces eligiendo entre dos raíces con una condición.
4. ¿El dato viene centrado? Un polinomio de Taylor o un plano tangente dado casi nunca viene escrito en potencias de (x − x₀): hay que reordenarlo antes de leer gradientes.
5. ¿Qué tengo que dejar escrito como respuesta? El problema cuenta si está la respuesta explícita: el plano, el punto, el tipo de extremo.

La estrategia de las tres horas

Es el ejercicio que hay que sacar sí o sí. Te dan una fórmula (un campo escalar f o un campo f de dos componentes) y te piden su dominio natural escrito con inecuaciones y dibujado, su clasificación topológica (abierto, cerrado, acotado, conexo, a veces compacto), su frontera y su interior en gráficos aparte y, cada vez más seguido, un conjunto de nivel. No hay que derivar nada: es TP I y TP III.1. Todo se resuelve con un procedimiento fijo, y los puntos se pierden por no justificar o por un borde mal decidido. La teoría larga está en la guía completa: topología en la sección 2, dominio y conjuntos de nivel en la sección 4.

Qué es y cuánto pesa

Por año: 8 de 13 exámenes en 2022, 12 de 14 en 2023, 8 de 12 en 2024, 6 de 7 en 2025 y 6 de 7 en 2026. En 2025 los 6 fueron Ej 1. En el régimen nuevo 13 de los 14 exámenes traen dominio o conjuntos de nivel (12 como ejercicio propio y el 24/2/26 adentro de un límite); el único sin nada del tema es el 16/12/25. Cuando aparece como parte de otro ejercicio, es para otra cosa: graficar D antes de buscar extremos absolutos en su frontera (13/12/22 y la hoja 22-6, sección 9) o graficar los niveles 0 y 1 para decidir un límite (23/10/23 y 24/2/26, sección 8).

Los subtipos que caen

Agrupados por lo que piden de verdad (cada ejercicio en un solo grupo):

Lo que piden adentro, contado sobre los 40 enunciados (un ejercicio pide varias cosas) y sobre los 12 de 2025 y 2026:

Y cómo salieron las respuestas sobre el dominio, para calibrar (no para adivinar: cada una se justifica igual):

Las formas de D que se repiten: en 9 de los 40 una recta (la del ln o la de una raíz) pasa por el centro de un disco o de una elipse y D es media cónica (22/10/22 temas 1 y 2, 11/11/23 temas 1 y 2, 1/6/24 temas 1 y 2, 2/7/24, 9/11/24, 15/7/25); en 10 hay que completar cuadrados para reconocer la cónica (22/10/22 ×2, 14/11/22, 13/5/23 ×2, 19/10/24 ×2, 10/5/25 ×2, 5/8/25); en 4 se sacan las diagonales x² = y² (11/6/22 ×2, 12/5/23, 10/2/26); y en 3 aparece xy > 0 o xy ≥ 0, que se queda con dos cuadrantes (19/10/24 ×2, 4/7/23).

Preguntas que se repiten

Contado con un script que compara los enunciados normalizados de a pares (y revisado a ojo):

Y una familia de funciones que vuelve: ln(lineal) / √(cónica) (11/11/23 ×2, 9/11/24, 15/7/25) y su versión campo (ln(lineal), √(cónica)) (22/10/22 ×2, 1/6/24 ×2). Con la raíz dividiendo, D es media cónica abierta; con la raíz como componente, media cónica con el arco incluido y el diámetro excluido.

La teoría que se usa

Condiciones de cada pieza. Detalle en la guía completa, sección 4, apartado 1. La columna "En el corpus" cuenta enunciados del tipo A.

Topología: qué es cada cosa y con qué se justifica en la hoja. Definiciones completas en la guía completa, sección 2. B(P, r) es la bola abierta de centro P y radio r.

Lectura rápida (para dibujar, no para justificar). Sólo estrictas y "≠": D abierto, su borde no entra. Sólo no estrictas: D cerrado. Mezcla: casi siempre ni una cosa ni la otra, con frontera propia (la que entra) y ajena (la que no). La excepción es que una condición estricta quede implicada por otra no estricta: en √(ln(u)), u ≥ 1 ya implica u > 0 y D es cerrado (14/7/26).

Conjuntos de nivel. N_k(f) = {X ∈ D : f(X) = k}. Detalle en la guía completa, sección 4, apartado 3.

El procedimiento infalible

A · Dominio y su topología (subtipos 1, 2 y 3, parte a). Lo que va entre comillas es lo que tiene que quedar escrito en la hoja.

1. Condiciones, una por pieza, con su porqué. "ln(y − x) exige y − x > 0." "La raíz divide: 4 − x² − y² ≥ 0 por la raíz y ≠ 0 por el cociente, o sea > 0." En un campo, "el dominio de f es la intersección de los dominios de sus componentes". Si una condición se factoriza (x(x − y²) > 0 el 21/10/23, x(y − 1) > 0 el 8/7/25), resolvé por casos de signo y escribí los dos casos.
2. D por comprensión. D = {(x, y) ∈ ℝ² : …, …}. Esto ya es "exprese analíticamente" o "describa mediante inecuaciones". Si una condición queda implicada por otra, decilo y sacala.
3. Reconocer cada curva de borde. Pasá cada condición a igualdad y nombrala con sus datos: "circunferencia de centro (1, 0) y radio 1", "elipse de semiejes 2 en x y 1 en y", "parábola de vértice (0, 0) que abre hacia abajo". Si hay términos lineales, completá cuadrados y mostrá la cuenta.
4. Cortes entre curvas, analíticos. Resolvé el sistema de cada par de curvas (reemplazá la recta o la parábola en la cónica). Esos puntos deciden el dibujo y casi siempre son los que no pertenecen. Escribí el valor exacto y, al lado, uno aproximado para ubicarlo.
5. Lado correcto con un punto de prueba que no esté sobre la curva: "(0, 1) cumple y > −x², la región es la de arriba".
6. Gráfico con código. D sombreado; borde que pertenece en trazo lleno; borde que no pertenece en trazo cortado; puntos sueltos que no pertenecen (cortes de un borde que entra con uno que no, puntos donde se anula un denominador) con un círculo vacío. Ejes con escala y los cortes rotulados. Si dice "por separado" o "en otro gráfico", un gráfico por conjunto.
7. Interior (si lo piden): int D sale de cambiar cada ≥ por > y dejar los "≠" (vale si cada g cambia de signo al cruzar su curva g = 0, y en los ejercicios del corpus siempre pasa). Justificación: "si P cumple todas con desigualdad estricta, por continuidad las cumple una bola alrededor de P; un punto con g = 0 no es interior porque arbitrariamente cerca hay puntos con g < 0". En gráfico aparte, todo el borde punteado.
8. Frontera (si la piden): los tramos de las curvas de borde que tocan a D, pertenezcan o no, más las curvas sacadas por un "≠" en la parte que atraviesa D. No son frontera los pedazos de curva lejos de D. Justificá un punto típico de cada tramo con dos puntos concretos (uno de D y uno de afuera) en toda bola. Decí qué parte de ∂D pertenece a D. En el gráfico de ∂D todo va en trazo lleno: el conjunto ∂D contiene todos esos puntos.
9. Clasificación, una línea y un testigo cada una.
   • Abierto, sí: "D es intersección de conjuntos {g > 0} (o {g ≠ 0}) con g continua, preimágenes de abiertos por funciones continuas: es abierto". No: "P ∈ D y P ∈ ∂D: toda bola centrada en P tiene puntos fuera de D".
   • Cerrado, sí: "D = {g₁ ≥ 0} ∩ {g₂ ≥ 0} con g continuas en ℝ²" o "∂D ⊂ D". No: "Q ∈ ∂D y Q ∉ D".
   • Acotado: "‖(x, y)‖ ≤ R en todo D", con R; si no, una sucesión de puntos de D que se va lejos.
   • Compacto: "cerrado y acotado (ℝⁿ)", y si no lo es, cuál falla.
   • Conexo, sí: "D es intersección de convexos, es convexo, el segmento entre dos puntos de D queda en D". Si no es convexo, mostrá un camino a una parte convexa (bajar en vertical, pasar por un punto común). No: "h continua en D, no se anula en D, h(P) > 0 y h(Q) < 0; una curva continua en D de P a Q haría que h se anule (Bolzano): absurdo".

B · Conjunto de nivel o subconjunto definido con f (subtipos 2 y 3, parte b).

1. Escribí la definición: "N₀ = {(x, y) ∈ D : f(x, y) = 0}". El "∈ D" es la mitad del ejercicio.
2. Despejá según la forma (tabla de arriba): un producto da dos piezas; un cociente se queda con el numerador; ln u = 0 da u = 1. Si hay una desigualdad (como f² < ln 5), despejá con cuidado al multiplicar por negativos y usá que ln es creciente.
3. Reconocé la curva o región que resulta (completando cuadrados si hace falta).
4. Cortala con D: resolvé el sistema con cada curva del borde de D. Para cada extremo, evaluá las condiciones de D exactas: si las cumple, punto lleno; si no, vacío. Sacá los puntos donde se anula un denominador.
5. Escribí el resultado como conjunto con sus restricciones ("{y = 1 − x², |x| ≤ …} ∪ {x² + y² = 4, y > …}") y dibujalo en otro gráfico.
6. Si te dan puntos para chequear (10/5/25): primero "¿está en D?", después "¿f vale k?". Un punto fuera de D no está en ningún nivel.
7. Si piden parametrizar el nivel o D ∩ ∂D (12/11/22, 14/11/22): x = t si es un gráfico, (centro + r cos t, centro + r sen t) si es una circunferencia, y el intervalo del parámetro heredado de D, abierto o cerrado según los extremos.

C · Niveles para un límite y conjuntos {h = 0}, {h > 0} (subtipo 4).

1. Para el límite (3/6/23): escribí cada f = k como una cónica sin el punto conflictivo. Si dos niveles distintos tienen puntos tan cerca del origen como se quiera, el límite tendría que valer los dos valores: no existe. Es el argumento de caminos de la sección 8 dicho con niveles.
2. Para {h = 0} y {h > 0} (5/6/23, 3/6/24): factorizá h, dibujá las curvas donde se anula y estudiá el signo por regiones con puntos de prueba. {h = 0} es cerrado y {h > 0} abierto por continuidad de h; la conexión, con caminos o con Bolzano como en A.

Tres ejercicios reales resueltos

Trampas

Te dan una f (o los datos de una f que no se conoce entera, a través de un polinomio de Taylor) y te piden sus puntos críticos y qué hay en cada uno: mínimo, máximo o silla. A veces con parámetros que hay que ajustar para que un punto dado sea crítico o extremo. Todo el ejercicio son dos sistemas: ∇f = 0 para encontrar, y el signo del determinante hessiano para clasificar.

Cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 42 ejercicios agrupados por lo que piden de verdad:

Dos patrones de toda la colección que conviene saber de antemano: en 9 de los 42 la respuesta final es que no hay ningún extremo (todo silla: 10/5/25, 19/10/24, 1/6/24 los dos temas de cada uno, 5/6/23, 3/6/24, 24/2/26), y en ningún punto que haya que clasificar el determinante hessiano da 0. Cuando un parámetro podía anularlo, el enunciado lo excluye: "valores no nulos" el 21/10/24 y el 11/5/26, "b ∈ ℝ − {0}" el 21/10/23. Si te da 0, revisá la cuenta antes de ponerte a estudiar el signo a mano.

Preguntas que se repiten

Y en 8 parciales con dos temas el tema 2 es el tema 1 con x e y intercambiadas (comprobado con sympy): 21/5/22 (además con −β en lugar de β), 22/10/22, 12/11/22, 13/5/23, 1/6/24, 19/10/24, 10/5/25 y 9/5/26. Son 16 de los 42 ejercicios: los puntos críticos salen con las coordenadas intercambiadas y la clasificación es la misma.

La teoría que se usa

Repaso operativo. La teoría larga (Taylor con resto, por qué funciona el criterio, tres variables, qué hacer cuando el hessiano no decide, extremos con parámetros y con datos) está en la guía completa, sección 7.

Taylor, lo único que hace falta: el polinomio de Taylor de orden k de f en A tiene el mismo valor y las mismas derivadas hasta el orden k que f en A. Leído al revés, p₂ te da f(A), ∇f(A) y Hf(A) sin conocer f; p₁ te da sólo f(A) y ∇f(A), y con eso no se clasifica nada.

Y cómo se arma Hf cuando f no se conoce entera (todo evaluado en A, con lo que dé p₂ o los datos):

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas». En este tipo lo que se justifica es por qué se puede usar cada condición: que el dominio es abierto y f es diferenciable (para buscar sólo donde ∇f = 0), que f es C² (para el criterio), y que el sistema se resolvió completo.

A · f dada: hallar y clasificar todos los críticos (18 de 42)

1. Dominio y regularidad. Escribí el dominio (ℝ², o x ≠ 0 si hay 4/x, o el D del enunciado) y que es abierto; f polinómica, exponencial por polinomio, cociente con denominador no nulo: C^∞ ahí. Con eso, "los extremos locales están entre los puntos con ∇f = 0".
2. Gradiente factorizado. Sacá factor común en cada derivada (y(1 + x)e^x+2y, 2y(x − 1), 3x(x − 2)). La exponencial no se anula nunca: decilo y sacala.
3. Sistema por casos. Cada factor de una ecuación es un caso; en cada caso, la otra ecuación. Nunca dividas por una variable. Si queda x³ = 1, decí que la única raíz real es 1.
4. Filtro de dominio. Si hay D, decí qué candidatos no están en D y que por eso no son puntos críticos de f.
5. Hessiana genérica H(x, y) y después evaluada en cada punto: Δ primero, f″_xx sólo si Δ > 0.
6. Respuesta por punto: tipo y valor (f en el punto). Silla es "no hay extremo". No digas "absoluto" salvo que lo pruebes.

B · Parámetros para que A sea crítico o extremo (12 de 42, y 6 más con Taylor)

1. Condición necesaria con su hipótesis: "f es diferenciable y A es interior; si hay extremo en A, ∇f(A) = 0".
2. Gradiente evaluado en A: un sistema en los parámetros. Resolvé las dos ecuaciones a la vez (el 9/11/24 cada una por separado da dos valores y sólo uno es común). Si una ecuación se anula sola (f′_y(1/2, 0) = 0 para todo a), decilo: ese parámetro lo decide el hessiano.
3. Hessiano en A para cada candidato (o con el parámetro libre). Separá los casos por el signo del determinante.
4. Respuesta: los valores que dan extremo, con tipo y valor, y los descartados con el porqué ("con a = −1 es silla"). Si el enunciado sigue ("encuentre todos los críticos"), es el procedimiento A con los parámetros ya fijos.

C · f no se conoce entera: Taylor o φ de una variable (12 de 42)

1. Qué da el polinomio: "como g es C², p₂ tiene en A el mismo valor y las mismas derivadas de 1er y 2do orden que g". Sin esta línea, usar p₂ no está justificado.
2. Datos de g en A: g(A) = p₂(A), ∇g(A) = ∇p₂(A) derivando y evaluando, Hg(A) = Hp₂. Si te piden encontrar A, A sale de ∇p₂(A) = 0.
3. Regularidad de f: suma, producto o composición de funciones C², así que f es C².
4. ∇f(A) y Hf(A) con la tabla de arriba (suma, producto, e^g, cadena con φ). Si hay parámetros, ∇f(A) = 0 los fija.
5. Criterio y respuesta: el valor es el de f en A, no el de g ni el de p₂.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Te dan una ecuación F = 0 (o dos), un punto, y te piden probar con el teorema de la función implícita que cerca de ese punto una variable es función de las otras, y después usar esa función: su gradiente, una derivada direccional, una aproximación lineal, un plano tangente, o meterla en una composición. La cuenta es corta y siempre la misma (−F′_x/F′_z); lo que separa un ejercicio que cuenta de uno que no es escribir las tres hipótesis con números y saber cuál es la variable despejada.

Cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 44 ejercicios, agrupados por lo que piden después de la existencia:

Contando todo, 24 de los 44 piden una derivada direccional (de la implícita o de algo armado con ella): 10 la nula, 10 la máxima y 4 la mínima. Y lo que cambia la cuenta, más que el subtipo, es cómo viene la ecuación:

Cómo cambió: en 2025 y 2026, 8 de los 10 terminan en una derivada direccional (6 de la implícita sola y 2 de una función armada con ella), la aproximación lineal de la implícita sola no volvió a aparecer después del 19/10/24 (el 10/2/26 pide una, pero de una composición, y quedó en la sección 5) y de las 17 composiciones sólo 2 son del régimen nuevo (7/7/26 y 14/7/26). El esqueleto de los parciales de primera fecha de 2025 y 2026 es siempre AHFED: la implícita va tercera.

Preguntas que se repiten

Y en los 11 exámenes con dos temas que traen el tipo (21/5/22, 11/6/22, 22/10/22, 13/12/22, 13/5/23, 3/6/23, 11/11/23, 1/6/24, 19/10/24, 10/5/25 y 9/5/26), el tema 2 es el tema 1 con dos variables intercambiadas o un signo cambiado, y la respuesta se intercambia igual: en el 10/5/25 ∇f(0, 1) = (−1/2, −2) en un tema y ∇f(1, 0) = (−2, −1/2) en el otro.

La teoría que se usa

Repaso operativo. El enunciado del teorema y la derivación implícita están en la guía completa, sección 6; la derivada direccional y la diferenciabilidad, en la sección 4 de la guía completa. La regla de la cadena en detalle está en la sección 5 de esta guía, y el plano tangente en la 6.

Esa línea es de dónde sale la fórmula, y explica la hipótesis (3): F′_z(P) es el número por el que dividís. Todas las derivadas de F se evalúan en el punto de ℝ³ (con la coordenada despejada incluida); el gradiente de f vive en el plano de las variables independientes y se nombra con ese par: ∇g(y₀, z₀), no ∇g(x₀, y₀, z₀).

Lo que se hace después con la función, sabiendo que f es C¹, entonces diferenciable (esa frase es la que habilita todo lo que sigue):

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas. No se aceptarán cálculos dispersos, poco claros o sin comentarios.» y se aprueban con tres ejercicios bien resueltos. En este tipo, "justificado" quiere decir: el punto verificado, las tres hipótesis con su número, la conclusión del teorema escrita, y la diferenciabilidad dicha antes de usar el gradiente. La plantilla, que podés copiar tal cual cambiando las letras:

A · Una ecuación: existencia, gradiente y su uso (25 de 44: derivada direccional 13, aproximación 10, plano tangente 2)

1. Pasá todo a un miembro y leé quién se despeja. F = lado izquierdo − lado derecho. "Define x = g(y, z)" quiere decir que la despejada es x: anotá P = (x₀, y₀, z₀) y aparte el punto de g, (y₀, z₀). Si el enunciado da el punto "en un entorno de (1, 0)", ese par es el de las independientes.
2. Completá el punto si falta una coordenada. Resolvé F(x₀, y₀, t) = 0 como ecuación en una variable. Si pide "un único", demostrá la unicidad: es lineal, o es estrictamente monótona (derivada positiva), o factoriza con un factor sin ceros reales como z² + 1. Si hay varias raíces, escribilas todas y descartá con la condición del enunciado (z₀ > 0, g(0) ≠ 0).
3. Hipótesis (1): F(P) = 0 con la cuenta a la vista.
4. Hipótesis (2): F de clase C¹ en un entorno de P. Si hay ln, cociente o raíz, nombrá el abierto donde es C¹ y mostrá que P está adentro con el número.
5. Hipótesis (3): la derivada de F respecto de la variable despejada, evaluada en P, distinta de cero. Con el número.
6. Conclusión escrita: existe un entorno, la función es única, de clase C¹, vale z₀ en el punto y cumple la identidad. Es lo que te pidieron probar; no lo dejes implícito.
7. Derivadas: las otras dos parciales de F en P y las fórmulas −F′/F′. Con paréntesis cuando hay negativos.
8. Diferenciabilidad: "f es C¹, en particular diferenciable en (x₀, y₀)". Recién ahí: aproximación, ∇f·v̌, máximo ‖∇f‖, versores perpendiculares o plano tangente.
9. Control: versor de norma 1, ∇f·v̌ = 0 en los versores nulos, el plano pasa por P y su normal es paralela a ∇F(P), los incrementos con su signo.

B · La implícita dentro de una composición (17 de 44)

1. Ubicá dónde cae la composición: calculá g(a) y verificá que da el (u₀, v₀) donde f está definida. Si te piden aproximar h en un punto "raro" como (2.01, 0.97), primero buscá el punto cercano a con g(a) = (u₀, v₀) (5/6/23 y 3/6/24).
2. w₀ = f(u₀, v₀) de la ecuación. Ese número es también h(a): lo vas a necesitar para el plano tangente o la aproximación.
3. TFI para f, aunque el enunciado diga "Se sabe que define…" (12 de los 17 lo dicen): sin F′_w(P) ≠ 0 no podés despejar f′_u de F′_u + F′_w f′_u = 0. Si te piden "Demuestre", van las tres hipótesis completas.
4. ∇f(u₀, v₀) con −F′_u/F′_w y −F′_v/F′_w.
5. Hipótesis de la regla de la cadena: g diferenciable en a (polinómica), f diferenciable en g(a) (es C¹). Entonces h es diferenciable en a y ∇h(a) = ∇f(g(a))·Dg(a), con Dg evaluada en a.
6. Cerrá con lo pedido: el plano z = h(a) + ∇h(a)·(X − a) en (a, h(a)), la normal a la curva de nivel h = c (que es ∇h, no ∇f), o la derivada direccional. Si h = x³ + z f(x, z), la regla del producto deja un f(a) suelto: reemplazalo por su valor.

C · Sistemas de dos ecuaciones (2 de 44)

1. Identificá las dos variables despejadas (las que el enunciado escribe como funciones) y las independientes.
2. Verificá las dos ecuaciones en P y que F y G son C¹.
3. Jacobiano respecto de las despejadas: det [[F′_u, F′_v], [G′_u, G′_v]] en P, distinto de cero. Conclusión del teorema para sistemas.
4. Derivá las dos identidades respecto de la variable independiente pedida, con la regla de la cadena: un término como vx da v′_x·x + v.
5. Reemplazá P y resolvé el sistema lineal 2×2. Control: reemplazá la solución en las dos ecuaciones.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Te dan una composición h = f ∘ g donde una de las dos funciones no tiene fórmula: de f sólo sabés su valor y su gradiente en un punto, escondidos en un plano tangente, una aproximación lineal o un polinomio de Taylor. Con la regla de la cadena sacás ∇h y con eso contestás lo que pidan: un plano tangente, una aproximación, una derivada direccional. La variante que más se cobra es la cadena al revés: el dato es de h y la pregunta es sobre f, así que hay que despejar ∇f de un sistema.

Cuánto pesa

Sumando las dos cosas, la regla de la cadena se usa en algún ejercicio de 50 de los 54 exámenes: sólo se salvaron los dos temas del 22/10/22 y los dos del 1/6/24. Es el tipo que más rinde practicar.

Los subtipos que caen

Los 41 ejercicios agrupados por lo que piden de verdad:

Lo que cambia la cuenta, más que el subtipo, es cómo te dan la función que no tiene fórmula:

Preguntas que se repiten

Y en las 8 fechas con dos temas que traen este tipo (21/5/22, 12/11/22, 13/5/23, 3/6/23, 11/11/23, 19/10/24, 10/5/25, 9/5/26), el tema 2 es el tema 1 con las variables o las componentes permutadas, o con un signo cambiado: el procedimiento es idéntico y la respuesta cambia de la misma manera.

La teoría que se usa

Repaso operativo; la teoría larga de composición y regla de la cadena está en la guía completa, sección 6. Gradiente, derivada direccional máxima, aproximación lineal y plano tangente, en la sección 5; diferenciabilidad y "C¹ implica diferenciable", en la 4.

La hipótesis es diferenciabilidad, no "existen las derivadas parciales". En la práctica la justificás así: f es C¹ (lo dice el enunciado: "de clase C¹", "con derivadas parciales continuas en todo punto", o C², C³) y g está hecha de polinomios, exponenciales, senos y cosenos, que son C¹. La misma frase justifica después que h tiene plano tangente, aproximación lineal y derivadas direccionales ∇h·v̌.

La jacobiana Dg tiene una fila por componente de g y una columna por variable. El gradiente de la de afuera es una fila y va a la izquierda.

Leer los datos: el valor y el gradiente de la función sin fórmula

Por qué vale leer así un Taylor de orden 2: el polinomio de Taylor de f en P coincide con f en P y tiene sus mismas derivadas primeras (y segundas) en P. Entonces f(P) = p(P) y ∇f(P) = ∇p(P), pero en P, no en el origen.

Qué hacés con ∇h(A)

La cadena al revés

Con g : ℝ² → ℝ² el sistema es 2×2 y tiene solución única si det Dg(A) ≠ 0: en los 6 casos del corpus lo es (−8, −8, −8, 2, 2 y 4). Con f : ℝ³ → ℝ hay dos ecuaciones y tres incógnitas: por eso el enunciado siempre regala una componente de ∇f (13/5/23 los dos temas, 16/12/25). Si no la usás, el sistema queda indeterminado.

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas». En este tipo se justifica dónde se evalúa cada cosa (el punto imagen), de dónde salen el valor y el gradiente de la función sin fórmula, y por qué vale la regla de la cadena (diferenciabilidad de las dos).

A · De f a h: plano tangente, aproximación, direccionales, normal a un nivel (29 de 41)

1. El punto imagen. Calculá B = g(A) y comprobá que es el punto donde conocés f: "g(3, −1) = (2, 1) ✓". Si te piden aproximar h en un punto Q sin decir alrededor de dónde, buscá A: resolvé g(x, y) = B y quedate con la solución cercana a Q.
2. Los datos de f en B con la tabla de arriba: el valor evaluando y el gradiente según cómo venga. Entonces h(A) = f(B).
3. Hipótesis, una línea: f es C¹ (o C², C³), luego diferenciable en B; g es C¹ por ser polinómica (o exponencial, etc.); entonces h es diferenciable en A y vale la regla de la cadena.
4. Dg(A): derivá cada componente respecto de cada variable y evaluá en A (no en B). Ojo con la cadena interna: e^x+3y derivada respecto de y lleva un 3.
5. ∇h(A) = ∇f(B)·Dg(A), fila por matriz. Control de tamaños: el resultado tiene tantas componentes como variables tiene h.
6. La respuesta con la fórmula que corresponda (tabla "Qué hacés con ∇h"). En un nivel, decí que ∇h ≠ 0; en una direccional, que v̌ es versor; en una aproximación, escribí Δx y Δy con su signo.
7. Control: el punto (A, h(A)) cumple la ecuación del plano; la estimación está cerca de h(A).

B · Cadena al revés: de h a f (9 de 41)

1. El punto imagen: B = g(A) tiene que ser el punto donde te preguntan por f. Si no coincide, revisá cuál es el A del dato.
2. ∇h(A) del dato: plano tangente o Taylor de h (con la misma tabla), o dado, o armado con condiciones (12/5/23: ‖∇h‖ = √13, ∇h ⊥ (−4, 6) y componentes positivas fijan ∇h = (3, 2)). Si piden un plano de f, sacá también f(B) = h(A).
3. Hipótesis: f diferenciable en B (el enunciado dice C¹) y g diferenciable en A ⇒ vale ∇h(A) = ∇f(B)·Dg(A).
4. El sistema: ∇f(B) = (a, b) (o (a, b, c)), multiplicá (a, b)·Dg(A) e igualá componente a componente. Con 2×2, escribí det Dg(A) ≠ 0: es lo que dice que la solución es única. Con tres incógnitas, usá la componente dada.
5. Control: reemplazá ∇f(B) y recalculá ∇h(A).
6. La respuesta, sobre f y en B: máxima ‖∇f(B)‖ en ∇f/‖∇f‖, mínima −‖∇f(B)‖, plano z = f(B) + ∇f(B)·(X − B) o, si f tiene tres variables, plano tangente a su nivel ∇f(B)·(X − B) = 0.

C · Superficie paramétrica dada como composición (3 de 41)

1. El punto: primero g(A), después P = F(g(A)).
2. Las dos jacobianas: Dg en A (3×2) y DF en g(A) (3×3). Hipótesis: las dos polinómicas, diferenciables.
3. DX(A) = DF(g(A))·Dg(A): la primera columna es X_u y la segunda X_v.
4. Normal N = X_u × X_v y la frase "N ≠ 0, P es punto regular de Σ": sin eso no está garantizado el plano.
5. Plano N·(X − P) = 0 y control con P. Si las dos son polinomios, componer a mano y derivar es un buen control (así lo hace la resolución del 9/11/24).

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Te dan una superficie (casi siempre paramétrica, a veces de nivel o un gráfico) o una función con datos sueltos, y todo lo que piden sale de un vector normal en un punto: la recta normal y dónde corta a algo, el plano tangente, los puntos donde ese plano es paralelo a otro, o el gradiente armado con derivadas direccionales. El ejercicio es conseguir bien una normal N, justificar que existe, y traducir la pregunta a una condición sobre N.

Cuánto pesa

Lo que este tipo aporta adentro de otros ejercicios (contado una vez por ejercicio, por lo que piden al final):

Lo que sigue (procedimientos, normales, trampas) es entonces lo que usás también en las secciones 4, 5 y 7.

Los subtipos que caen

Los 38 ejercicios agrupados por lo que piden de verdad:

Y lo que cambia la cuenta, más que el subtipo, es de dónde sale la normal (un ejercicio puede necesitar dos):

El corrimiento de régimen es claro: de los 10 del régimen nuevo, 6 son recta normal y 3 plano tangente paralelo; los de Taylor como dato y los de ∇f con datos sueltos son casi todos de 2022 a 2024 (y ahora aparecen adentro de los ejercicios de las secciones 4 y 5).

Preguntas que se repiten

Y en 10 fechas con dos temas los dos traen este tipo, y el tema 2 es el mismo ejercicio con dos variables intercambiadas (21/5/22, 22/10/22, 12/11/22, 13/5/23, 3/6/23, 10/5/25, 9/5/26), con un signo cambiado (11/6/22, 1/6/24) o con otros números (13/12/22). El método es idéntico, y en los intercambiados la respuesta sale intercambiando las mismas coordenadas.

La teoría que se usa

Repaso operativo. La teoría larga (gradiente, derivada direccional, aproximación lineal, plano tangente al gráfico, a una superficie de nivel y a una paramétrica) está en la guía completa, sección 5; que el gradiente es perpendicular a los conjuntos de nivel sale de la regla de la cadena (guía completa, secciones 5 y 6), y que una superficie de nivel con ∇F ≠ 0 es regular, del teorema de la función implícita (sección 6). Diferenciable ⇒ f′(A, v̌) = ∇f(A)·v̌ está en la sección 4.

Por qué ∇F es normal: si γ(t) es cualquier curva dentro de Σ con γ(t₀) = A, F(γ(t)) = k para todo t, y la regla de la cadena da ∇F(A)·γ′(t₀) = 0. Lo mismo con X(u, v): f(X(u, v)) = k da ∇f(A)·X_u = ∇f(A)·X_v = 0, así que ∇f(A) ∥ X_u × X_v (es lo que usa el 11/6/22).

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas». En este tipo, lo que se justifica es que el punto está en la superficie (con su (u₀, v₀) si es paramétrica), que la normal existe y no es nula y de dónde sale cada condición.

A · Recta normal, sola o cortada con algo (15 de 38)

1. Completá el punto. Si falta una coordenada (A = (1, y₀, 1)), sacala de la ecuación de Σ y usá las condiciones del enunciado para descartar (y > 0, x₀ < 0). Si es "el nivel que pasa por A", primero k = F(A).
2. Si Σ es paramétrica, el (u₀, v₀). Resolvé X(u, v) = A con dos coordenadas y verificá con la tercera: en 9/5/26, 10/2/26 y 8/7/25 aparece un candidato que cumple dos y falla la tercera. Si hay dominio (1 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ π), decí que (u₀, v₀) está adentro.
3. Hipótesis y normal. "X es C¹ (polinómica)" o "F es C¹"; N con su cuenta y N ≠ 0, que es lo que dice que A es regular y que la recta normal existe. Simplificá N por un factor común.
4. Recta: X = A + tN, t ∈ ℝ. Control: N·X_u = N·X_v = 0.
5. El corte. Si el otro objeto es el plano tangente a otra superficie, armalo con su propia justificación (punto en la superficie, C¹, normal no nula). Con un plano: N·n ≠ 0 justifica que hay un único punto; reemplazá y despejá t. Con una curva: otro parámetro, y si el sistema es incompatible la respuesta es "no se cortan". Con la misma superficie: factorizá t.
6. Control final: el punto cumple la ecuación del otro objeto.

B · Puntos donde el plano tangente es paralelo u ortogonal a algo (11 de 38)

1. La normal de referencia n: la del plano dado, la de la otra superficie en su punto (con su justificación completa: (u, v) del punto, N ≠ 0 o ∇F ≠ 0), la dirección de la recta, o T = ∇F₁ × ∇F₂ si es un plano normal a una curva.
2. N genérico en (u, v) (o ∇F en (x, y, z), o 2P en una esfera).
3. Regularidad en toda Σ: mostrá que N no se anula nunca ("la tercera componente es −3"; "con u, v > 0, N ≠ 0"; "el origen no está en la esfera").
4. Traducí la condición con la tabla: paralelo es N = λn con λ libre; ortogonal a una recta, N = λd. Escribí el sistema con λ.
5. Resolvé y descartá lo que no sirve diciendo por qué: λ = 0 (N = 0 no define plano, o (u, v) fuera del dominio). En una esfera son dos puntos.
6. Punto y plano: P = X(u, v) y N(P)·(X − P) = 0. Control: si el enunciado dice "paralelo", chequeá que no coincide con el plano de referencia (otro término independiente).

C · ∇f con datos sueltos o con Taylor (10 de 38)

1. Diferenciabilidad: "f es C¹ (o C²), entonces es diferenciable en A". Es lo que habilita f′(A, v̌) = ∇f(A)·v̌ y la aproximación lineal; sin esa línea, la cuenta no vale.
2. La dirección de ∇f, si te la dan de costado: ⟂ a la tangente de la curva de nivel (∇f = λ·(normal de la recta)); ∥ al versor de la derivada direccional máxima; ∥ X_u × X_v si una paramétrica es un conjunto de nivel de f.
3. El módulo o el λ, de la derivada direccional dada: λ·(n·v̌) = valor; o ‖∇f(A)‖ = máxima. λ puede salir negativo.
4. Con Taylor: f(A) = p(A) y ∇f(A) = ∇p(A), evaluando. Si piden el plano de una h armada con f (h = xf + 3x), regla del producto.
5. Lo pedido: plano tangente al gráfico z = f(A) + ∇f(A)·(x − x₀, y − y₀); recta tangente a la curva de nivel con director ⟂ ∇f(A); recta normal a la curva de nivel con director ∇f(A); aproximación lineal L(X) = f(A) + ∇f(A)·(X − A), con f(A) = nivel.
6. Control: ∇f cumple todos los datos (la direccional da el valor, es ⟂ a la tangente) y L(A) = f(A).

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Te dan una curva C, casi siempre como intersección de dos superficies, y te piden algo que sale de su vector tangente en un punto: la recta tangente, el plano normal, dónde la tangente es paralela a un plano, dónde corta a un plano, o una derivada direccional en esa dirección. Todo el ejercicio es conseguir bien un vector T y traducir la pregunta a una condición sobre T.

Cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 32 ejercicios agrupados por lo que piden de verdad:

Y lo que cambia la cuenta, más que el subtipo, es cómo te dan la curva:

Además: en 7 ejercicios el punto viene con coordenadas incógnitas, (x₀, 1, z₀) o (1, y₀, z₀), y hay que completarlo; en 4 una superficie es "el conjunto de nivel que contiene a P" y hay que calcular la constante; en 6 hay que encontrar el (u, v) de un punto en una parametrización.

Preguntas que se repiten

Y en las 6 fechas con dos temas que traen este tipo, el tema 2 es el tema 1 apenas cambiado: con dos variables intercambiadas en los recuperatorios del 13/12/22, 12/11/22, 11/6/22, 11/11/23 y 1/6/24, y con los signos de y y de z cambiados en el parcial del 19/10/24. La respuesta sale haciendo el mismo cambio. Si te sale un tema, sabés el otro.

La teoría que se usa

Repaso operativo; la teoría larga de curvas (parametrización, regularidad, recta tangente, plano normal) está en la guía completa, sección 3, y la curva intersección con ∇F × ∇G y el teorema de la función implícita para sistemas, en la sección 6. El plano tangente a una superficie paramétrica, en la sección 5 de la guía completa y en la 6 de esta.

Por qué funciona el producto vectorial: C está contenida en las dos superficies, así que su tangente está en los dos planos tangentes y es perpendicular a las dos normales. Si las normales no son paralelas, el único vector (salvo múltiplos) perpendicular a ambas es su producto vectorial. Si fueran paralelas, las superficies serían tangentes en P y no hay garantía de curva: por eso el T ≠ 0 es una hipótesis, no un detalle.

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas». En este tipo, lo que se justifica es que el punto está en la curva, que la curva es regular ahí (o sea, que el T que usás existe y no es nulo) y de dónde sale cada condición.

A · Recta tangente o plano normal en un punto (12 de 32)

1. Completá y verificá el punto. Cada coordenada que falte sale de las dos ecuaciones a la vez; si quedan varios candidatos, descartá con las condiciones del enunciado (signos, dominio). Escribí la verificación con números: "1 + 4 + 1 = 6 ✓". Si una superficie es "el conjunto de nivel de F que contiene a P", primero k = F(P).
2. Elegí el camino. Si las dos ecuaciones despejan dos variables en función de la tercera, o hay un cilindro circular, parametrizá: es una derivada y listo. Si no, gradientes. Si hay una paramétrica, mirá si se pasa a cartesianas de un vistazo; si no, buscá (u₀, v₀) con X(u₀, v₀) = P.
3. Hipótesis. Funciones de clase C¹ (polinomios, exponenciales, logaritmo donde el argumento es positivo). Con gradientes: ∇F(P) y ∇G(P) no paralelos, que se ve en el paso siguiente porque T ≠ 0. Con parametrización: g(t₀) = P y g′(t₀) ≠ 0. Con paramétrica: (u₀, v₀) dentro del dominio y X_u × X_v ≠ 0.
4. T. Producto vectorial (o derivada) y control: T·∇F(P) = T·∇G(P) = 0. Simplificá T dividiendo por un factor común: sólo importa la dirección.
5. Respuesta. Recta P + λT, λ ∈ ℝ, o plano T·(X − P) = 0 desarrollado. Control: P cumple la ecuación del plano.

B · Puntos donde la tangente es paralela a algo (8 de 32)

1. T genérico: ∇F × ∇G con x, y, z libres, o g′(t) de una parametrización.
2. Regularidad en toda la curva: mostrá que T no se anula sobre C (por ejemplo, "T = 0 pediría x = z = 0, imposible con x² + z² = 2"). Sin esto, un punto con T = 0 cumpliría cualquier condición de perpendicularidad de pura casualidad.
3. Traducí la condición con la tabla de arriba: paralela a un plano es T·n = 0; paralela a un eje son dos componentes nulas.
4. Sistema: la condición más las dos ecuaciones de C. Sacá todas las soluciones (las raíces ±, los cuatro cuadrantes).
5. Control: en cada punto, T ≠ 0 y cumple la condición. Si el punto está en el plano dado, decí que la recta queda contenida en él (pasó el 24/10/22).

C · Corte de la recta tangente con un plano (7 de 32)

1. Recta tangente como en A.
2. Si el plano es tangente a otra superficie, armalo con su propia justificación: el punto está en esa superficie, la función es C¹ y ∇H(Q) ≠ 0 (o X_u × X_v ≠ 0 en el (u, v) de Q).
3. T·n: si da distinto de cero, la recta corta al plano en un único punto. Eso contesta el "halle todos los puntos".
4. Reemplazá P + λT en la ecuación del plano, despejá λ y sacá las tres coordenadas con ese λ.
5. Control: el punto cumple la ecuación del plano.

D · Derivada direccional en la dirección tangente (3 de 32)

1. T como en A.
2. Sentido: el que pide el enunciado (por ejemplo "de coordenada x negativa"), o los dos si dice "los versores".
3. Normalizá: v̌ = T/‖T‖.
4. Diferenciabilidad de f en P (polinomio ⇒ C¹ ⇒ diferenciable): es lo que habilita f′(P, v̌) = ∇f(P)·v̌.
5. Cuenta. Cambiar de sentido cambia el signo.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Te dan una función partida, casi siempre una fracción para (x, y) ≠ (0, 0) y 0 en el origen, y te piden estudiarla en el punto donde se parte: si es continua, si existen las parciales o las derivadas direccionales, en qué versores se anula la direccional, si es diferenciable. Las fórmulas de derivación no sirven en ese punto: todo sale por definición, con un límite. El ejercicio es aplicar cuatro definiciones en orden y escribir en cada paso por qué la conclusión se sigue.

Cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 20 ejercicios agrupados por lo que piden de verdad:

Mirado ítem por ítem, sobre los 20:

Y cómo viene la función: en 16 está partida en el origen ((x, y) ≠ (0, 0) contra (0, 0)) y en 4 está partida por una recta: x²/y si y ≠ 0 (12/12/23 y 3/6/24), y/x² si x ≠ 0 (15/7/25) y (x² + y²)/(2x) si x ≠ 0 (24/2/26). En estas cuatro, la segunda rama vale sobre toda la recta, no sólo en el origen, y eso cambia las cuentas (trampa 5).

Preguntas que se repiten

Y hay una familia que se recicla: el clásico xy/(x² + y²) con coeficientes cambiados (xy/(2x² + y²) el 29/2/24, 2xy/(x² + 2y²) el 10/12/24, 2xy/(x² + y⁴) el 7/7/26), o con un seno adelante (sen(xy)/(2x² + 3y²) el 24/10/22, sen(3xy)/(x² + 2y²) el 11/5/24). Las cinco son discontinuas por rectas.

La teoría que se usa

Repaso operativo; la teoría larga (definiciones, por qué funcionan, los contraejemplos clásicos) está en la guía completa, sección 4 (su apartado 15 es el procedimiento completo de la función partida en el origen). La fórmula f′(A, v̌) = ∇f(A)·v̌ con f diferenciable, que acá casi nunca se puede usar, es la que se usa en las secciones 6 y 7 de esta guía.

Las implicaciones y sus contrarrecíprocos. Son las que convierten un resultado en otro sin hacer cuentas, y la vuelta de ninguna vale: la cátedra elige las funciones justamente para mostrarlo.

Herramientas para el límite.

El olfato, antes de demostrar. Para f = P/Q con P y Q polinomios homogéneos y Q que se anula sólo en el origen, f(tv̌) = t^{p − q} f(v̌), con p y q los grados. Contá sen u como si fuera u. Esto te dice qué vas a probar; la prueba es la de las tablas de arriba.

Las 4 partidas por una recta no entran en esta tabla: el denominador se anula en toda la recta, y ahí hay que mirar curvas tangentes a ella (la parábola y = x² para y/x² y para x²/y; la circunferencia de nivel 1 para (x² + y²)/(2x)).

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas». En este tipo, lo que se justifica es qué rama de f se usa en cada punto, qué definición estás aplicando (escrita con el límite) y qué teorema te deja pasar de un resultado a otro.

Paso 0 · Leer la función (medio minuto, en todos los subtipos)

1. Dónde se parte y cuánto vale ahí. ¿La rama de abajo vale sólo en (0, 0) o en toda una recta (y = 0, x = 0)? Anotá f(0, 0).
2. Grados, con la tabla del olfato: te dice si vas a acotar (continua) o buscar caminos (no continua), y si la diferenciabilidad se va a decidir por continuidad, por una parcial o por la linealidad.
3. ¿Hay una raíz o un valor absoluto? Entonces f(ta, tb) va a tener |t|, y los límites laterales en t pueden diferir.

A · Continuidad o límite en el origen (14 de 20)

1. Escribí la definición: "f es continua en (0, 0) si y sólo si lím_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = f(0, 0) = 0".
2. Si esperás que no: dos caminos que lleguen al origen con límites distintos. Primero rectas y = mx; si todas dan lo mismo, curvas (igualando los grados del denominador) o un conjunto de nivel. Cada camino, con x ≠ 0 (o la condición que asegure qué rama vale) y su límite calculado. Conclusión escrita: "dos caminos dan límites distintos, el límite doble no existe y f no es continua en (0, 0)".
3. Si esperás que sí: acotación hasta 0 ≤ |f(x, y) − 0| ≤ g(ρ), con cada desigualdad justificada (|x| ≤ ρ, el cociente ≤ 1, |sen u| ≤ |u|), y "g(ρ) → 0, por intercalación el límite es 0 = f(0, 0)". En polares, la cota tiene que ser independiente de θ y hay que decirlo.

B · Parciales en el origen, en todo punto y su continuidad (11 de 20 piden parciales)

1. En el origen, por definición. Escribí el límite del cociente incremental y decí qué vale f(h, 0) para h ≠ 0 (en las partidas por una recta, mirá si (h, 0) cae sobre la recta). Nunca derives la fórmula y reemplaces (0, 0): esa fórmula no vale en el origen.
2. Fuera del origen (si piden "en todo punto"): "si (x₀, y₀) ≠ (0, 0), en un entorno que no contiene al origen f es cociente de funciones C¹ con denominador no nulo", y después la regla del cociente.
3. ¿Son continuas en el origen? Si ya sabés que f no es continua (o no es diferenciable): "si f′_x y f′_y fueran continuas en (0, 0), como existen en un entorno, f sería diferenciable y por lo tanto continua: absurdo". Eso prueba que no son las dos continuas. Si preguntan por cada una, calculá el límite de su fórmula: por ejemplo, sobre un eje.

C · Derivadas direccionales y versores con derivada nula (7 de 20 calculan la direccional genérica)

1. Planteo: v̌ = (a, b) con a² + b² = 1 y f′((0, 0), v̌) = lím_t→0 [f(ta, tb) − f(0, 0)]/t.
2. Qué rama vale en (ta, tb) con t ≠ 0. Partida en el origen: la de arriba, siempre. Partida por y = 0: depende de b, así que separás b ≠ 0 y b = 0.
3. Límite en t, sacando t de factor común. Con un seno: sen(tb)/t = b·sen(tb)/(tb) → b si b ≠ 0, y el caso b = 0 aparte. Si queda |t|/t, los laterales dan ±1: no existe salvo que el coeficiente sea 0.
4. Resultado como fórmula en (a, b), con la frase "existe para todo versor" si es el caso. Las parciales salen de (1, 0) y (0, 1).
5. Versores con f′ = 0: resolvé la fórmula igual a 0 junto con a² + b² = 1, sin olvidar los casos separados en el paso 2.

D · Diferenciabilidad: el algoritmo en orden (7 de 20)

1. ¿Es continua? Si no: "diferenciable ⇒ continua; por el contrarrecíproco, no es diferenciable". Terminaste.
2. ¿Existen las dos parciales? Si falta una: "si f fuera diferenciable existirían todas las derivadas direccionales, en particular las parciales". Terminaste.
3. Test de linealidad. Si tenés (o podés sacar) f′((0, 0), v̌) para v̌ genérico, comparala con f′_x(0, 0)·a + f′_y(0, 0)·b. Si difieren en un versor concreto (dalo con números, por ejemplo (√2/2, √2/2)), no es diferenciable. Terminaste.
4. El resto. Si pasó todo, planteá lím [f(x, y) − f(0, 0) − f′_x(0, 0)x − f′_y(0, 0)y]/√(x² + y²), con las parciales que calculaste (no 0 por costumbre: el 22/10/22 son 1 y −1/2). Si da 0 por acotación, es diferenciable; si un camino da otra cosa, no lo es.

E · Conjunto de nivel y límite (2 de 20, más 2 como parte de un ejercicio de la sección 2)

1. Los niveles se calculan como en la sección 2, sacando los puntos donde vale la otra rama (el origen nunca está en un nivel k ≠ f(0, 0)).
2. Si dos niveles distintos (o un nivel k ≠ f(0, 0)) tienen puntos tan cerca del origen como quieras, cada uno es un camino donde f es constante: el límite no existe. Escribí la curva parametrizada y que tiende al origen.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Te dan una función y un conjunto cerrado y acotado (un disco, una región entre una parábola y el eje x, su frontera, un arco de curva en el plano o en el espacio) y te piden los valores máximo y mínimo absolutos y los puntos donde se alcanzan. Ningún enunciado del corpus nombra a Lagrange: el método es libre. Lo que separa un ejercicio que cuenta de uno que no es justificar que los extremos existen (Weierstrass), no perder ningún candidato (críticos del interior, críticos de cada tramo del borde y las puntas) y comparar valores al final.

Cuánto pesa

Los subtipos que caen

Los 13 ejercicios, agrupados por qué conjunto te dan, que es lo que decide la lista de candidatos:

Mirado por rasgos, sobre los 13:

Preguntas que se repiten

Ningún enunciado se repitió textual en otra fecha: las repeticiones son los dos temas de un mismo examen, que en este tipo son siempre el mismo ejercicio con las variables intercambiadas o un número cambiado. Lo que sí se recicla entre fechas es la consigna y el conjunto.

La teoría que se usa

Repaso operativo. La teoría larga (el porqué de Lagrange, la figura de la cúspide donde ∇g = 0, los ejemplos del TP) está en la guía completa, sección 7, apartados 12 a 15. Los extremos libres, con hessiano, son la sección 3 de esta guía.

Cómo se justifica cada pieza de «compacto».

Lagrange o parametrizar. En el corpus decide la forma del tramo:

Distancias (no salieron en el corpus, están en el TP V): minimizá d² = ‖X − P‖², que tiene los extremos en los mismos puntos que d y no tiene raíces; la restricción es «X está en la curva o la superficie». Si el conjunto no es compacto (una parábola, un plano), Weierstrass no se aplica: justificá que d² → ∞ lejos, y que por eso el mínimo existe. Ver la guía completa, sección 7, apartado 15.

El procedimiento infalible

Los exámenes dicen «Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas». En este tipo se justifica por qué existen los extremos, por qué cada candidato entra o sale de la lista (está en el interior o no, está en el tramo o no, ∇g no se anula) y la comparación final.

Paso 0 · Leer y dibujar el conjunto (en los 13)

1. Qué te piden recorrer. «En D», «en el disco»: la región entera, con interior. «Sobre la frontera de D»: sólo el borde. «Arco de curva», «evaluada en puntos de la curva»: sólo la curva.
2. Partí el borde en tramos y marcá las puntas: las esquinas donde cambia la fórmula (las (±1, 0) del semidisco) y los extremos del arco que fija la desigualdad (y ≥ 0, z ≤ 1, −2 ≤ x ≤ −1).
3. Si viene de un dominio natural, armalo primero como en la sección 2 y simplificá f dentro de D: (√y)² = y vale porque en D es y ≥ 0.

A · Región con interior (4 de 13)

1. Existencia: «f es continua (polinómica) en D; D es cerrado (definido con ≤) y acotado (está dentro de …): por Weierstrass, f alcanza máximo y mínimo absolutos en D».
2. Interior: resolvé ∇f = 0 y, para cada solución, verificá con la desigualdad estricta que está en el interior ((−3/2 + 1)² + 0² = 1/4 < 4). Las que caen afuera se descartan con una frase. Evaluá f; no hace falta clasificar con el hessiano.
3. Borde: cada tramo como en B.
4. Tabla de candidatos con su valor: el mayor es el máximo absoluto y el menor el mínimo. Nombrá todos los puntos donde se alcanza cada uno.

B · Frontera de una región o arco plano (6 de 13, más el borde de los 4 de A)

1. Existencia: el arco con sus puntas (o la frontera) es cerrado y acotado, f continua: Weierstrass.
2. Tramo que se despeja (y = 0, y = 1 − x², y = x² + 2x): φ(x) = f(x, y(x)) con x en el intervalo cerrado del tramo; φ′(x) = 0 en el intervalo abierto. Las soluciones fuera del intervalo se descartan (en el 11/11/23, x = 0).
3. Tramo de circunferencia, con Lagrange: escribí g, calculá ∇g y decí dónde se anula («sólo en el centro, que no está en la circunferencia»): con eso vale el teorema. Planteá ∇f = λ∇g, g = 0. Al resolver, nunca dividas sin el caso cero: 2y = 2λy da y = 0 o λ = 1, y hay que seguir las dos ramas. Quedate con las soluciones que están en el tramo (y > 0 en el arco superior).
4. Tramo de circunferencia, por sustitución: y² = r² − x² con x ∈ [−r, r], escrito. Las puntas x = ±r entran como extremos del intervalo.
5. Puntas y esquinas, a mano: ni Lagrange ni φ′ = 0 las ven. Evaluá f en cada una.
6. Si piden sólo la frontera, escribí que no se buscan críticos interiores.
7. Comparación, con la tabla. Un candidato de Lagrange que no es el mayor ni el menor no es extremo absoluto (el (0, 1) del 12/12/23).

C · Arco de curva en ℝ³ (3 de 13)

1. Parametrizá: despejá dos coordenadas en función de la tercera (en los 3 del corpus se puede: de x = y² + 1 y x − z − 1 = 0 sale z = y²). Comprobá que r(t) cumple las dos ecuaciones.
2. Intervalo: la desigualdad del enunciado, escrita en t (z ≤ 1 ⇔ t² ≤ 1 ⇔ t ∈ [−1, 1]). Decí que r es continua y recorre todo C, así que C = r([−1, 1]) es compacto y vale Weierstrass.
3. φ(t) = f(r(t)): críticos en el intervalo abierto y las dos puntas. Si f = e^u, como la exponencial es estrictamente creciente, f es máxima o mínima donde lo es u: estudiá u, que es un polinomio.
4. Si preferís Lagrange (o para controlar): dos multiplicadores, con ∇g₁ × ∇g₂ ≠ 0 verificado sobre la curva. Las puntas se agregan aparte.

Tres ejercicios reales, paso a paso

Trampas

Todos los ejercicios de los exámenes reales que circularon de 2022 a julio de 2026, transcriptos textualmente y resueltos paso a paso, con cada cuenta verificada con sympy. Están agrupados por tipo, en el orden de las secciones de esta guía, y dentro de cada tipo del más nuevo al más viejo. La cabecera de cada uno dice el tipo, la fecha (con el tema, si hubo dos) y la posición en el examen.

Antes de abrir el banco: clasificá

Diez enunciados reales para entrenar el primer paso del examen, que es reconocer qué método pide cada ejercicio.

Cómo sacarle provecho

1. En papel y a libro cerrado, como el día del parcial. Si podés, de un tirón y con el cronómetro (el cronograma del 1C2026 daba de 9 a 12).
2. Unos minutos leyendo los cinco y anotando al lado de cada uno de qué tipo es y si es seguro, creo o ni idea. Al corregir se muestra el tipo de cada uno: fijate si lo clasificaste bien.
3. Tres cerrados antes de tocar el cuarto. Se aprueba con 3 de 5 bien resueltos, y cinco a medias desaprueba.
4. Corregite como corrige la cátedra. Si quedó a medias, con una cuenta mal, sin justificar una hipótesis o sin la respuesta escrita, marcalo como No me salió.
5. Mirá qué tipo fallaste, no sólo cuántos. Cada error te dice qué sección repasar y en qué bloque del banco hacer seis seguidos.

Los ejercicios y sus resoluciones salen del banco de la sección 10. En el parcial nuevo nunca salen dos del mismo examen y se evitan los de tus tres parciales anteriores. En el parcial real, "al azar" elige una fecha que todavía no corregiste, y cuando ya hiciste todas empieza otra vuelta. El resultado lo marcás vos, y tus últimos resultados quedan guardados sólo en este navegador.