Álgebra Lineal · Segundo parcial

FIUBA · Álgebra II (61.08 / 81.02), Álgebra Lineal (CB002) · Cátedra Palacios · Guía de examen para el segundo parcial (en el curso 5, el miércoles 2 de diciembre de 2026, de 9 a 12): unidad 4 completa, construida sobre 14 segundos parciales reales (10 del régimen actual) con sus 50 ejercicios transcriptos y resueltos, más un simulacro calibrado por frecuencia

1 Qué entra, qué se sabe y de dónde sale

Esta guía no explica la materia: la madre (Álgebra Lineal · Guía completa de la materia) ya tiene la unidad 4 entera con sus demostraciones y los 18 ejercicios de la Guía 4 resueltos. Acá se hace otra cosa: se recorta al segundo parcial (en el curso 5, el 2/12/2026), se lo mide contra los exámenes que se consiguieron, y se entrena la ejecución rápida de los moldes que efectivamente aparecen.

Lo primero, para que sepas exactamente qué estás leyendo

La guía madre se apoya en 43 parciales reales de esta cátedra, y los 43 son primeros parciales o recuperatorios del primero: 21 que la guía reunió primero y 22 más que sumó la compilación de 43 primeros parciales que la cátedra publicó en el campus el 14/9/2026. Por eso ahí dice, con razón, que no se puede predecir el formato del segundo. Esta guía cambia ese diagnóstico, porque después se consiguieron 14 segundos parciales más: 10 del régimen actual (2024–2025) y 4 del régimen anterior (2016–2018).

Pero no salieron del campus ni de material que la cátedra publique. Son fotos de exámenes reales que compartieron estudiantes en repositorios públicos, con los casilleros de Apellido / Legajo / Curso y los datos personales tachados, junto con la resolución manuscrita de un ayudante. En 10 de los 14 la fecha viene impresa por la cátedra en el propio enunciado; en 4 la foto está recortada arriba y la fecha sale del nombre del archivo (26/06/24, el tercer turno del 4/XII/24, el 07/07/25 y el 16/VI/2018 del régimen viejo). En la sección 9 está el detalle examen por examen, con la confiabilidad de cada uno.

1.1 · El régimen del curso 5 (Palacios), 2C2026

Estas son las reglas que el curso 5 publicó en su campus para el 2C2026. Álgebra Lineal (CB002) se dicta en varios cursos y cada uno fija sus fechas y sus pautas: otros cursos pueden tener otras, así que confirmá las del tuyo. Los ejercicios reales y los moldes de esta guía te sirven para practicar igual, y cuando más adelante se hable del 2/12, de las 4 carillas o del 3 de 5, se habla de ese curso.

Qué	Cómo es
Composición	5 problemas, todo desarrollo. Ningún múltiple choice.
Aprobación	3 problemas resueltos correctamente. No se promedia: o el problema está cerrado o no cuenta.
Duración	3 horas (9:00 a 12:00), en el curso de inscripción. No hay fechas diferidas.
Permitido	Resumen manuscrito de máximo 4 carillas, hecho a mano por vos, sin ejercicios resueltos ni fotocopias. Calculadora sí.
Prohibido	Celulares y relojes inteligentes. Si se comprueba el uso, sumario académico.
La cláusula que decide	Todo procedimiento o resultado teórico no visto en clase hay que justificarlo teóricamente para que sea considerado, con posible interrogatorio oral.

3 sobre 5 en 3 horas: 36 minutos por problema y una única estrategia sensata

Tres bien y dos en blanco aprueba; cinco a medias reprueba. Los primeros cinco minutos se gastan leyendo los cinco enunciados y decidiendo cuáles tres cerrás completos. Y en este parcial esa decisión es más fácil que en el primero, porque los moldes se repiten: si reconocés "diagonalización con parámetro", "construir la simétrica" y "ajuste por cuadrados mínimos", ya tenés tus tres candidatos en 8 de cada 10 exámenes reales.

1.2 · Las fechas del curso 5, contadas hacia atrás desde el 2/12

Instancia	Fecha	Qué implica
Segundo parcial	Miércoles 2 de diciembre de 2026, 9 a 12	Seis semanas después del primero (21/10). Es la última clase útil del cuatrimestre.
1.º recuperatorio	Miércoles 16 de diciembre de 2026	Sólo dos semanas después. Recuperás uno de los dos parciales, no los dos.
2.º recuperatorio	Miércoles 17 de febrero de 2027	Dos meses de verano en el medio, sin tocar el tema.
3.º recuperatorio	Miércoles 24 de febrero de 2027	Última bala.
Evaluación libre	Miércoles 3 de marzo de 2027	Una sola por cuatrimestre.

Plan de seis semanas, del 21/10 al 2/12 (fechas del curso 5; si las tuyas son otras, corré el plan)

Semana 1 (21–28/10) · Autovalores, autovectores, polinomio característico, m(λ) contra μ(λ) y el criterio de diagonalizabilidad. Ejercicios 4.1 a 4.3 de la Guía 4 y adicionales 1 a 8. Cerrás la semana pudiendo hacer cualquier "hallar a tal que A diagonaliza" en menos de 20 minutos. Sección 3 de acá.
Semana 2 (28/10–4/11) · Ecuaciones matriciales p(A) = B, espectros de polinomios en A, potencias A^kx₀. Guía 4.4, 4.5, 4.8 y adicionales 9 a 12. Secciones 4 y 6.
Semana 3 (4–11/11) · Teorema espectral, matrices ortogonales y el ejercicio de construir la simétrica. Guía 4.6, 4.7, 4.9 y 4.10 entero. Sección 5. Es la semana más rentable de las seis: 9 de los 10 parciales tienen un ejercicio de acá.
Semana 4 (11–18/11) · DVS: construcción de U, Σ y V, los cuatro subespacios, imagen de la esfera. Guía 4.11, 4.12, 4.14, 4.16, 4.17, 4.18. Sección 8.
Semana 5 (18–25/11) · Seudoinversa y cuadrados mínimos, incluido el ajuste de recta y parábola que la Guía 4 no trae y que cae en 4 de los 10 exámenes. Guía 4.13, 4.15 y el capítulo 3 del apunte oficial. Sección 8.
Semana 6 (25/11–2/12) · Simulacro cronometrado de la sección 10, en 3 horas y sin mirar nada, y escritura definitiva de las 4 carillas (sección 2). Repaso de las trampas de cada sección. No aprendas temas nuevos esta semana.

1.3 · El temario, y qué peso tiene cada tema en los exámenes reales

Conté los 50 ejercicios de los 10 segundos parciales del régimen actual (2024–2025), asignándole a cada uno un único molde. Es la única estadística de esta guía y es chica: 10 exámenes, no 100. Tomala como orden de prioridades, no como pronóstico.

Molde de ejercicio	Veces en 50	En cuántos de los 10 exámenes	Sección
Construir una matriz simétrica a partir de condiciones (espectral al revés)	9	9 de 10	5
Hallar a ∈ ℝ tal que A es diagonalizable	7	7 de 10	3
Hallar A^†, la seudoinversa de Moore-Penrose	5	5 de 10	8
Ajustar datos por cuadrados mínimos (recta o parábola)	4	4 de 10	8
Ecuación matricial p(A) = B, hallar A ∈ ℝ^2×2	4	4 de 10	4
Potencias A^kx₀ ("la partícula que recibe impactos")	4	4 de 10	6
Hallar una DVS de una matriz dada, o hallar A a partir de datos de su DVS	4	4 de 10	8
Cuadrados mínimos generales (todas las soluciones, o la de norma mínima)	3	3 de 10	8
Imagen de la esfera unitaria o máx_‖x‖=1‖Ax‖	3	3 de 10	8
lím_k→∞ A^kx	2	2 de 10	6
Comprobar que U es ortogonal y caracterizar la isometría	2	2 de 10	7
σ(p(A)) a partir de datos del espectro	2	2 de 10	4
Diagonalizar sin parámetro (hallar P y Λ)	1	1 de 10	3

Lo que más manda no es el tema: es la posición

Ejercicio 1: en 8 de los 10 es diagonalización (7 con parámetro, 1 sin). Los otros dos son un ajuste por cuadrados mínimos y una ecuación matricial.
Ejercicio 5: en 10 de los 10 es DVS, seudoinversa, cuadrados mínimos o imagen de la esfera. Sin ninguna excepción.
Los del medio (2, 3, 4): ahí viven la simétrica, la partícula, la ecuación matricial y la DVS.

Traducido a estrategia: el examen empieza en autovalores y termina en valores singulares. Si sabés hacer el 1 y el 5 y encima podés construir la simétrica, tenés tus tres.

Tres cosas que NO aparecen en ninguno de los 10 parciales del régimen actual

1 · Formas cuadráticas escritas como q(x) = x^TAx con pedido de clasificarlas. Cero apariciones. Aparecen en el régimen viejo (2017, 2018) y el apunte oficial les dedica el capítulo 5 entero, pero en los diez recientes no están. Lo que sí está, disfrazado, es Rayleigh: máx_‖x‖=1‖Ax‖ es exactamente eso.
2 · Ecuaciones diferenciales. Cero apariciones en los 10 segundos parciales. En cambio aparecen en 4 de los 43 primeros parciales de la guía madre (y en ninguno de los 35 fechados desde 2023). Es decir: en esta cátedra las ecuaciones diferenciales caen en el primer parcial, no en el segundo. Igual van en la sección 6 en versión corta, porque cuestan quince minutos y el apunte oficial las cubre.
3 · Cónicas y cuádricas con término lineal (rotación más traslación de ejes). Cero. Sólo aparecen en el parcial mutilado de 1996, con un programa que ya no es este.

1.4 · Qué se arrastra de las unidades 1 a 3

El parcial es de la unidad 4, pero la unidad 4 usa las anteriores todo el tiempo y esos pasos también hay que saber hacerlos rápido. Lo que efectivamente aparece dentro de los ejercicios reales:

De dónde viene	Qué se usa	Dónde aparece
Unidad 1	Resolver sistemas homogéneos, rango, nul y col, dimensión	En cada cálculo de autoespacio. Literalmente en los 50.
Unidad 2	Matriz de una transformación en base canónica; matriz de una proyección ortogonal	31/VII/24 ej 4 (proyección sobre un plano); todos los "T(x) = Ax"
Unidad 3	Producto interno canónico, norma, ortogonalidad, Gram-Schmidt, P_S = I − P_S⊥	Todo el ejercicio de la simétrica y toda la construcción de la DVS
Unidad 3	Ecuaciones normales A^TAx = A^Tb	Los cuatro ajustes de recta y parábola

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2 Las 4 carillas para este parcial

En el curso 5 el resumen es manuscrito, de hasta 4 carillas, sin ejercicios resueltos y sin fotocopias. La tentación es llenarlo de fórmulas. Es un error: las fórmulas cortas las reconstruís en el papel. Lo que no se reconstruye bajo presión son los enunciados largos que hay que citar textualmente para justificar, y los algoritmos con orden fijo donde saltarte un paso invalida el resultado.

La regla que define qué va y qué no

"Todo procedimiento o resultado teórico que no haya sido visto en clase y que sea utilizado en la resolución del parcial deberá ser justificado teóricamente para que sea considerado. De ser necesario, se realizará un interrogatorio oral."

Entonces el criterio es uno solo: ¿esto lo voy a citar o lo voy a usar? Lo que citás va textual (teorema espectral, criterio de diagonalizabilidad, caracterización de ortogonales, Rayleigh). Lo que usás va como esqueleto de dos renglones. Y escribilo una semana antes, no la noche anterior: escribirlo es el repaso.

2.1 · Carilla 1 · Autovalores y diagonalización

Qué escribís	Por qué
Las 8 definiciones con el vocabulario exacto de la Guía 4: autovalor, autovector, σ(A), S_λ = nul(A − λI), μ(λ) = dim S_λ, χ_A(x) = det(A − xI), m(λ), semejanza	Es el vocabulario del enunciado. Y esa convención de signo es la de la cátedra: para n impar el coeficiente principal de χ sale −1.
Criterio de diagonalizabilidad, las 4 equivalencias, y abajo la versión práctica: "χ_A factoriza completamente en ℝ y m(λ) = μ(λ) para cada λ"	Es el enunciado que citás en el ejercicio 1 de 8 de cada 10 exámenes.
1 ≤ μ(λ) ≤ m(λ) · μ(λ) = n − rango(A − λI) · n autovalores distintos ⟹ diagonaliza	Las tres líneas que convierten el criterio en una cuenta de rangos.
tr(A) = Σλ_i · det(A) = Πλ_i · A inversible ⟺ 0 ∉ σ(A)	Motor de todos los "hallar A tal que…".
Si Av = λv entonces p(A)v = p(λ)v; y si A diagonaliza, σ(p(A)) = p(σ(A)) exactamente	Resuelve los σ(p(A)) y las ecuaciones matriciales enteras.
Qué conserva la semejanza: χ, σ, m, μ, tr, det, rango. Qué no: autovectores, simetría, ortogonalidad	Seis palabras. Aparece en las preguntas de justificar.

2.2 · Carilla 2 · Simétricas, ortogonales y el teorema espectral

Qué escribís	Por qué
Teorema espectral completo, los 5 puntos, más la recíproca. Y la línea final: A simétrica ⟺ ℝⁿ tiene b.o.n. de autovectores de A ⟺ A = UΛU^T con U ortogonal	Es el teorema del parcial. Se cita en 9 de los 10 exámenes.
Las 8 caracterizaciones de matriz ortogonal, con la de isometría (‖Ux‖ = ‖x‖) subrayada	La citás para justificar que un cambio de variable no cambia la norma, que es el paso central de la DVS.
Descomposición espectral: A = Σ_λ λ·P_{S_λ} · P_gen{v} = vv^T/‖v‖² · P_{plano de normal n} = I − nn^T/‖n‖² · P_S⊥ = I − P_S	Cuatro renglones que construyen la matriz simétrica del ejercicio de 9 de 10. Sin esto, ese ejercicio se hace resolviendo sistemas a mano.
El chequeo: si dos autovectores dados no son ortogonales, son del mismo autovalor	Sin esa observación, tres de los nueve ejercicios de simétrica no arrancan.
Gram-Schmidt sólo dentro de un autoespacio, nunca entre autoespacios distintos	Es la trampa que hace que U deje de diagonalizar.

2.3 · Carilla 3 · DVS y seudoinversa

Qué escribís	Por qué
Los 7 pasos de la construcción, en orden: (1) autovalores de A^TA de mayor a menor · (2) b.o.n. {v_i} de autovectores · (3) σ_i = √λ_i · (4) u_i = Av_i/σ_i para i ≤ r · (5) completar a b.o.n. de ℝ^m con nul(A^T) · (6) armar U, Σ, V · (7) A = UΣV^T	Algoritmo de orden fijo. Saltearse "de mayor a menor" invalida la DVS.
Tamaños: A ∈ ℝ^m×n ⟹ U ∈ ℝ^m×m, Σ ∈ ℝ^m×n, V ∈ ℝ^n×n. Y "diagonalizá la más chica entre A^TA y AA^T"	Ahorra la mitad de la cuenta, y el error de tamaño es el más común.
Tabla de los cuatro subespacios: fil(A) = v_1..r, nul(A) = v_r+1..n, col(A) = u_1..r, nul(A^T) = u_r+1..m, con sus proyecciones V_rV_r^T y U_rU_r^T	Es media resolución de cualquier ejercicio de cuadrados mínimos.
A^† = V_rD⁻¹U_r^T = Σ(1/σ_i)v_iu_i^T · A^†A = P_fil · AA^† = P_col · *x = A^†b es la solución por c.m. de norma mínima** · todas: x* + nul(A)	Cinco renglones que resuelven el ejercicio 5 de 10 de cada 10 exámenes.
Reconocer una DVS ya hecha: A = Σ c_ia_ib_i^T ⟹ σ_i = c_i‖a_i‖‖b_i‖, previa verificación de que {a_i} y {b_i} sean ortogonales	Aparece en cinco parciales reales (los ejercicios 5 del 27/VI/24 9hs, del 26/06/24 y de los tres turnos del 4/XII/24). Y en uno de ellos los vectores no son ortogonales: hay que darse cuenta y decirlo.
Tabla de la imagen de la esfera por rango: r = n = m = 2 → elipse (el borde) · r = n = m = 3 → elipsoide · r < n → elipse o elipsoide lleno · r = 1 → segmento de extremos ±σ₁u₁	Es la respuesta literal de tres parciales reales y es puro recuerdo.

2.4 · Carilla 4 · Cuadrados mínimos, Rayleigh y ajuste de datos

Qué escribís	Por qué
Ecuaciones normales A^TAx = A^Tb, y "si rango(A) = n entonces x̂ = (A^TA)⁻¹A^Tb = A^†b, única"	Los cuatro ajustes de recta y parábola salen con esto y nada más.
El armado de la matriz de diseño: recta y = mx + b ⟹ columnas [x_i \| 1]; parábola y = ax² + bx + c ⟹ columnas [x_i² \| x_i \| 1]. La incógnita son los coeficientes, no los datos	Es el paso donde se pierde el ejercicio, y no está en la Guía 4: está en el capítulo 3 del apunte oficial.
Cuándo no sirve (A^TA)⁻¹A^T: si nul(A) ≠ {0}. Ahí hay infinitas soluciones y hay que ir por la seudoinversa	Distingue los dos tipos de ejercicio de cuadrados mínimos que toman.
Rayleigh: con ‖x‖ = 1 y A simétrica, λ_mín ≤ x^TAx ≤ λ_máx, alcanzados en los autovectores unitarios. Y su consecuencia: máx_‖x‖=1‖Ax‖ = σ₁ (en ±v₁) y mín = σ_n (en ±v_n)	Es lo que piden tres exámenes, escrito con otras palabras. Y es la única forma de acotar x^TMx.
Clasificación de formas cuadráticas por los signos de σ(A), en cinco renglones	Barato de escribir. No cae en los 10 recientes; sí en el régimen viejo.
Sistemas X′ = AX con A diagonalizable: X(t) = Σ C_ie^λ_itv_i	Un renglón. Muy poco probable en este parcial, pero cuesta un renglón.

Lo que NO debe ocupar lugar en las 4 carillas

Las demostraciones escritas palabra por palabra. Ocupan carillas enteras y no las vas a copiar. Anotá el esqueleto: "espectral: ⟨Av,v⟩ por los dos lados ⟹ λ real; λ⟨v,w⟩ = μ⟨v,w⟩ ⟹ ortogonales", y reconstruí en el papel.
Matrices de ejemplo. Es lo más parecido a "ejercicios resueltos" y por eso mismo es lo primero que te pueden objetar.
Las tablas de datos de los ajustes. Los números del examen van a ser otros.
Cómo se resuelve un sistema lineal. Eso ya lo sabés; si no, el resumen no te salva.

Un truco de organización que rinde

Titulá cada bloque por lo que te pide el enunciado, no por el tema teórico: "me piden hallar a para que diagonalice", "me piden una simétrica con estas condiciones", "me piden A^†". En el examen no vas a buscar "teorema espectral": vas a buscar "¿cuál era la fórmula de la proyección sobre el plano?". Ordenar el resumen por pregunta te ahorra treinta segundos cada vez que lo mirás.

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3 El ejercicio 1: diagonalización con parámetro

De los 10 segundos parciales del régimen actual, 8 abren con diagonalización, y 7 de esos ocho traen un parámetro a y piden lo mismo: "hallar todos los a ∈ ℝ tales que A es diagonalizable" (dos de esos siete lo dicen con una vuelta de más: el 26/06/24 agrega "y tiene un autovalor doble" y el 4/XII/24 14hs pide además P y Λ). Es el ejercicio más previsible del examen y el más barato de automatizar.

El molde, que es siempre el mismo

Te dan A ∈ ℝ^3×3 con un parámetro a que aparece en dos lugares distintos: dentro de un autovalor (típicamente como a², a²−5a, a²−1) y en una entrada suelta que controla el rango de A − λI. La matriz está armada para que el determinante salga factorizado casi solo: siempre hay una fila o una columna con dos ceros.

Y la respuesta casi nunca es un valor: es un complemento. "Diagonalizable ⟺ a ≠ 2 y a ≠ 3", "⟺ a ≠ ±1", "⟺ a ≠ ±√6". Si te da un único valor, releé: probablemente el enunciado pide además que tenga un autovalor doble, y ahí sí la respuesta es un valor.

3.1 · El procedimiento, en cinco pasos y sin pensar

χ_A(x) = det(A − xI), desarrollando por la fila o columna con más ceros. Nunca hagas Sarrus con un parámetro adentro: te comés un término. En los 7 casos reales el desarrollo por cofactores da el polinomio ya factorizado.
Listá los autovalores. Vas a tener dos números fijos y una expresión en a, o un número fijo repetido y una expresión.
Casos. Igualá la expresión en a a cada número fijo: cada igualdad es un caso "hay autovalor múltiple". Todo lo que no cae en ningún caso es "tres autovalores distintos ⟹ diagonaliza, sin más cuentas". Esa mitad también hay que escribirla.
En cada caso de autovalor múltiple, calculá el rango de A − λI con el valor de a ya sustituido. μ(λ) = 3 − rango. Comparalo con m(λ).
Escribí la respuesta como una condición sobre a y justificá citando el criterio: "diagonalizable ⟺ χ factoriza completamente en ℝ y m(λ) = μ(λ) para todo λ".

El paso 4 es el ejercicio entero, y ahí el parámetro te tiende la trampa

Sustituí primero el valor de a y después calculá el rango. Al revés te perdés la cancelación. El caso testigo es el 26/06/2024 ej 1, que es literalmente el 4.2 de la Guía 4: A = [[−2,0,0],[4,9,a+3],[5,0,a²]], con autovalores −2, 9 y a². Hay autovalor doble si a = ±3, y en los dos casos el doble es 9. Pero:
▸ a = 3: A − 9I = [[−11,0,0],[4,0,6],[5,0,0]] tiene rango 2 ⟹ μ(9) = 1 ≠ 2. No diagonaliza.
▸ a = −3: la entrada a+3 se anula, A − 9I = [[−11,0,0],[4,0,0],[5,0,0]] tiene rango 1 ⟹ μ(9) = 2. Diagonaliza.
La respuesta es a = −3, y es el único. Si calculás el rango "en general" antes de sustituir, te llevás los dos.

3.2 · Los siete enunciados reales, uno al lado del otro

Fecha	Matriz	χ_A(x)	Respuesta
27/VI/24 14hs	[[1,−1,0],[0,a²,0],[0,−1,1]]	−(x−1)²(x−a²)	a ≠ 1 y a ≠ −1
26/06/24	[[−2,0,0],[4,9,a+3],[5,0,a²]]	−(x+2)(x−9)(x−a²)	a = −3 (pide además autovalor doble)
10/VII/24 (R)	[[−6,6,0],[0,a²−5a,0],[0,6,−6]]	−(x+6)²(x−a²+5a)	a ≠ 2 y a ≠ 3
31/VII/24 (R)	[[5,−6,0],[0,a²−1,0],[0,−6,5]]	−(x−5)²(x−a²+1)	a ≠ √6 y a ≠ −√6
4/XII/24 14hs	[[3,a,0],[0,3,0],[2,−4,1]]	−(x−3)²(x−1)	a = 0 (el parámetro no está en χ)
4/XII/24 17hs	[[1,0,0],[a,1,a],[0,1,a]]	−x(x−1)(x−1−a)	a ≠ −1
4/XII/24 3.^er turno	[[1,a,0],[0,a,0],[0,0,−1]]	−(x−1)(x+1)(x−a)	a ≠ 1

La estructura que se repite en tres de los siete

Mirá las matrices del 27/VI, el 10/VII y el 31/VII: son la misma matriz con los números cambiados. Todas tienen la forma [[c, d, 0],[0, f(a), 0],[0, d, c]], con la segunda columna llevándose todo el parámetro. En las tres:
▸ χ = −(x − c)²(x − f(a)), con c siempre doble.
▸ A − cI tiene sus tres filas proporcionales a [0,1,0], así que rango(A − cI) = 1 y μ(c) = 2 para cualquier a. Eso no falla nunca.
▸ Entonces lo único que puede romper la diagonalización es que f(a) = c, porque ahí m(c) sube a 3 mientras μ(c) sigue en 2.

Respuesta de las tres: los a tales que f(a) ≠ c. Es un renglón de cuenta. 27/VI: a² ≠ 1 ⟹ a ≠ ±1. 10/VII: a²−5a ≠ −6 ⟹ a ≠ 2, 3. 31/VII: a²−1 ≠ 5 ⟹ a ≠ ±√6.

Los dos casos que rompen el molde y hay que reconocer

4/XII/24 14hs: el parámetro no aparece en el polinomio característico. χ = −(x−3)²(x−1) sin importar a, porque a está en la posición (1,2) de una matriz triangular por bloques. El parámetro juega sólo en el rango: A − 3I = [[0,a,0],[0,0,0],[2,−4,−2]] tiene rango 2 si a ≠ 0 y rango 1 si a = 0. Respuesta: a = 0. ▸ Ese examen además pide P y Λ: con a = 0, S₃ = {x : 2x₁ − 4x₂ − 2x₃ = 0} = gen{[1,0,1]^T, [0,1,−2]^T} y S₁ = gen{[0,0,1]^T}, así que P = [[1,0,0],[0,1,0],[1,−2,1]] y Λ = diag(3,3,1).

4/XII/24 17hs: el autovalor múltiple depende de qué valor toma a. Si a = 0 el doble es 1; si a = −1 el doble es 0. Son dos casos distintos y hay que hacer los dos: con a = 0 sale μ(1) = 2 y diagonaliza; con a = −1 sale μ(0) = 1 < 2 y no. Respuesta: a ≠ −1. Contestar "a ≠ 0 y a ≠ −1" es el error de no chequear el caso a = 0.

3.3 · El único que pide diagonalizar de verdad

7/VIII/24 ej 1 · sin parámetro, con P y Λ

Sea A = [[4,2,2],[0,6,2],[0,2,6]]. Hallar, si existen, P ∈ ℝ^3×3 no singular y Λ ∈ ℝ^3×3 diagonal tales que A = PΛP⁻¹.

▸ Desarrollando por la primera columna: χ(x) = (4−x)·det([[6−x,2],[2,6−x]]) = (4−x)[(6−x)² − 4] = (4−x)(4−x)(8−x) = −(x−4)²(x−8).
▸ λ = 4: A − 4I = [[0,2,2],[0,2,2],[0,2,2]], las tres filas iguales ⟹ rango 1 ⟹ μ(4) = 2 = m(4). S₄ = {x : x₂ + x₃ = 0} = gen{[1,0,0]^T, [0,1,−1]^T}.
▸ λ = 8: A − 8I = [[−4,2,2],[0,−2,2],[0,2,−2]] ⟹ x₂ = x₃ y 4x₁ = 4x₂ ⟹ S₈ = gen{[1,1,1]^T}.
▸ Diagonaliza. P = [[1,0,1],[0,1,1],[0,−1,1]] y Λ = diag(4,4,8). Verificación: AP = PΛ, columna por columna.
Notá que A no es simétrica y aun así diagonaliza: el espectral da una condición suficiente, no necesaria.

3.4 · Las tres formas de perder este ejercicio teniéndolo

1 · Confundir m(λ) con μ(λ)

m es la del polinomio (cuántas veces aparece la raíz); μ es la del núcleo (dim S_λ = n − rango(A − λI)). Siempre μ ≤ m. Escribir "el autovalor es doble, así que hay dos autovectores independientes" es exactamente el error que el ejercicio está diseñado para cobrar.

2 · Entregar sólo la mitad de la respuesta

La respuesta completa tiene dos partes: "si a no es ninguno de estos valores hay tres autovalores distintos y por lo tanto diagonaliza" (que hay que decirlo, citando el corolario) y "si a es este valor, calculo el rango". Entregar sólo la segunda deja el ejercicio incompleto, y en un examen de 3 sobre 5 incompleto es cero.

3 · Escribir A = P⁻¹ΛP, o desordenar Λ

La fórmula de la cátedra es A = PΛP⁻¹ con P la matriz cuyas columnas son los autovectores, y el orden de Λ tiene que coincidir con el orden de las columnas de P: si la columna 2 de P es autovector de −2, el lugar (2,2) de Λ es −2. Verificá con AP = PΛ, que es una multiplicación y no requiere invertir nada.

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4 Ecuaciones matriciales p(A) = B y espectros de polinomios

Seis de los cincuenta ejercicios reales viven de un solo hecho: si Av = λv entonces p(A)v = p(λ)v. Cuatro son "hallar A ∈ ℝ^2×2 tal que p(A) = B" y dos son "hallar σ(p(A))" a partir de datos del espectro. Los seis se resuelven con el mismo diagrama.

El hecho, y por qué convierte un problema matricial en uno escalar

Si p es un polinomio y Av = λv, entonces p(A)v = p(λ)v: mismo autovector, autovalor transformado. ▸ Y si A es diagonalizable, σ(p(A)) = {p(λ) : λ ∈ σ(A)} exactamente, porque la base de autovectores de A diagonaliza también a p(A).

Al revés, que es como lo toman: si p(A) = B, entonces B y A comparten autovectores, y cada autovalor de B da una ecuación escalar p(λ) = (autovalor de B) cuyas raíces son los candidatos para el autovalor de A en ese mismo autovector. La condición extra del enunciado (traza, determinante, inversibilidad) es la que elige entre los candidatos.

4.1 · El algoritmo para "hallar A tal que p(A) = B"

Diagonalizá B (siempre es 2×2 y siempre sale). Anotá sus dos autovalores β₁, β₂ y sus autovectores w₁, w₂.
Resolvé p(λ) = β₁ y p(λ) = β₂. Cada una es una cuadrática y te da dos candidatos. Total: cuatro combinaciones posibles para σ(A).
Aplicá la condición extra (traza(A) = t, det(A) = d, A inversible, A singular) para descartar. Casi siempre queda exactamente una combinación; si quedan dos, el ejercicio no tiene solución única y hay que decirlo.
Reconstruí A por descomposición espectral: A = λ₁P_gen{w₁} + λ₂P_gen{w₂}, con P_gen{w} = ww^T/‖w‖² si los w son ortogonales, o A = PΛP⁻¹ si no lo son.
Verificá haciendo la cuenta p(A) y comparando con B. Son matrices 2×2: cuesta un minuto y cierra el ejercicio.

Por qué el paso 4 sale con proyecciones y no con P⁻¹

En los cuatro ejercicios reales B es simétrica, así que sus autovectores son ortogonales y A también sale simétrica. Ahí P_gen{w} = ww^T/‖w‖² y no hay que invertir nada. ▸ Y si un autovalor de A da 0, ese sumando desaparece entero: A = λ₁w₁w₁^T/‖w₁‖² y listo.

Hecho completo · 27/VI/24 9hs, ejercicio 1

Hallar A ∈ ℝ^2×2 tal que traza(A) = 2 y A² − 6A + 8I = [[4,4],[4,4]].

1. B = [[4,4],[4,4]] tiene traza 8 y determinante 0 ⟹ σ(B) = {0, 8}. ▸ B − 0·I tiene filas iguales, así que w para β = 0 es [1,−1]^T; para β = 8, [1,1]^T. Son ortogonales (B es simétrica).
2. p(λ) = λ² − 6λ + 8 = (λ−2)(λ−4). ▸ p(λ) = 0 ⟹ λ ∈ {2, 4}. ▸ p(λ) = 8 ⟹ λ² − 6λ = 0 ⟹ λ ∈ {0, 6}.
3. Las cuatro combinaciones y sus trazas: {2,0} → 2 ✓ · {2,6} → 8 · {4,0} → 4 · {4,6} → 10. ▸ La única con traza 2 es λ = 2 sobre [1,−1]^T y λ = 0 sobre [1,1]^T.
4. A = 2·([1,−1]^T[1,−1])/2 + 0 = [[1,−1],[−1,1]].
5. A² = [[2,−2],[−2,2]], y A² − 6A + 8I = [[2−6+8, −2+6],[−2+6, 2−6+8]] = [[4,4],[4,4]] ✓, con traza(A) = 2 ✓.

La misma matriz A aparece en dos exámenes distintos, con otro disfraz

El 31/VII/24 ejercicio 2 pide: traza(A) = 2 y A² − 6A = [[−4,4],[4,−4]]. Es la misma A: [[1,−1],[−1,1]]. ▸ La diferencia es que ahí el enunciado dice "hallar, si existe", lo cual es una invitación a que digas que no existe. Existe. ▸ Moraleja doble: el "si existe" no significa que no exista, y estos enunciados se reciclan entre turnos.

4.2 · La condición extra y qué descarta cada una

Condición del enunciado	Qué descarta	Dónde aparece
traza(A) = t	Suma λ₁ + λ₂: descarta tres de las cuatro combinaciones	27/VI/24 9hs, 31/VII/24
det(A) = d	Producto λ₁λ₂	Guía 4.5(a), adicional 12
A no inversible	Obliga a que 0 ∈ σ(A), o sea que uno de los candidatos sea 0	4/XII/24 14hs ej 3
A inversible	Prohíbe el candidato 0	4/XII/24 3.^er turno ej 3, adicional 11

Cuando la condición no alcanza, la respuesta correcta es "hay más de una"

En el 4/XII/24 14hs ej 3 ("hallar A no inversible tal que A² + 2A + 3I = (1/10)[[33,−9],[−9,57]]") queda: σ(B) = {3, 6} con autovectores [3,1]^T y [1,−3]^T. ▸ p(λ) = 3 ⟹ λ ∈ {0, −2}; p(λ) = 6 ⟹ λ ∈ {1, −3}. ▸ "No inversible" fuerza λ = 0 sobre [3,1]^T, pero el otro autovalor puede ser 1 o −3: las dos dan matrices no inversibles que cumplen todo. ▸ Con λ = 1: A = (1/10)[[1,−3],[−3,9]]. Con λ = −3: A = (−3/10)[[1,−3],[−3,9]]. ▸ El enunciado dice "hallar una", así que entregás una y aclarás que no es única. Esa aclaración es parte de la justificación teórica que piden.

4.3 · Los dos ejercicios de "hallar σ(p(A))"

27/VI/24 14hs ej 2 y 7/VIII/24 ej 2 · el mismo enunciado con distinta traza

Sea A ∈ ℝ^2×2 diagonalizable tal que σ(A² − 6A) = {0, −8}. ▸ p(λ) = λ² − 6λ. ▸ p(λ) = 0 ⟹ λ ∈ {0, 6}. ▸ p(λ) = −8 ⟹ λ² − 6λ + 8 = 0 ⟹ λ ∈ {2, 4}. ▸ Como σ(A²−6A) tiene dos elementos distintos y A es 2×2, A tiene dos autovalores distintos: uno del primer par y uno del segundo.

Con traza(A) = 2 (27/VI): las sumas posibles son 0+2 = 2 ✓, 0+4 = 4, 6+2 = 8, 6+4 = 10. ▸ σ(A) = {0, 2} ⟹ σ(A³) = {0, 8}.
Con traza(A) = 8 (7/VIII): la única suma que da 8 es 6+2. ▸ σ(A) = {2, 6} ⟹ σ(A²) = {4, 36}.

La hipótesis "diagonalizable" está para que puedas afirmar σ(p(A)) = p(σ(A)) sin agujeros, y para descartar el caso de un único autovalor doble. Citala.

No confundas "σ(p(A)) tiene dos elementos" con "p es inyectiva"

Nada impide que dos autovalores distintos de A vayan al mismo valor por p. Lo que sí sabés es que cada elemento de σ(p(A)) viene de al menos un elemento de σ(A), y que la cantidad de autovalores distintos de A es a lo sumo n. Con n = 2 y dos valores distintos en σ(p(A)), la asignación es forzada: uno por rama.

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5 La matriz simétrica que hay que construir

Este es el ejercicio del parcial. Aparece en 9 de los 10 exámenes del régimen actual, siempre con la misma fórmula: "Hallar una matriz simétrica A ∈ ℝ^3×3 que posea las siguientes propiedades" (o su variante "…tal que…"), seguida de dos a cuatro condiciones. Nunca lo ponen en la posición 1 ni en la 5: vive en el 2, el 3 o el 4.

Todo el ejercicio es el teorema espectral leído al revés

Una matriz simétrica es su lista de autovalores más la lista de autoespacios ortogonales entre sí. Así que "hallar A" nunca significa resolver un sistema de 9 incógnitas: significa encontrar los tres autovalores y los tres autoespacios, y después escribir

A = λ₁P_S₁ + λ₂P_S₂ + ⋯ con P_gen{v} = vv^T/‖v‖² · P_{plano de normal n} = I − nn^T/‖n‖²

Con esas dos fórmulas y una suma, los nueve ejercicios reales salen en menos de veinte minutos cada uno.

5.1 · El diccionario: cada condición del enunciado dice una sola cosa

Lo que dice el enunciado	Lo que significa
"el plano {x : n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = 0} es un autoespacio de A"	Ese plano es S_α para algún α, y por el espectral gen{n} = S_β con β ≠ α. Ya tenés la geometría entera: sólo faltan dos números.
"rango(A − cI) = 1"	μ(c) = 3 − 1 = 2: c es el autovalor del plano.
"rango(A) = 2"	μ(0) = 1: 0 es autovalor simple.
"traza(A) = t"	λ₁ + λ₂ + λ₃ = t, contando multiplicidades. Si el plano vale α, escribís 2α + β = t.
"det(A) = d"	λ₁λ₂λ₃ = d. Con el plano doble: α²β = d.
"A³ − 4A² es singular" / "det(A³ + 3A²) = 0"	Factorizá: A²(A − 4I) singular ⟺ 0 ∈ σ(A) o 4 ∈ σ(A). Es una disyunción, y la otra condición elige.
"σ(A) ⊂ (0, +∞)" / "⊂ (−∞, 0)"	Justamente lo que mata una de las dos ramas de la disyunción anterior. Nunca está de adorno.
"v y w son autovectores de A"	Calculá ⟨v,w⟩ antes de nada. Ver la trampa de abajo.
"A v = μv" con v explícito	v es autovector con autovalor μ. Si el enunciado escribe A[0,0,1]^T = [0,0,2]^T, eso es μ = 2 sobre e₃.
"{v, w} ⊂ Nul(A⁻¹ − 2I)"	A⁻¹v = 2v ⟹ Av = ½v. Los autovalores de A⁻¹ son los recíprocos, con los mismos autovectores.
"Av ∈ {x : x₁ − x₂ = 0}"	Ubicá el subespacio invariante donde vive v y cortalo con ese plano: casi siempre la intersección es gen{v}, y entonces v es autovector.

El chequeo de ortogonalidad que hay que hacer SIEMPRE, y en primer lugar

Cuando te dan dos autovectores de una matriz simétrica, calculá su producto interno antes de hacer cualquier otra cosa:
▸ Si da 0, pueden ser de autovalores distintos y el problema es "tres rectas ortogonales".
▸ Si no da 0, tienen que ser del mismo autovalor, porque el teorema espectral prohíbe lo contrario. Ese autovalor es al menos doble y su autoespacio es el plano que generan.

Los tres casos reales: 10/VII/24 ej 3 con [1,1,1]^T y [1,0,1]^T (producto = 2 ≠ 0); 4/XII/24 14hs ej 2 con [1,2,1]^T y [1,1,0]^T (producto = 3 ≠ 0); 07/07/25 ej 3 con [1,1,1]^T y [1,2,1]^T (producto = 4 ≠ 0). ▸ En los tres el producto es distinto de cero, o sea que en los tres el autovalor es doble. Sin esa observación, ninguno de los tres arranca.

Y el atajo que sigue: el tercer autoespacio es la recta generada por el producto vectorial de los dos autovectores dados. En 10/VII: [1,1,1] × [1,0,1] = [1,0,−1].

5.2 · El procedimiento, en cuatro pasos

Armá la geometría. Identificá los autoespacios: o bien un plano y su recta normal, o bien tres rectas ortogonales. Verificá la ortogonalidad; si no da, revisá el paso anterior.
Poné incógnitas a los autovalores: α para el plano (que cuenta dos veces en traza y determinante) y β para la recta.
Traducí las condiciones numéricas a ecuaciones en α y β con el diccionario de arriba, y resolvelas. Descartá las soluciones que violen las condiciones de signo o de rango.
Ensamblá con la descomposición espectral: A = α(I − nn^T/‖n‖²) + β·nn^T/‖n‖², que se simplifica a
A = αI + (β − α)·nn^T/‖n‖²
y verificá con traza y determinante, que ya sabés cuánto tienen que dar.

La forma cerrada que conviene tener memorizada

Si el autoespacio doble es el plano de normal n y el simple es gen{n}:

A = αI + (β − α)·nn^T/‖n‖²

Con ‖n‖² entero (los enunciados eligen [2,−1,2] con ‖n‖² = 9, y [1,−1,1] o [1,−1,−1] con ‖n‖² = 3; ojo que ‖n‖ en sí no es entera, la que entra en la fórmula es ‖n‖²), esto es una matriz por un escalar más una matriz de rango 1. ▸ Chequeo instantáneo: traza(A) = 2α + β y det(A) = α²β, sin hacer ninguna cuenta.

Hecho completo · 27/VI/24 9hs, ejercicio 4

Hallar una matriz simétrica A ∈ ℝ^3×3 tal que σ(A) ⊂ (0, +∞), rango(A − 2I) = 1, A³ − 4A² es singular y el plano {x ∈ ℝ³ : 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 0} es un autoespacio de A.

1 · Geometría. n = [2,−1,2]^T, ‖n‖ = 3. El plano es un autoespacio; por el espectral, gen{n} también lo es.
2 · Quién es quién. rango(A − 2I) = 1 ⟹ μ(2) = 2 ⟹ el autovalor 2 va en el plano (α = 2) y el otro en gen{n}.
3 · El otro autovalor. A³ − 4A² = A²(A − 4I) singular ⟹ det(A)²·det(A − 4I) = 0 ⟹ 0 ∈ σ(A) o 4 ∈ σ(A). ▸ σ(A) ⊂ (0,+∞) mata el 0. ▸ Y 4 ≠ 2, así que 4 no puede ser el del plano: β = 4.
4 · Ensamblado. nn^T = [[4,−2,4],[−2,1,−2],[4,−2,4]] y ‖n‖² = 9.

A = 2I + (4−2)·nn^T/9 = 2I + (2/9)[[4,−2,4],[−2,1,−2],[4,−2,4]] = (1/9)[[26,−4,8],[−4,20,−4],[8,−4,26]]

Verificación: traza = 2·2 + 4 = 8, y (26+20+26)/9 = 72/9 = 8 ✓. det = 2²·4 = 16 ✓. A[2,−1,2]^T = 4[2,−1,2]^T ✓. Y σ(A) = {2, 4} ⊂ (0,+∞) ✓.

El gemelo con el signo dado vuelta · 26/06/24, ejercicio 4

… σ(A) ⊂ (−∞, 0), rango(A + 2I) = 1, det(A³ + 3A²) = 0, mismo plano.

rango(A + 2I) = 1 ⟹ α = −2 en el plano. ▸ A²(A + 3I) singular ⟹ 0 ∈ σ(A) o −3 ∈ σ(A); el 0 muere por el signo ⟹ β = −3.

A = −2I + (−3+2)·nn^T/9 = −2I − (1/9)[[4,−2,4],[−2,1,−2],[4,−2,4]] = (1/9)[[−22,2,−4],[2,−19,2],[−4,2,−22]]

traza = −7 = 2(−2) + (−3) ✓ · det = (−2)²(−3) = −12 ✓. ▸ Es el mismo ejercicio con los signos invertidos. Los dos son variantes del 4.10(e) de la Guía 4.

5.3 · Cuando la respuesta no es única (y hay que decirlo)

27/VI/24 14hs ej 3 y 7/VIII/24 ej 3 · el mismo enunciado, dos trazas

Hallar A simétrica con traza(A) = t, rango(A) = 2, A[0,0,1]^T = [0,0,2]^T y A[1,1,0]^T ∈ {x : x₁ − x₂ = 0}. Con t = 1 en junio y t = 3 en agosto. Es el 4.10(d) de la Guía 4 con la traza cambiada.

▸ A e₃ = 2e₃: λ = 2 sobre gen{e₃}. ▸ rango(A) = 2 ⟹ 0 ∈ σ(A), simple. ▸ traza: 2 + 0 + λ₃ = t ⟹ λ₃ = t − 2 (o sea −1 en junio, 1 en agosto).
▸ Los otros dos autoespacios son ⊥ a e₃, o sea que viven en el plano x₃ = 0, que por lo tanto es invariante. ▸ v = [1,1,0]^T está en ese plano, así que Av también. ▸ {x : x₁ = x₂} ∩ {x₃ = 0} = gen{[1,1,0]^T}, y entonces Av ∈ gen{v}: v es autovector, de 0 o de t−2. El tercero es [1,−1,0]^T.
▸ Las dos opciones son válidas. Con t = 1: A = 2e₃e₃^T − P_{gen{[1,−1,0]}} = [[−½,½,0],[½,−½,0],[0,0,2]], o bien A = 2e₃e₃^T − P_gen{[1,1,0]} = [[−½,−½,0],[−½,−½,0],[0,0,2]]. Las dos tienen traza 1, rango 2 y mandan [1,1,0]^T adentro de {x₁ = x₂} (la primera lo manda al 0, que también está en el plano).
▸ El enunciado pide "una", así que entregás una y decís que hay dos.

"Hallar una" no es "hallar la"

Los nueve ejercicios reales piden "una" matriz simétrica, no "la" (ocho con la palabra hallar y el del 07/07/25 con encontrar). La cátedra pregunta explícitamente "¿A es única? ¿Por qué?" en el 4.10 de la Guía. ▸ Regla: si después de usar todas las condiciones te quedan grados de libertad (elegir qué autovalor va en qué autoespacio, o una base de un autoespacio de dimensión 2), hay más de una y conviene escribirlo. Si las condiciones fijan los tres autovalores y los tres autoespacios, es única.

El caso extremo es el 4/XII/24 3.^er turno ej 2: plano {x₁−x₂+x₃ = 0} autoespacio, traza 12, det 54. ▸ 2α + β = 12 y α²β = 54 ⟹ α²(12 − 2α) = 54 ⟹ α³ − 6α² + 27 = 0 ⟹ (α − 3)(α² − 3α − 9) = 0. ▸ La raíz limpia es α = 3, β = 6, que da A = [[4,−1,1],[−1,4,−1],[1,−1,4]]. Las otras dos, α = (3 ± 3√5)/2, también son soluciones reales válidas. Entregá la limpia y mencioná que la cúbica tiene tres raíces.

5.4 · La familia [[4,−1,1],[−1,4,−1],[1,−1,4]]

Esa matriz aparece tres veces en los 10 exámenes, con tres enunciados distintos que apuntan al mismo objeto: plano {x₁ − x₂ + x₃ = 0} con λ = 3 doble, y gen{[1,−1,1]^T} con λ = 6.

Examen	Cómo lo pide	Cómo se llega
4/XII/24 14hs ej 2	[1,2,1]^T y [1,1,0]^T autovectores, 3 ∈ σ(A), det(A) = 54	Producto interno = 3 ≠ 0 ⟹ mismo autovalor ⟹ el plano que generan es el autoespacio, con normal [1,−1,1]^T. α²β = 54 con α = 3 ⟹ β = 6. Tampoco es única: si el 3 fuera el autovalor simple, α²·3 = 54 da α = ±3√2, que también cumple. Entregá la limpia y decilo.
4/XII/24 17hs ej 2	rango(A − 3I) = 1, det(A) = 54, el plano {x₁−x₂+x₃ = 0} es autoespacio	Directo: α = 3, 9β = 54 ⟹ β = 6.
4/XII/24 3.^er turno ej 2	mismo plano autoespacio, traza 12, det 54	Vía la cúbica de arriba.

Y la otra familia, la del 10/VII/24

[1,1,1]^T y [1,0,1]^T son autovectores de A, 3 ∈ σ(A) y det(A) = −9. ▸ ⟨[1,1,1],[1,0,1]⟩ = 2 ≠ 0 ⟹ mismo autovalor α, y el autoespacio es el plano que generan, de normal [1,1,1] × [1,0,1] = [1,0,−1]^T, o sea {x₁ − x₃ = 0}. ▸ α²β = −9 con 3 ∈ σ(A): si α = 3 ⟹ β = −1 ✓; si β = 3 ⟹ α² = −3, imposible. ▸ Entonces

A = 3I + (−1−3)·[1,0,−1][1,0,−1]^T/2 = 3I − 2[[1,0,−1],[0,0,0],[−1,0,1]] = [[1,0,2],[0,3,0],[2,0,1]]

traza 5 = 3+3−1 ✓ · det −9 ✓ · A[1,1,1]^T = [3,3,3]^T ✓.

5.5 · Las trampas de esta sección

Aplicar Gram-Schmidt entre autoespacios distintos

Los autoespacios de una simétrica ya son ortogonales entre sí. Gram-Schmidt se usa sólo dentro de un autoespacio de dimensión ≥ 2 cuando la base que salió del sistema no es ortogonal. Ortogonalizar de más te da vectores que ya no son autovectores.

Olvidar el cuadrado en det(A) = α²β

Si el autovalor del plano es α, en la traza va 2α y en el determinante va α², porque μ(α) = 2. Es el error aritmético más frecuente de este ejercicio y se detecta solo: verificá la matriz final calculándole la traza.

No normalizar cuando escribís A = UΛU^T

Para A = PΛP⁻¹ con P de autovectores cualesquiera no hace falta normalizar. Para A = UΛU^T con U ortogonal, las columnas tienen que ser unitarias. Si el ejercicio pide "diagonalización ortogonal", dividir por la norma no es opcional. ▸ La fórmula de proyección vv^T/‖v‖² se encarga sola de eso, y es la razón por la que conviene usarla en vez de armar U.

Leer "rango(A) = 2" como "A tiene dos autovalores"

rango(A) = 2 dice que dim nul(A) = 1, o sea que 0 es autovalor con μ(0) = 1. No dice nada sobre cuántos autovalores distintos hay ni sobre los otros dos.

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6 Evolución en el tiempo: potencias, límites y ecuaciones diferenciales

Seis de los cincuenta ejercicios preguntan qué pasa cuando aplicás A muchas veces: cuatro piden A^kx₀ para un k grande y dos piden lím_k→∞ A^kx. Los dos moldes salen del mismo renglón de la Guía 4, y ninguno requiere calcular una potencia de matriz.

El renglón que resuelve los seis

Si {v₁,…,v_n} es base de autovectores de A con autovalores λ₁,…,λ_n, entonces

A^k( Σ_j c_jv_j ) = Σ_j c_j λ_j^k v_j

O sea: escribís x₀ en la base de autovectores y elevás los autovalores. Nunca multipliques matrices. ▸ El único trabajo del ejercicio es hallar los c_j. En el 10/VII/24 y el 4/XII/24 17hs A es simétrica, la base de autovectores sale ortogonal y c_j = ⟨x₀, v_j⟩/‖v_j‖² sin resolver ningún sistema; el 31/VII/24 es una rotación y va por ángulos. Ojo con el cuarto: en el 07/07/25 ej 2, A = [[3,0,−3],[2,2,−2],[−3,0,3]] no es simétrica y sus autovectores no son ortogonales (⟨[0,1,0], [−1,−1,1]⟩ = −1), así que ahí los c_j salen resolviendo el sistema x₀ = Σc_jv_j.

6.1 · "La partícula que recibe impactos"

El enunciado es siempre el mismo cuento: una partícula está en x₀, cada segundo (o minuto, o diez segundos) un impacto la manda de x a Ax, calcular dónde está después de N unidades de tiempo. Es A^Nx₀ disfrazado. Y en dos de los cuatro casos, el disfraz esconde una simplificación grande.

10/VII/24 ej 2 · el caso base

x₀ = [0,1,2]^T, A = [[3/2,0,−1/2],[0,1,0],[−1/2,0,3/2]], calcular la posición a los 30 segundos.

▸ A es simétrica. El bloque [[3/2,−1/2],[−1/2,3/2]] tiene autovalores 1 (en [1,1]) y 2 (en [1,−1]), más el 1 de e₂: S₁ = gen{[1,0,1]^T, [0,1,0]^T}, S₂ = gen{[1,0,−1]^T}.
▸ x₀ = [0,1,2]^T = 1·[1,0,1]^T + 1·[0,1,0]^T + (−1)·[1,0,−1]^T. (Chequeo: [1,0,1]+[0,1,0]−[1,0,−1] = [0,1,2] ✓)
▸ A³⁰x₀ = 1³⁰[1,0,1]^T + 1³⁰[0,1,0]^T + (−1)·2³⁰[1,0,−1]^T = [1 − 2³⁰, 1, 1 + 2³⁰]^T.
Con la calculadora: 2³⁰ = 1 073 741 824, o sea [−1 073 741 823, 1, 1 073 741 825]^T. Dejalo expresado en potencias: es más corto y menos propenso a error.

4/XII/24 17hs ej 3 · el caso donde una componente se anula sola

x₀ = [0,3,6]^T. A ∈ ℝ^3×3 simétrica con nul(A − I) = gen{[−1,2,2]^T} y A[2,−1,2]^T = [−2,1,−2]^T. Posición a los 25 segundos.

▸ Traducción. λ = 1 sobre [−1,2,2]^T, y A[2,−1,2]^T = −[2,−1,2]^T ⟹ λ = −1 sobre [2,−1,2]^T.
▸ El tercer autovector no hace falta. Los vectores [−1,2,2], [2,−1,2] y [2,2,−1] son ortogonales dos a dos y todos de norma 3 (verificalo: es la terna que la cátedra usa una y otra vez). Descomponemos x₀ en esa base ortogonal:

c₁ = ⟨x₀,[−1,2,2]⟩/9 = (0+6+12)/9 = 2 · c₂ = (0−3+12)/9 = 1 · c₃ = (0+6−6)/9 = 0

▸ Como c₃ = 0, el autovalor desconocido no interviene. A²⁵x₀ = 2·1²⁵[−1,2,2]^T + 1·(−1)²⁵[2,−1,2]^T = [−2,4,4]^T + [−2,1,−2]^T = [−4,5,2]^T.
Si te frenaste porque "falta un dato", el dato no falta: sobra. Descomponé primero y fijate qué coeficientes son cero.

31/VII/24 ej 3 · cuando A es una rotación y no hay autovalores reales

x₀ = [1,0,0]^T, A = [[√2/2, −√2/2, 0],[√2/2, √2/2, 0],[0,0,1]], posición a los 45 minutos.

▸ El bloque 2×2 es [[cos 45°, −sen 45°],[sen 45°, cos 45°]]: una rotación de 45° en el plano x₁x₂, con el eje x₃ fijo. Sus autovalores son complejos, así que la técnica de autovectores no aplica y hay que ir por la geometría.
▸ A⁴⁵ es la rotación de 45·45° = 2025°. Y 2025 = 5·360 + 225, así que es una rotación de 225°.
▸ Rotar [1,0]^T 225° da [cos 225°, sen 225°]^T = [−√2/2, −√2/2]^T. Y la tercera coordenada de x₀ es 0.
▸ Respuesta: [−√2/2, −√2/2, 0]^T. ▸ Verificación barata: la rotación es una isometría, así que ‖A⁴⁵x₀‖ tiene que valer 1. Y (1/2 + 1/2) = 1 ✓.

Reconocé la rotación antes de calcular el polinomio característico

Si ves √2/2 o √3/2 o 1/2 en un bloque 2×2 con la forma [[c,−s],[s,c]] y c² + s² = 1, es una rotación: no tiene autovalores reales (salvo θ = 0 o 180°) y el ejercicio se hace con ángulos, no con autovectores. ▸ El módulo del ángulo total con 360° es la cuenta entera. ▸ Y este molde es primo hermano del de las isometrías de la sección 7: la misma matriz que acá te hace rotar 45 veces, allá te piden "caracterizarla".

6.2 · lím_k→∞ A^kx

El criterio, que sale de la misma fórmula

Si x = Σ c_jv_j, entonces A^kx = Σ c_jλ_j^kv_j, y el límite existe si y sólo si cada término converge:

Autovalor	λ^k hace	Qué exige del coeficiente c_j
\|λ\| < 1	→ 0	Nada: ese término desaparece del límite
λ = 1	= 1 siempre	Nada: ese término sobrevive entero en el límite
λ = −1	oscila 1, −1, 1, …	c_j = 0
\|λ\| > 1	diverge	c_j = 0

Es decir: S = {x : existe lím A^kx} = ⊕ de los autoespacios con |λ| < 1 y λ = 1, y lím A^kx = la componente de x en S₁.

27/VI/24 9hs ej 2 · hallar el subespacio

A = (1/2)[[−4,6,−6],[0,1,0],[0,−1,2]]. Hallar una base de S = {x ∈ ℝ³ : existe lím_k→∞ A^kx}.

▸ A = [[−2,3,−3],[0,½,0],[0,−½,1]] es triangular por bloques: χ(x) = (−2−x)(½−x)(1−x), o sea σ(A) = {−2, ½, 1}.
▸ |−2| > 1 ⟹ ese autoespacio queda afuera. |½| < 1 y λ = 1 ⟹ los dos quedan adentro.
▸ S_1/2: (A − ½I)x = 0 ⟹ [[−5/2, 3, −3],[0,0,0],[0,−½,½]]x = 0 ⟹ x₂ = x₃ y −(5/2)x₁ = 0 ⟹ gen{[0,1,1]^T}.
▸ S₁: (A − I)x = 0 ⟹ [[−3,3,−3],[0,−½,0],[0,−½,0]]x = 0 ⟹ x₂ = 0 y x₁ = −x₃ ⟹ gen{[1,0,−1]^T}.
▸ Base de S: {[0,1,1]^T, [1,0,−1]^T}, y dim S = 2. Para el registro, S₋₂ = gen{[1,0,0]^T} y es exactamente lo que queda afuera.

26/06/24 ej 2 · la versión inversa

A = (1/4)[[4,1,−1],[0,3,1],[0,1,3]]. Hallar todas las soluciones de lím_k→∞ A^kx = [0,6,6]^T.

▸ χ(x) = (1−x)·[(¾−x)² − 1/16] = (1−x)(1−x)(½−x), o sea λ = 1 doble y λ = ½ simple.
▸ S₁: (A−I) = (1/4)[[0,1,−1],[0,−1,1],[0,1,−1]], rango 1 ⟹ μ(1) = 2, S₁ = gen{[1,0,0]^T, [0,1,1]^T}. ▸ S_1/2 = gen{[1,−1,1]^T}.
▸ Como |½| < 1, esa componente se va a cero, y como λ = 1 en el resto, lím A^kx = la componente de x en S₁.
▸ Verificamos que el dato sea alcanzable: [0,6,6]^T = 6·[0,1,1]^T ∈ S₁ ✓.
▸ Respuesta: x = [0,6,6]^T + t[1,−1,1]^T, t ∈ ℝ. ▸ Si el dato NO estuviera en S₁, la respuesta correcta sería "no hay solución", y eso también hay que saber decirlo.

λ = −1 no converge, y es el error que la tabla existe para evitar

Con λ = −1 la sucesión λ^k oscila entre 1 y −1: no tiene límite. Un autoespacio de −1 va afuera de S, igual que uno con |λ| > 1. ▸ Y λ = 0 va adentro sin problema (0^k → 0). ▸ La condición correcta es "|λ| < 1 o λ = 1", no "|λ| ≤ 1".

6.3 · Sistemas de ecuaciones diferenciales X′ = AX

Aviso honesto antes de que estudies esto

En los 10 segundos parciales del régimen actual no hay ni una ecuación diferencial. Cero de cincuenta ejercicios. En cambio aparecen en 4 de los 43 primeros parciales de la guía madre, y en ninguno de los 35 fechados desde 2023. ▸ El apunte oficial (de Pustilnik y Muszkats) les dedica el capítulo 7 entero y la cátedra lo publica, así que podría caer. Pero el costo-beneficio es claro: aprendé la versión corta de abajo, que son quince minutos y un renglón en las carillas, y no le dediques una tarde. La tarde va a la sección 5.

La versión corta es la misma idea de siempre: diagonalizar desacopla.

Teorema 7.9 del apunte, con su demostración en tres renglones

Sea X′ = AX con A ∈ ℝ^n×n diagonalizable, A = PΛP⁻¹, P = [v₁ ⋯ v_n].
▸ El cambio de variable Y = P⁻¹X transforma X′ = PΛP⁻¹X en Y′ = ΛY, que son n ecuaciones desacopladas y_i′ = λ_iy_i, cada una con solución y_i = C_ie^λ_it.
▸ Deshaciendo el cambio, X = PY:

X(t) = C₁e^λ₁tv₁ + C₂e^λ₂tv₂ + ⋯ + C_ne^λ_ntv_n

▸ Y {e^λ₁tv₁, …, e^λ_ntv_n} es base del espacio de soluciones, que tiene dimensión n. ∎

Con condición inicial X(0) = x₀: los C_i son las coordenadas de x₀ en la base de autovectores. Es exactamente el mismo primer paso que en A^kx₀: cambia e^λt por λ^k y nada más.

Si hay autovalores complejos λ = a ± bi con autovector v = p + iq, la base real de esas dos soluciones es

e^at(cos(bt)·p − sen(bt)·q) y e^at(sen(bt)·p + cos(bt)·q)

Si el sistema es no homogéneo X′ = AX + F, la solución general es X_h + X_p: la del homogéneo más una particular, igual que en cualquier sistema lineal.

La analogía que conviene tener escrita, porque unifica los tres moldes

A^kx₀: descomponer x₀ en autovectores, multiplicar cada término por λ^k.
lím A^kx: descomponer, mirar qué λ^k converge.
X′ = AX, X(0) = x₀: descomponer x₀ en autovectores, multiplicar cada término por e^λt.

Los tres son el mismo ejercicio con distinta función del autovalor. Si automatizás "descomponer x₀ en la base de autovectores", tenés los seis ejercicios reales de este molde y el hipotético de ecuaciones diferenciales.

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7 Formas cuadráticas, isometrías y Rayleigh

Qué pesa cuánto acá, con los números adelante

Isometrías: 2 de los 10 exámenes tienen un "comprobar que U es ortogonal y caracterizar T(x) = Ux". Es un ejercicio de veinte minutos con una respuesta de dos renglones.
Rayleigh: no aparece con ese nombre en ninguno, pero es lo que sostiene los 3 ejercicios de máx_‖x‖=1‖Ax‖ y la imagen de la esfera, que están en la sección 8.
Formas cuadráticas q(x) = x^TAx con pedido de clasificar o graficar: cero en los 10 recientes. Sí en el régimen viejo (2017 y 2018). Va acá en versión compacta porque cuesta media carilla y porque el apunte oficial le dedica un capítulo.

7.1 · Isometrías de ℝ²: rotación o simetría, y nada más

El ejercicio dice siempre lo mismo: "Comprobar que la matriz U es ortogonal y caracterizar la isometría T : ℝ² → ℝ² definida por T(x) = Ux". Son dos preguntas y hay que contestar las dos.

Los dos pasos, con el criterio que decide todo

1 · Comprobar que es ortogonal. La forma más rápida es verificar que las columnas son una base ortonormal: cada una de norma 1 y producto interno entre ellas igual a 0. Equivale a U^TU = I. Y para una matriz cuadrada, U^TU = I ya implica UU^T = I: una inversa a izquierda de una cuadrada es la inversa.

2 · Calcular det(U). Ese único número decide el tipo:

det(U)	Qué es T	Qué hay que dar además	σ(U)
+1	Rotación de ángulo θ alrededor del origen	El ángulo θ, leído de U = [[cos θ, −sen θ], [sen θ, cos θ]]	Complejos (θ ≠ 0, π)
−1	Simetría (reflexión) respecto de una recta por el origen	La recta, que es nul(U − I) = el autoespacio de λ = 1	{1, −1}

"Caracterizar" significa exactamente eso: decir si es rotación o simetría, y dar el ángulo o el eje.

27/VI/24 9hs ej 3 · det = −1, es una simetría

U = (1/5)[[3,4],[4,−3]].

▸ Ortogonal: columnas [3,4]^T/5 y [4,−3]^T/5. Normas: (9+16)/25 = 1 ✓ y (16+9)/25 = 1 ✓. Producto interno: (12 − 12)/25 = 0 ✓. Es ortogonal.
▸ det(U) = (1/25)(−9 − 16) = −1 ⟹ es una simetría.
▸ El eje: U − I = (1/5)[[−2,4],[4,−8]], que tiene rango 1: −2x₁ + 4x₂ = 0 ⟹ x₁ = 2x₂. nul(U − I) = gen{[2,1]^T}.
▸ Respuesta: T es la simetría respecto de la recta gen{[2,1]^T}, es decir la recta de ecuación x₁ − 2x₂ = 0. ▸ Control: el otro autoespacio, nul(U + I) = gen{[−1,2]^T}, tiene que ser perpendicular al eje, y lo es.

26/06/24 ej 3 · det = +1, es una rotación

U = (1/2)[[√3, −1],[1, √3]].

▸ Ortogonal: columnas [√3,1]^T/2 y [−1,√3]^T/2. Normas: (3+1)/4 = 1 ✓. Producto: (−√3 + √3)/4 = 0 ✓.
▸ det(U) = (3 + 1)/4 = +1 ⟹ es una rotación.
▸ El ángulo: comparando con [[cos θ, −sen θ],[sen θ, cos θ]]: cos θ = √3/2 y sen θ = 1/2 ⟹ θ = 30° = π/6, en sentido antihorario.
▸ Respuesta: T es la rotación de π/6 alrededor del origen. ▸ σ(U) = {e^±iπ/6}: no hay autovalores reales, y por eso el ejercicio NO se contesta con autovectores.

det = ±1 no alcanza para afirmar que U es ortogonal

Que |det(U)| = 1 es consecuencia de ser ortogonal, no equivalencia. [[1,1],[0,1]] tiene det 1 y no es ortogonal. ▸ Sirve sólo para descartar: si det ≠ ±1, seguro que no es ortogonal. ▸ El enunciado te pide "comprobar", así que la comprobación va con U^TU = I o con las columnas, no con el determinante. El determinante se calcula después, para clasificar.

El signo del ángulo y la posición del menos

La matriz de rotación de la cátedra es [[cos θ, −sen θ],[sen θ, cos θ]]: el menos va arriba a la derecha. Si te queda al revés, el ángulo es −θ (rotación horaria), no θ. Y en ℝ³, una matriz ortogonal con det = 1 es una rotación alrededor del eje nul(U − I), que siempre tiene dimensión ≥ 1 en dimensión impar.

7.2 · Formas cuadráticas: la clasificación en tres renglones

q(x) = x^TAx con A simétrica (siempre se puede simetrizar: x^TMx = x^T((M + M^T)/2)x). Diagonalizando A = UΛU^T y cambiando de variable y = U^Tx (que no cambia la norma, por ser U ortogonal), los términos cruzados desaparecen:

q(x) = y^TΛy = λ₁y₁² + λ₂y₂² + ⋯ + λ_ny_n²

Ese es el teorema de los ejes principales, y con él la clasificación se lee en los signos de los autovalores, sin ninguna cuenta adicional:

Clasificación	Condición sobre σ(A)	Conjunto de nivel q(x) = k > 0 en ℝ²
Definida positiva	todos los λ > 0	Elipse de semiejes √(k/λ_i) sobre los autovectores
Semidefinida positiva	todos los λ ≥ 0, con algún 0	Par de rectas paralelas, o el vacío
Definida negativa	todos los λ < 0	Vacío (para k > 0)
Semidefinida negativa	todos los λ ≤ 0, con algún 0	Vacío (para k > 0)
Indefinida	hay λ > 0 y λ < 0	Hipérbola

Cómo se grafica un conjunto de nivel, en cuatro pasos

1. Escribí A simétrica a partir de q: los coeficientes de x_i² van en la diagonal, y el coeficiente de x_ix_j se parte al medio entre las posiciones (i,j) y (j,i).
2. Diagonalizá ortogonalmente: autovalores λ_i y una b.o.n. de autovectores {u_i}.
3. Escribí q(x) = Σλ_iy_i² = k y llevalo a forma canónica dividiendo por k.
4. Dibujá los ejes nuevos en la dirección de los u_i y sobre ellos la cónica con sus semiejes. ▸ Ordenar la base de modo que det(U) = 1 hace que el sistema nuevo sea el viejo rotado, sin reflexión. Es la convención del apunte.

Un caso real del régimen viejo · 6/XII/2017 ej 4

Sea Q : ℝ² → ℝ la forma cuadrática Q(x) = x^T(2I + 3P)x, donde P representa en base canónica la proyección sobre S = {x ∈ ℝ² : 4x₁ + 3x₂ = 0}. Graficar {x ∈ ℝ² : Q(x) ≤ 4}.

▸ S = gen{[3,−4]^T} (chequeo: 4·3 + 3·(−4) = 0 ✓), de norma 5. P = (1/25)[[9,−12],[−12,16]].
▸ No hace falta calcular 2I + 3P. P tiene autovalores 1 (sobre [3,−4]^T, que es S) y 0 (sobre [4,3]^T, que es S^⊥). ▸ Entonces 2I + 3P tiene autovalores 2 + 3·1 = 5 sobre [3,−4]^T y 2 + 3·0 = 2 sobre [4,3]^T. Es p(A)v = p(λ)v otra vez.
▸ Q(x) = 5y₁² + 2y₂² con y₁ en la dirección [3,−4]^T/5 e y₂ en [4,3]^T/5. Definida positiva, así que el conjunto es acotado.
▸ Q(x) ≤ 4 ⟺ y₁²/(4/5) + y₂²/2 ≤ 1: la elipse llena (con su interior) de semiejes 2/√5 ≈ 0,89 sobre [3,−4]^T/5 y √2 ≈ 1,41 sobre [4,3]^T/5.
▸ El dibujo: los ejes de la elipse son las rectas gen{[3,−4]} y gen{[4,3]}, y el eje mayor es el segundo, porque le corresponde el autovalor menor.

El semieje va con la raíz del recíproco del autovalor

En Σλ_iy_i² = k, el semieje en la dirección i es √(k/λ_i). Autovalor grande ⟹ semieje chico. Es al revés que en la DVS, donde el semieje del elipsoide imagen es directamente σ_i. ▸ Las dos cosas conviven en el mismo parcial, así que anotá las dos con el ejemplo al lado.

7.3 · Rayleigh: la herramienta para acotar x^TMx

Desigualdad de Rayleigh

Para A simétrica y ‖x‖ = 1:

λ_mín ≤ x^TAx ≤ λ_máx

y los extremos se alcanzan en los autovectores unitarios correspondientes. ▸ Demostración en dos renglones: con y = U^Tx se tiene ‖y‖ = ‖x‖ = 1 y x^TAx = Σλ_iy_i², que con Σy_i² = 1 es un promedio ponderado de los λ_i, y todo promedio está entre el mínimo y el máximo. ∎

Escalado: si ‖x‖ = R en vez de 1, poné x = R·x̂ con ‖x̂‖ = 1 y sale R²λ_mín ≤ x^TAx ≤ R²λ_máx.

La consecuencia que sí cae en el parcial actual: aplicando Rayleigh a A^TA y usando ‖Ax‖² = x^TA^TAx, se obtiene máx_‖x‖=1‖Ax‖ = σ₁ y mín_‖x‖=1‖Ax‖ = σ_n. Ésa es la justificación teórica de los tres ejercicios de la sección 8, y es lo que hay que citar.

Cómo se usa · 16/VI/2018 ej 3, segunda parte

Para la matriz simétrica A hallada (con σ(A) = {1, 4, 6}), determinar todos los k ∈ ℝ tales que 4 ≤ x^T(A + kI)x ≤ 64 si x ∈ ℝ³ y ‖x‖² = 4.

▸ A + kI es simétrica con σ(A + kI) = {1+k, 4+k, 6+k}: los autovalores se corren, los autovectores no cambian.
▸ ‖x‖² = 4 ⟹ ‖x‖ = 2 ⟹ por Rayleigh escalado, x^T(A+kI)x recorre todo el intervalo [4(1+k), 4(6+k)] cuando x recorre la esfera de radio 2.
▸ Pedir que ese intervalo esté contenido en [4, 64] es pedir 4(1+k) ≥ 4 y 4(6+k) ≤ 64, o sea k ≥ 0 y k ≤ 10.
▸ Respuesta: k ∈ [0, 10]. ▸ El detalle que hay que decir para que cuente: los extremos se alcanzan (en los autovectores), así que las desigualdades son las correctas y no hay que aflojarlas.

Rayleigh exige A simétrica, y la cota es sobre x^TAx, no sobre ‖Ax‖

Dos confusiones distintas y las dos se cobran:
▸ Si A no es simétrica, sus autovalores pueden ser complejos y la desigualdad no tiene sentido. Simetrizá primero: x^TMx = x^T((M+M^T)/2)x.
▸ x^TAx y ‖Ax‖ son cosas distintas. El primero se acota con los autovalores de A; el segundo con los valores singulares. Coinciden en valor absoluto sólo si A es simétrica. Para A = [[3,−8],[4,6]] los autovalores son complejos y los valores singulares son 10 y 5, bien reales.

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8 DVS, seudoinversa y cuadrados mínimos: el bloque del final

El dato más fuerte de toda esta guía

En los 10 segundos parciales del régimen actual, el ejercicio 5 es DVS, seudoinversa, cuadrados mínimos o imagen de la esfera. Los 10. Sin una excepción. Y en ocho de ellos hay además otro ejercicio de este bloque en la posición 4. Sumando el ajuste por cuadrados mínimos que abre el 07/07/25, son 19 de los 50 ejercicios.

Si tenés que elegir dónde poner la última semana de estudio y ya sabés construir la simétrica, es acá.

8.1 · Los cinco moldes de este bloque, y cómo distinguirlos en diez segundos

Lo que dice el enunciado	Molde	Qué construís
"Hallar una descomposición en valores singulares de A"	DVS directa	U, Σ, V completas (o U_r, D, V_r si dice "reducida")
"Hallar A^†, la seudoinversa de Moore-Penrose de A"	Seudoinversa	Sólo la DVS reducida: A^† = V_rD⁻¹U_r^T. No completes bases.
"Usando la técnica de mínimos cuadrados, ajustar los siguientes datos mediante y = …"	Ajuste	Matriz de diseño M y ecuaciones normales M^TMc = M^Ty. Nada de DVS.
"Hallar todas las soluciones por cuadrados mínimos de Ax = b" / "la de norma mínima"	C.m. general	x* = A^†b, y todas son x* + nul(A)
"Caracterizar geométricamente y graficar la imagen por T de la esfera unitaria" / "hallar los x que maximizan ‖T(x)‖"	Geometría	σ_i y u_i: los semiejes y sus direcciones

La confusión que arruina el ejercicio 5: "cuadrados mínimos" significa dos cosas distintas

▸ Si te dan una tabla de datos (x_i, y_i) y una familia de funciones, la incógnita son los coeficientes de la función, la matriz A se llama matriz de diseño y la armás vos. Nunca hace falta la seudoinversa: A tiene columnas independientes y sale con (A^TA)⁻¹A^T.
▸ Si te dan una matriz A y un vector b, la incógnita es x y casi siempre nul(A) ≠ {0}, así que hay infinitas soluciones y hay que dar la familia completa y la de norma mínima, con la seudoinversa.
Los dos aparecen en el mismo examen (31/VII/24 tiene los dos, ejercicios 4 y 5). Confundirlos cuesta los dos.

8.2 · Ajuste de datos: el molde que la Guía 4 no trae

Cuatro de los diez exámenes lo tienen, y la Guía 4 no lo practica

Está en el capítulo 3 del apunte oficial (de Pustilnik y Muszkats), no en la Guía 4. Si estudiás sólo con la guía de TP, llegás al examen sin haberlo hecho nunca. Es el agujero más grande entre "lo que practicás" y "lo que toman".

El procedimiento es mecánico y siempre igual:

Escribí el sistema incompatible. Una ecuación por dato: para cada (x_i, y_i), la ecuación es "la función evaluada en x_i vale y_i". Con cinco datos y tres coeficientes, son 5 ecuaciones y 3 incógnitas.
Armá la matriz de diseño M poniendo, en cada fila, los valores de las funciones base evaluadas en x_i. Recta y = mx + b ⟹ fila [x_i, 1]. Parábola y = ax² + bx + c ⟹ fila [x_i², x_i, 1].
Ecuaciones normales M^TMc = M^Ty, donde c es el vector de coeficientes. M^TM es chiquita (2×2 o 3×3) y simétrica.
Resolvé y escribí la función, no el vector de coeficientes sueltos.

El atajo que la cátedra te regala: los datos son simétricos

En los dos ajustes de parábola (27/VI/24 14hs y 31/VII/24), los x_i son −2, −1, 0, 1, 2. Con esa simetría:

Σx_i = 0 · Σx_i³ = 0 · Σx_i² = 10 · Σx_i⁴ = 34

y entonces M^TM = [[34,0,10],[0,10,0],[10,0,5]] siempre, sin importar los y_i. ▸ Como la fila del medio queda aislada, b = (Σx_iy_i)/10 sale de una división, y a y c salen de un sistema 2×2. ▸ Si además los y_i son simétricos (y₋₂ = y₂, y₋₁ = y₁), entonces Σx_iy_i = 0 y b = 0: la parábola no tiene término lineal. En los dos ajustes de parábola reales pasa exactamente eso.

27/VI/24 14hs ej 5 · parábola, hecho entero

Ajustar x = (−2,−1,0,1,2), y = (5,3,2,3,5) mediante y = ax² + bx + c.

▸ M = [[4,−2,1],[1,−1,1],[0,0,1],[1,1,1],[4,2,1]], y = [5,3,2,3,5]^T, incógnita c = [a,b,c]^T.
▸ M^TM = [[34,0,10],[0,10,0],[10,0,5]] (la de arriba).
▸ M^Ty = [Σx_i²y_i, Σx_iy_i, Σy_i]^T = [4·5 + 1·3 + 0 + 1·3 + 4·5, −10−3+0+3+10, 5+3+2+3+5]^T = [46, 0, 18]^T.
▸ Fila del medio: 10b = 0 ⟹ b = 0. ▸ Sistema restante: 34a + 10c = 46 y 10a + 5c = 18. De la segunda, c = (18 − 10a)/5; reemplazando: 34a + 2(18 − 10a) = 46 ⟹ 14a = 10 ⟹ a = 5/7, y c = (18 − 50/7)/5 = 76/35.
▸ Respuesta: y = (5/7)x² + 76/35. ≈ 0,714x² + 2,171. Chequeo de sensatez: en x = 0 el ajuste vale 2,17 contra el dato 2, y en x = ±2 vale 5,03 contra 5. Cierra.

Examen	Datos	Modelo	Respuesta verificada
27/VI/24 14hs	x = (−2,−1,0,1,2), y = (5,3,2,3,5)	parábola	y = (5/7)x² + 76/35
31/VII/24 (R)	x = (−2,−1,0,1,2), y = (4,1,−1,1,4)	parábola	y = (8/7)x² − 17/35
10/VII/24 (R)	x = (0,1,2,3,4), y = (1,2,4,6,8)	recta	y = (9/5)x + 3/5
07/07/25 (R)	x = (1,2,3,4,5), y = (4,5,11,12,13)	recta	y = (5/2)x + 3/2

Los tres errores del ajuste

1 · Poner los datos como incógnitas. El sistema es M·c = y, con c = coeficientes. Si armás una matriz con los y_i adentro, invertiste el problema.
2 · Olvidar la columna de unos. El término independiente c corresponde a la función constante 1, que evaluada en cualquier x_i vale 1. Sin esa columna estás ajustando y = ax² + bx, que pasa por el origen.
3 · Entregar el vector [a,b,c]. El enunciado pide ajustar mediante y = ax²+bx+c: la respuesta es la función escrita.

8.3 · Construir una DVS, y reconocer una ya construida

Los siete pasos, y la regla de oro

(1) Autovalores de A^TA, ordenados de mayor a menor. ▸ (2) b.o.n. {v_i} de autovectores de A^TA (existe por el espectral: A^TA es simétrica y semidefinida positiva, porque x^TA^TAx = ‖Ax‖² ≥ 0). ▸ (3) σ_i = √λ_i. ▸ (4) u_i = Av_i/σ_i para i ≤ r. ▸ (5) Si r < m, completá {u_i} a b.o.n. de ℝ^m con una b.o.n. de nul(A^T). ▸ (6) V = [v₁ ⋯ v_n], U = [u₁ ⋯ u_m], Σ ∈ ℝ^m×n con los σ_i en la diagonal. ▸ (7) A = UΣV^T.

Regla de oro: diagonalizá la más chica entre A^TA y AA^T. Si A es 2×3, los autovalores no nulos de AA^T (2×2) son los mismos que los de A^TA (3×3), y te ahorrás una cúbica.

Tamaños: A ∈ ℝ^m×n ⟹ U ∈ ℝ^m×m, Σ ∈ ℝ^m×n, V ∈ ℝ^n×n. Σ es la única que no es cuadrada, y tiene la forma de A.

10/VII/24 ej 4 · rango 1, la DVS más barata que existe

Hallar una descomposición en valores singulares de A = [[8,8,4],[10,10,5]].

▸ Mirá las filas antes de calcular nada. [8,8,4] = 4·[2,2,1] y [10,10,5] = 5·[2,2,1]: las dos filas son múltiplos del mismo vector. Entonces A = [4,5]^T·[2,2,1], un producto exterior, y rango(A) = 1: hay un solo valor singular no nulo.
▸ ‖[4,5]‖ = √41 y ‖[2,2,1]‖ = 3, así que σ₁ = 3√41, con u₁ = [4,5]^T/√41 y v₁ = [2,2,1]^T/3.
▸ Para completar V: nul(A) = {x : 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 0}, de dimensión 2. Una base ortogonal: [1,−1,0]^T y [1,1,−4]^T (chequeo: son ⊥ entre sí y ⊥ a [2,2,1] ✓). Normalizadas: [1,−1,0]^T/√2 y [1,1,−4]^T/(3√2).
▸ Para completar U: nul(A^T) = gen{[−5,4]^T}, normalizado [−5,4]^T/√41.

U = (1/√41)[[4,−5],[5,4]] · Σ = [[3√41, 0, 0],[0,0,0]] · V = [ [2,2,1]^T/3 | [1,−1,0]^T/√2 | [1,1,−4]^T/(3√2) ]

▸ Verificación barata: Σσ_i² tiene que dar tr(A^TA) = ‖A‖_F² = 64+64+16+100+100+25 = 369, y (3√41)² = 9·41 = 369 ✓.

7/VIII/24 ej 4 · rango 2, con un valor singular doble

Hallar una DVS de A = [[0,1,0],[1,0,1],[0,1,0]].

▸ A^TA = [[1,0,1],[0,2,0],[1,0,1]], con autovalores 2 (doble) y 0. Entonces σ₁ = σ₂ = √2 y r = 2.
▸ S₂ = gen{[0,1,0]^T, [1,0,1]^T}, que ya es ortogonal: v₁ = [0,1,0]^T, v₂ = [1,0,1]^T/√2. ▸ S₀ = gen{[1,0,−1]^T}: v₃ = [1,0,−1]^T/√2.
▸ u₁ = Av₁/√2 = [1,0,1]^T/√2. ▸ u₂ = Av₂/√2 = [0,2,0]^T/(√2·√2) = [0,1,0]^T. ▸ u₃: b.o.n. de nul(A^T) = nul(A) = gen{[1,0,−1]^T/√2}.

U = [ [1,0,1]^T/√2 | [0,1,0]^T | [1,0,−1]^T/√2 ] · Σ = diag(√2, √2, 0) · V = [ [0,1,0]^T | [1,0,1]^T/√2 | [1,0,−1]^T/√2 ]

▸ Y de yapa la seudoinversa, que en el 27/VI/24 14hs piden para esta misma matriz (escrita como A = [1,0,1]^T[0,1,0] + [0,1,0]^T[1,0,1]): A^† = (1/√2)v₁u₁^T + (1/√2)v₂u₂^T = A/2 = (1/2)[[0,1,0],[1,0,1],[0,1,0]]. ▸ Sale así porque A es simétrica con σ(A) = {√2, −√2, 0} y para simétricas A^† se arma invirtiendo los autovalores no nulos.

Reconocer una DVS ya hecha · el patrón que aparece en cinco exámenes

Te dan A escrita como suma de productos exteriores c₁a₁b₁^T + c₂a₂b₂^T + ⋯, o como producto de tres matrices. El procedimiento:
1. Calculá las normas de todos los a_i y b_i. No siempre salen enteras: en los dos turnos del 4/XII/24 (14 y 17 hs) sí (‖a_i‖ = 3 y ‖b_i‖ = 7), pero en el 27/VI/24 9hs salen √6, √3 y √2, en el 26/VI/24 los a_i tienen norma √5 y en el 4/XII/24 3.^er turno salen √2 y 6√3. Cuando quedan raíces, no te asustes: se cancelan al armar σ_i.
2. Normalizá: u_i = a_i/‖a_i‖, v_i = b_i/‖b_i‖, y el escalar que sobra es σ_i = c_i‖a_i‖‖b_i‖.
3. Verificá que {u_i} sea ortonormal y que {v_i} sea ortonormal. Si no lo son, no es una DVS y no podés leer nada de ahí.
4. Reordená de mayor a menor σ. Y si algún σ sale negativo, cambiale el signo al u_i correspondiente.

El paso 3 no es una formalidad: es el que te dice si el ejercicio salió, y hay un examen real donde falla (abajo).

La errata que la cátedra arrastra desde el 4.18(b) de la Guía 4, y cómo aparece en dos parciales

La terna de vectores favorita de esta cátedra es [−1,2,2], [2,−1,2], [2,2,−1] (ortogonales, norma 3) y su prima [−2,6,−3], [6,3,2], [−3,2,6] (ortogonales, norma 7). Con signos correctos, todo cierra y los valores singulares son enteros. Con un signo cambiado, no.

▸ 4/XII/24 14hs ej 5 trae A = 5[−1,2,2]^T[−2,6,−3] + 3[2,−1,2]^T[6,3,2] + 2[2,2,−1]^T[−3,2,6]. Verificás: las tres columnas son ortogonales entre sí (norma 3) y las tres filas también (norma 7). Es una DVS legítima, con σ = 5·3·7 = 105, 3·3·7 = 63 y 2·3·7 = 42, ya ordenados. La imagen de la esfera es el elipsoide de semiejes 105, 63 y 42 en las direcciones [−1,2,2]/3, [2,−1,2]/3 y [2,2,−1]/3.

▸ 4/XII/24 17hs ej 5 trae A = 5[2,2,−1]^T[6,3,2] + 3[−1,2,2]^T[2,6,−3] + 2[2,−1,2]^T[3,2,6]. Acá los vectores fila son [6,3,2], [2,6,−3] y [3,2,6], y [6,3,2]·[2,6,−3] = 12 + 18 − 6 = 24 ≠ 0: no son ortogonales. Tal como está impreso, esa expresión no es una DVS, y los valores singulares verdaderos son irracionales feos (≈ 114,46 · 57,09 · 19,96). Es la misma errata del 4.18(b) de la Guía 4.

Qué hacer si te toca: no pelees con la cuenta. Escribí explícitamente "los vectores [6,3,2] y [2,6,−3] no son ortogonales (su producto interno vale 24), por lo tanto esta expresión no es una descomposición en valores singulares", y resolvé el caso corregido (cambiando los signos a [−2,6,−3] y [−3,2,6]) dejando dicho cuál es el ajuste. Con la corrección, σ = 105, 63, 42 y el máximo de ‖T(x)‖ es 105, alcanzado en ±v₁ = ±[6,3,2]^T/7. Esa observación es exactamente la justificación teórica que la cátedra pide.

8.4 · Seudoinversa y cuadrados mínimos

Las cinco líneas que resuelven los ocho ejercicios de este molde

A^† = V_rD⁻¹U_r^T = (1/σ₁)v₁u₁^T + ⋯ + (1/σ_r)v_ru_r^T

▸ A^†A = P_fil(A) · AA^† = P_col(A)
▸ x* = A^†b es LA solución por cuadrados mínimos de norma mínima, y es la única que cae en fil(A).
▸ Todas las soluciones por c.m.: x = x* + n con n ∈ nul(A). Si nul(A) = {0}, es única.
▸ Si rango(A) = n (columnas independientes), A^† = (A^TA)⁻¹A^T. Si no, esa fórmula no existe y hay que ir por la DVS reducida.

El atajo de rango 1, que sale en tres exámenes

Si A = uv^T con u ∈ ℝ^m y v ∈ ℝⁿ, entonces r = 1, σ₁ = ‖u‖‖v‖, u₁ = u/‖u‖, v₁ = v/‖v‖, y

A^† = (1/σ₁)v₁u₁^T = vu^T / (‖u‖²‖v‖²)

Es decir: A^† es A transpuesta dividida por ‖u‖²‖v‖². Una división y listo. ▸ Y x* = A^†b = [(u·b)/(‖u‖²‖v‖²)]·v.

Cómo detectar el rango 1: todas las filas son múltiplos de un mismo vector (o todas las columnas). Aparece en 10/VII/24 ej 4, 7/VIII/24 ej 5 y 4/XII/24 3.^er turno ej 4.

7/VIII/24 ej 5 · el enunciado que te da la DVS en palabras

Sea A ∈ ℝ^3×3 de rango 1 tal que [2,1,2]^T ∈ fil(A) y A[2,1,2]^T = [4,4,−2]^T. Hallar A^† y usarla para determinar la solución por cuadrados mínimos de norma mínima de Ax = [1,1,1]^T.

▸ Reconstruí A. Rango 1 y [2,1,2]^T ∈ fil(A) ⟹ fil(A) = gen{[2,1,2]^T} (una recta ya llena el espacio fila). Entonces A = w·[2,1,2] para algún w ∈ ℝ³.
▸ A[2,1,2]^T = w·(2·2+1·1+2·2) = 9w = [4,4,−2]^T ⟹ w = [4,4,−2]^T/9, y A = (1/9)[[8,4,8],[8,4,8],[−4,−2,−4]].
▸ Los datos de la DVS: u₁ = w/‖w‖ = [4,4,−2]^T/6 = [2,2,−1]^T/3, v₁ = [2,1,2]^T/3, y σ₁ = ‖w‖·‖[2,1,2]‖ = (6/9)·3 = 2.
▸ A^† = (1/2)v₁u₁^T = (1/2)(1/9)[2,1,2]^T[2,2,−1] = (1/18)[[4,4,−2],[2,2,−1],[4,4,−2]].
▸ x* = A^†[1,1,1]^T = (1/18)[4+4−2, 2+2−1, 4+4−2]^T = (1/18)[6,3,6]^T = [1/3, 1/6, 1/3]^T.
▸ Control: x* tiene que estar en fil(A) = gen{[2,1,2]^T}, y efectivamente [1/3,1/6,1/3] = (1/6)[2,1,2] ✓. Hacé siempre ese control: si x* no cae en fil(A), la cuenta está mal.

31/VII/24 ej 4 · cuando A ya es una proyección

Sea A la matriz en base canónica de la proyección ortogonal de ℝ³ sobre el plano {x : x₁ − x₂ − x₃ = 0}. Hallar todas las soluciones por cuadrados mínimos de Ax = [1,1,1]^T y determinar la de norma mínima.

▸ n = [1,−1,−1]^T, ‖n‖² = 3, y A = I − nn^T/3 = (1/3)[[2,1,1],[1,2,−1],[1,−1,2]].
▸ El atajo: una proyección ortogonal es simétrica e idempotente, y su seudoinversa es ella misma: A^† = A. Porque sus autovalores son 1 (doble) y 0, y A^† invierte los no nulos.
▸ x* = A^†b = Ab = (1/3)[2+1+1, 1+2−1, 1−1+2]^T = (1/3)[4,2,2]^T.
▸ nul(A) = gen{[1,−1,−1]^T}, así que todas las soluciones son x = (1/3)[4,2,2]^T + t[1,−1,−1]^T, t ∈ ℝ, y la de norma mínima es x* = (1/3)[4,2,2]^T.
▸ Control: x* ⊥ nul(A): (4 − 2 − 2)/3 = 0 ✓.

8.5 · La geometría: qué es la imagen de la esfera

La cuenta, y la tabla que responde los tres ejercicios

Con A = UΣV^T de rango r y el cambio x = Vy (que no cambia la norma), z = Ax = σ₁y₁u₁ + ⋯ + σ_ry_ru_r. Llamando w_i a las coordenadas de z en la b.o.n. {u_i}:

w₁²/σ₁² + ⋯ + w_r²/σ_r² = 1 si r = n · ≤ 1 si r < n, con w_r+1 = ⋯ = w_m = 0

Caso	La imagen de la esfera es
r = n = m = 2	Elipse (sólo el borde) de semiejes σ₁ sobre gen{u₁} y σ₂ sobre gen{u₂}
r = n = m = 3	Elipsoide (sólo la cáscara) de semiejes σ₁, σ₂, σ₃ sobre u₁, u₂, u₃
r = 2 < n	Elipse llena (con su interior), en el plano col(A) = gen{u₁,u₂}
r = 1	Segmento de extremos ±σ₁u₁
r = 0	El punto {0}

Y las tres preguntas asociadas: los x de norma 1 que maximizan ‖T(x)‖ son ±v₁ y el máximo vale σ₁; los que minimizan son ±v_n y el mínimo vale σ_n. Sus imágenes son los extremos de los ejes.

4/XII/24 3.^er turno ej 5 · elipse llena en ℝ²

T : ℝ³ → ℝ² con A = [1,1]^T[6,6,6] + [−1,1]^T[0,1,−1]. Caracterizar y graficar la imagen de la esfera unitaria de ℝ³.

▸ Chequeo de ortogonalidad: [1,1]·[−1,1] = 0 ✓ y [6,6,6]·[0,1,−1] = 0 + 6 − 6 = 0 ✓. Es una DVS ya hecha.
▸ Normas: ‖[1,1]‖ = √2, ‖[−1,1]‖ = √2, ‖[6,6,6]‖ = 6√3, ‖[0,1,−1]‖ = √2.
▸ Valores singulares: σ₁ = √2·6√3 = 6√6 ≈ 14,7 con u₁ = [1,1]^T/√2, y σ₂ = √2·√2 = 2 con u₂ = [−1,1]^T/√2. Ya están ordenados.
▸ r = 2 y n = 3, o sea r < n: la esfera se aplasta (nul(A) es una recta) y la imagen es la elipse llena.
▸ Respuesta: la región elíptica con centro en el origen, semieje mayor 6√6 en la dirección de la bisectriz [1,1]^T/√2 y semieje menor 2 en la dirección [−1,1]^T/√2, incluido su interior. ▸ Verificación: A = [[6,5,7],[6,7,5]] y tr(AA^T) = 36+25+49+36+49+25 = 220 = 216 + 4 = (6√6)² + 2² ✓.

Cuando r < n la imagen es la elipse LLENA, no el borde

Es el error más frecuente de este molde. Si el núcleo no es trivial, distintos puntos de la esfera van a parar al mismo lugar y hay que agregar el interior. La cuenta lo dice sola: con r < n queda Σ_i≤ry_i² ≤ 1, con desigualdad, porque las coordenadas y_r+1,…,y_n se llevan parte de la norma. ▸ Regla mnemotécnica: si A tiene núcleo, la imagen es maciza.

Los σ_i NO son los autovalores de A

Los valores singulares son las raíces de los autovalores de A^TA. Coinciden con |λ_i| sólo si A es simétrica. Para A = [[3,−8],[4,6]] (el 4.16 de la Guía) los autovalores son complejos y los valores singulares son 10 y 5. Nunca uses los autovalores de A para describir la elipse imagen.

8.6 · El molde inverso: hallar A a partir de datos de su DVS

07/07/25 ej 4 · el más difícil de los cincuenta

Hallar una matriz A que cumpla simultáneamente: Nul(A) = gen{[1,1,0]^T}, [0,1,1]^T ∈ Nul(A^T), tr(A^TA) = 29, máx_‖x‖=1‖Ax‖ = 5.

▸ Traducción de cada dato:
· Nul(A) = gen{[1,1,0]^T} de dimensión 1 ⟹ A es 3×3 (o al menos con 3 columnas) y rango(A) = 2, o sea r = 2.
· tr(A^TA) = Σσ_i² = 29. Es la norma de Frobenius al cuadrado, y sale de que tr(A^TA) es la suma de los autovalores de A^TA.
· máx_‖x‖=1‖Ax‖ = σ₁ = 5 ⟹ σ₁² = 25 ⟹ σ₂² = 4 ⟹ σ₂ = 2.
· fil(A) = nul(A)^⊥ = {x : x₁ + x₂ = 0} = gen{[1,−1,0]^T, [0,0,1]^T} ⟹ ahí viven v₁ y v₂.
· dim nul(A^T) = 3 − 2 = 1, así que nul(A^T) = gen{[0,1,1]^T} y col(A) = nul(A^T)^⊥ = gen{[1,0,0]^T, [0,1,−1]^T} ⟹ ahí viven u₁ y u₂.
▸ Ensamblado. Elegimos v₁ = [1,−1,0]^T/√2, v₂ = [0,0,1]^T, u₁ = [1,0,0]^T, u₂ = [0,1,−1]^T/√2, y

A = 5u₁v₁^T + 2u₂v₂^T = [[5/√2, −5/√2, 0],[0,0,√2],[0,0,−√2]]

▸ Verificación completa: A[1,1,0]^T = 0 ✓ · A^T[0,1,1]^T = [0,0,√2−√2]^T = 0 ✓ · tr(A^TA) = 25/2 + 25/2 + 2 + 2 = 29 ✓ · σ₁ = 5 ✓.
▸ No es única: cualquier otra elección de b.o.n. de fil(A) y col(A) sirve, y hay infinitas. Decilo.

El diccionario de este molde inverso

Dato	Traducción
máx_‖x‖=1‖Ax‖ = M	σ₁ = M
mín_‖x‖=1‖Ax‖ = m	σ_n = m (cuidado: si r < n el mínimo es 0)
tr(A^TA) = S	Σσ_i² = S
v ∈ nul(A)	v es un v_i con σ_i = 0, y fil(A) ⊆ v^⊥
u ∈ nul(A^T)	u es un u_i sobrante, y col(A) ⊆ u^⊥
rango(A) = r	Hay exactamente r valores singulares no nulos
v es autovector de A^TA	v es un vector singular derecho (a menos de normalizar)
Av = w	Si v/‖v‖ = v_i, entonces σ_i = ‖w‖/‖v‖ y u_i = w/‖w‖

Es el 4.15 de la Guía 4 con otros números, y aparece una vez en los diez exámenes.

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9 Banco real · los 50 ejercicios de los 10 parciales, resueltos

Acá están los 50 ejercicios de los 10 segundos parciales del régimen actual, transcriptos textuales y resueltos uno por uno. Cada resultado numérico (polinomios característicos, autoespacios, matrices simétricas, valores singulares, seudoinversas, ajustes) fue verificado con sympy antes de escribirlo.

De dónde salen, y cuánto vale cada uno

Procedencia: los 10 exámenes 2024–2025 son fotos de exámenes reales que compartieron estudiantes en repositorios públicos, junto con la resolución manuscrita de un docente o ayudante. Son fotos del enunciado impreso: se ve el papel real del examen, con los casilleros de Apellido / Legajo / Curso y los datos personales tachados.

Confiabilidad del enunciado: alta en los 10. No son reconstrucciones ni "modelos": es el papel fotografiado.
Confiabilidad de la fecha: alta en 7, media en 3. En siete el encabezado impreso trae cuatrimestre, fecha y hora. En tres (26/06/2024, el tercer turno del 4/XII/24 y el 07/07/2025) la foto está recortada arriba y la fecha sale del nombre del archivo.

Lo que esto NO es: material publicado por la cátedra en el campus. La cátedra no distribuye segundos parciales resueltos. Lo que sí es palabra de la cátedra son los enunciados impresos que se ven en las fotos.

9.1 · Los diez exámenes, con su encabezado

#	Encabezado impreso	Confiabilidad de la fecha
A1	Segundo parcial · Primer cuatrimestre 2024 · 27/VI/24, 9:00 hs	alta
A2	Segundo parcial · Primer cuatrimestre 2024 · 27/VI/24, 14:00 hs	alta
A3	(recortado) · 26/06/2024	media
A4	Segundo parcial (R) · Primer cuatrimestre 2024 · 10/VII/24, 9:00 hs	alta
A5	Segundo parcial (R) · Primer cuatrimestre 2024 · 31/VII/24, 9:00 hs	alta
A6	Segundo parcial (R) · Primer cuatrimestre 2024 · 7/VIII/24, 9:00 hs	alta
A7	Segundo parcial · Segundo cuatrimestre 2024 · 4/XII/24, 14:00 hs	alta
A8	Segundo parcial · Segundo cuatrimestre 2024 · 4/XII/24, 17:00 hs	alta
A9	(recortado) · 4/XII/24, tercer turno	media
A10	(recortado) · recuperatorio del segundo parcial, 07/07/2025	media

El encabezado de los que se ven completos dice: ÁLGEBRA II (61.08 / 81.02) · ÁLGEBRA LINEAL (CB002), "Segundo parcial", "Duración: 3 horas", el cuatrimestre y la fecha con la hora. Los cinco ejercicios van numerados 1 a 5 y no hay puntajes por ejercicio.

9.2 · Qué hay además, y qué no se pudo conseguir

Qué	Estado
4 segundas partes de parcial del régimen anterior (2/XI/2016 Tema 1, 3/VI/2017 Tema 4 con resolución manuscrita, 6/XII/2017 Tema 2, 16/VI/2018)	Conseguidos, con encabezado institucional. Otro formato: se aprobaba con 2 ejercicios de 3 o 4, e incluían producto interno y formas cuadráticas. Dos de sus ejercicios se usan en la sección 7 (6/XII/2017 ej 4 y 16/VI/2018 ej 3).
Un 2.º parcial de 1996 (altillo.com, Tema 13)	Mutilado: las matrices están como imágenes rotas. Además su programa incluía ecuaciones diferenciales y cuádricas, y ya no coincide con la unidad 4 actual. Descartado.
El sitio materias.fi.uba.ar/6108	Sin responder.
Studocu	"Resolución 2 Parcial" existe pero está detrás de muro de pago. No se usó.
Segundos parciales en altillo.com	Se revisó el índice completo de UBA-Ingeniería: de Álgebra II hay un solo segundo parcial (el de 1996), el resto son primeros parciales y un final.

Cómo usar este banco, para que sirva de verdad

No los leas. Resolvelos. Cada uno tiene el enunciado visible y la resolución oculta: escribí tu respuesta en papel antes de revelar. ▸ El orden que rinde es por molde, no por examen: hacé los siete de diagonalización con parámetro seguidos, después los nueve de simétrica, después los del bloque DVS. Así ves el patrón, que es lo que te va a salvar en el parcial. ▸ Recién en la última semana hacé un examen completo cronometrado, y para eso está el simulacro de la sección 10.

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10 Simulacro · un segundo parcial completo

Cómo se usa

Tres horas de reloj, hoja en blanco, calculadora, y tus 4 carillas manuscritas. Nada más. Cerrás la guía, ponés el timer y no lo tocás. ▸ Con el criterio del curso 5, aprobás con 3 de 5 correctos y completos, con la justificación escrita. Un ejercicio "casi" no cuenta. ▸ Hacelo en la semana 6, no antes: hacerlo temprano no mide nada porque todavía no automatizaste los moldes.

Cómo está calibrado. Los cinco ejercicios reproducen los cinco moldes más frecuentes en sus posiciones más frecuentes: el 1 es diagonalización con parámetro (7 de 10 exámenes reales lo tienen ahí, y 8 de 10 abren con diagonalización), el 2 es construir la simétrica (9 de 10 lo tienen en algún lado), el 3 es una ecuación matricial (4 de 10), el 4 es seudoinversa (5 de 10) y el 5 es ajuste por cuadrados mínimos (4 de 10, y el bloque DVS/c.m. está en el 5 de 10 de 10). Los números son inventados; los moldes, no.

10.1 · El enunciado

ÁLGEBRA II (61.08 / 81.02) · ÁLGEBRA LINEAL (CB002) · Simulacro de segundo parcial · Duración: 3 horas · Simulacro construido para esta guía, no es un examen de la cátedra.

Sea A ∈ ℝ^3×3 la matriz definida por

A = [[4, −2, 0], [0, a²−3a, 0], [0, −2, 4]]

Hallar todos los a ∈ ℝ tales que A es diagonalizable.

Hallar una matriz simétrica A ∈ ℝ^3×3 que posea las siguientes propiedades: σ(A) ⊂ (0, +∞), rango(A − 3I) = 1, A³ − 6A² es singular y el plano { x ∈ ℝ³ : x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 0 } es un autoespacio de A.

Hallar una matriz A ∈ ℝ^2×2 tal que traza(A) = 3 y

A² − 5A + 6I = [[3, −3], [−3, 3]]

Sea A ∈ ℝ^3×3 una matriz de rango 1 tal que [1, 2, 2]^T ∈ fil(A) y A[1, 2, 2]^T = [3, −6, 6]^T. Hallar A^†, la seudoinversa de Moore-Penrose de A, y utilizarla para determinar la solución por cuadrados mínimos de norma mínima de la ecuación Ax = [1, 0, 1]^T.

Usando la técnica de mínimos cuadrados, ajustar los siguientes datos

x | −2 −1 0 1 2 y | 6 3 2 3 7

mediante una parábola y = ax² + bx + c.

10.2 · Cómo administrar las tres horas

Minuto	Qué hacés
0–5	Leés los cinco y marcás cuáles tres cerrás seguro. No empieces por el 1 por ser el 1.
5–40	Primer ejercicio elegido, completo y justificado. Si a los 40 no cerró, lo dejás y pasás.
40–80	Segundo elegido.
80–120	Tercero. Acá ya deberías tener el examen aprobado.
120–150	Cuarto ejercicio, o vuelta a lo que quedó abierto.
150–180	Verificación. Traza y determinante de cada matriz que construiste; AP = PΛ; A^†b ∈ fil(A); reemplazar el ajuste en dos datos. Esta media hora vale más que el quinto ejercicio.

Los cinco chequeos de verificación, uno por ejercicio

1. Sustituí un valor de a que no esté en tu lista de excepciones y comprobá que ahí hay tres autovalores distintos.
2. traza(A) = 2α + β y det(A) = α²β: los dos tienen que dar lo que predijiste antes de armar la matriz.
3. Calculá p(A) con la A que construiste y compará con B, entrada por entrada. Son 2×2.
4. x* tiene que estar en fil(A), o sea ser múltiplo de [1,2,2]^T. Y A^† tiene que tener rango 1.
5. Evaluá tu parábola en x = 0 y en x = 2 y compará con los datos: tienen que estar cerca, no iguales.

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1.1 · El régimen del curso 5 (Palacios), 2C2026

1.2 · Las fechas del curso 5, contadas hacia atrás desde el 2/12

1.3 · El temario, y qué peso tiene cada tema en los exámenes reales

1.4 · Qué se arrastra de las unidades 1 a 3

2.1 · Carilla 1 · Autovalores y diagonalización

2.2 · Carilla 2 · Simétricas, ortogonales y el teorema espectral

2.3 · Carilla 3 · DVS y seudoinversa

2.4 · Carilla 4 · Cuadrados mínimos, Rayleigh y ajuste de datos

3.1 · El procedimiento, en cinco pasos y sin pensar

3.2 · Los siete enunciados reales, uno al lado del otro

3.3 · El único que pide diagonalizar de verdad

3.4 · Las tres formas de perder este ejercicio teniéndolo

4.1 · El algoritmo para "hallar A tal que p(A) = B"

4.2 · La condición extra y qué descarta cada una

4.3 · Los dos ejercicios de "hallar σ(p(A))"

5.1 · El diccionario: cada condición del enunciado dice una sola cosa

5.2 · El procedimiento, en cuatro pasos

5.3 · Cuando la respuesta no es única (y hay que decirlo)

5.4 · La familia [[4,−1,1],[−1,4,−1],[1,−1,4]]

5.5 · Las trampas de esta sección

6.1 · "La partícula que recibe impactos"

6.2 · límk→∞ Akx

6.3 · Sistemas de ecuaciones diferenciales X′ = AX

7.1 · Isometrías de ℝ2: rotación o simetría, y nada más

7.2 · Formas cuadráticas: la clasificación en tres renglones

7.3 · Rayleigh: la herramienta para acotar xTMx

8.1 · Los cinco moldes de este bloque, y cómo distinguirlos en diez segundos

8.2 · Ajuste de datos: el molde que la Guía 4 no trae

8.3 · Construir una DVS, y reconocer una ya construida

8.4 · Seudoinversa y cuadrados mínimos

8.5 · La geometría: qué es la imagen de la esfera

8.6 · El molde inverso: hallar A a partir de datos de su DVS

9.1 · Los diez exámenes, con su encabezado

9.2 · Qué hay además, y qué no se pudo conseguir

10.1 · El enunciado

10.2 · Cómo administrar las tres horas

6.2 · lím_k→∞ A^kx

7.1 · Isometrías de ℝ²: rotación o simetría, y nada más

7.3 · Rayleigh: la herramienta para acotar x^TMx