Álgebra Lineal · Primer parcial

Esta guía no explica la materia: la madre (Álgebra Lineal · Guía completa) ya tiene la teoría con demostraciones y las cuatro guías de trabajos prácticos resueltas. Acá se hace otra cosa: se mira qué toma la cátedra, se convierte cada tema en un procedimiento que se ejecuta en veinte minutos, y se entrena contra los enunciados reales. Si un resultado teórico no cambia lo que vas a escribir en la hoja del parcial, no está.

El régimen del curso 5 (Palacios), 2C2026

Estas son las reglas que el curso 5 publicó en su campus para el 2C2026. Álgebra Lineal (CB002) se dicta en varios cursos y cada uno fija sus fechas y sus pautas: otros cursos pueden tener otras, así que confirmá las del tuyo. Los ejercicios reales y los procedimientos de esta guía te sirven para practicar igual, y cuando más adelante se hable del 21/10, de las 4 carillas o del 3 de 5, se habla de ese curso.

El hallazgo: la posición del ejercicio te dice el tema

Se relevaron 43 parciales reales de esta cátedra, de noviembre de 2021 a agosto de 2026, con 213 ejercicios en total. Salen de dos fuentes: 21 que esta guía reunió primero y 22 de la compilación «Ejercicios Primer Parcial» que la cátedra publicó en el campus el 14/9/2026 (sección «Ejercicios de parciales»), que va del 6/XI/24 al 5/VIII/26. De los 43, 41 tienen encabezado completo (materia, cuatrimestre, fecha y la leyenda de primer parcial, recuperatorio o diferido) y traen 5 ejercicios cada uno; los otros 2 vienen sin encabezado y traen 4. Sobre los 41 fechados, la posición predice el tema, pero con un corte claro en 2026:

Y el reparto por tema, sobre los 213 ejercicios, con la cantidad de parciales fechados en los que aparece cada uno:

Cómo cambió el parcial, cuatrimestre por cuatrimestre

Las letras son los bloques del banco de la sección 9: A subespacios, F coordenadas y cambio de base, B TL, E proyecciones y simetrías, C producto interno, D fibra de la proyección, G cuadrados mínimos, H ecuación diferencial. Cada esqueleto es la secuencia de los cinco ejercicios de un parcial, en orden; las tres últimas columnas cuentan en cuántos parciales del período aparece el tema.

Cómo se reparten las tres horas

Y si te toca la ecuación diferencial

Aparece 4 veces en los 213 ejercicios (ninguna en los 35 parciales desde 2023) y siempre es lineal de segundo orden a coeficientes constantes. En las dos fechas con encabezado (16/XI/21 y 14/XII/22) cae como Ej 3, en el lugar de proyecciones y simetrías; los dos exámenes sin encabezado no siguen el esqueleto y ahí aparece como Ej 4 y como Ej 2. La receta completa entra en diez renglones: pasás todo a la forma y'' + p·y' + q·y = f(x) ▸ resolvés r² + p·r + q = 0 ▸ armás y_h según las raíces (reales distintas: C₁e^r₁x + C₂e^r₂x; doble: (C₁ + C₂x)e^rx; complejas α ± βi: e^αx(C₁cos βx + C₂sen βx)) ▸ si f ≠ 0 proponés y_p de la misma familia que f, multiplicada por x^s con s = multiplicidad del exponente crítico de f como raíz característica ▸ derivás, igualás coeficientes ▸ y recién sobre y_h + y_p imponés y(0) e y'(0).

En el curso 5 se permite un resumen manuscrito de 4 carillas: hecho a mano, sin ejercicios resueltos y sin fotocopias (si cursás en otro curso, confirmá qué permite el tuyo). Eso descarta la estrategia de copiar parciales viejos: lo que entra son definiciones, fórmulas y procedimientos. La restricción es en realidad una ventaja, porque te obliga a escribir la única cosa que se usa bajo presión, el qué hago primero, en vez de teoría que ya sabés.

Carilla 1 · Subespacios y coordenadas (Ej 1; en 2026, Ej 1 y Ej 2)

• Traducciones de enunciado a base. p ∈ ℝ_n[x] con p(a) = p(b) = 0 ⟺ p = (x−a)(x−b)·q, con q de grado ≤ n−2 ▸ base {(x−a)(x−b), x(x−a)(x−b), …}. Y dim ℝ_n[x] = n+1, escrito grande, que es el error de dimensión más común.
• Grassmann: dim(S₁ + S₂) = dim S₁ + dim S₂ − dim(S₁ ∩ S₂).
• Receta de "base de V que contenga base de S₁∩S₂, de S₁ y de S₂": base B₀ de S₁∩S₂ ▸ extender a B₀∪B₁ base de S₁ ▸ extender el mismo B₀ a B₀∪B₂ base de S₂ ▸ B₀∪B₁∪B₂ es base de S₁+S₂ ▸ completar a V.
• Certificado de suma directa S ⊕ T = W (las cuatro cosas): S ⊆ W, T ⊆ W, S ∩ T = {0}, dim S + dim T = dim W.
• Cómo se chequea S ∩ T = {0} de verdad: se le imponen las ecuaciones de S al elemento genérico αu + βv de T, no a u y v por separado.
• Condición necesaria para S₁ ⊕ T = S₂ ⊕ T = W: S₁, S₂ ⊆ W y dim S₁ = dim S₂.
• Cambio de base: [v]_B₂ = M^B₂_B₁·[v]_B₁, y columna j de M^B₂_B₁ = [b_j]_B₂. Al lado: (M^B₂_B₁)⁻¹ = M^B₁_B₂.
• col(u·rᵀ) = gen{u} y fil(u·rᵀ) = gen{r}, con el recordatorio "no metas r adentro de col".
• Coordenadas, las variantes de 2025 y 2026: hacia atrás, [v]_B₁ sale de resolver M·z = [v]_B₂ ▸ mismas coordenadas en dos bases, [p]_B = [p]_C ⟺ (M^C_B − I)·[p]_B = 0 ▸ vector de la base que falta: [q]_B = (c₁, c₂, c₃) es la ecuación q = c₁b₁ + c₂b₂ + c₃b₃. Y al lado: la cátedra escribe [v]^B, con la base arriba.

Carilla 2 · Transformaciones lineales (Ej 2; en 2026, Ej 3)

• El diagrama, dibujado. v ∈ V →(coord. en B) [v]_B →(×A) [T(v)]_C →(combinar con C) T(v) ∈ W. Con la convención al lado: subíndice = base del dominio, superíndice = base del codominio, y [T]_B^C·[v]_B = [T(v)]_C.
• Control estructural: la matriz tiene tantas columnas como dim(dominio) y tantas filas como dim(codominio). Si tu lectura contradice esto, la lectura está mal.
• Núcleo: resolver A z = 0 ▸ traducir cada z con la base del dominio. La base del codominio no se usa.
• Imagen de S = gen{s₁,…}: [s_i]_B ▸ ×A ▸ recombinar con C ▸ depurar y recalcular la dimensión.
• Preimagen de un vector w: [w]_C ▸ resolver A z = [w]_C ▸ traducir ▸ respuesta v_p + Nu(T), que no es subespacio.
• Preimagen de un subespacio gen{w}: resolver el homogéneo A z − α[w]_C = 0 con α incógnita extra. La respuesta sí es subespacio, de dimensión dim(S ∩ Im T) + dim Nu(T).
• Teorema de la dimensión: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim(dominio).

Carilla 3 · Proyecciones, simetrías y ecuación diferencial (Ej 3; en 2026, Ej 4)

• La fórmula única de la familia geométrica. Con W = {x : f(x) = 0} y L = gen{d}: γ = f(x)/f(d) ▸ Π(x) = x − γ·d ▸ Σ(x) = x − 2γ·d. Con la advertencia "f(d) ≠ 0" y "el 2 es obligatorio" en el margen.
• Reconstruir desde Π∘Π = Π: de Π(v) = u sale u ∈ Im (porque Π(u) = u) y v − u ∈ Nu.
• Reconstruir desde Σ∘Σ = I: de Σ(v) = u sale v + u ∈ E₁ (el plano) y v − u ∈ E₋₁ (la recta).
• Desde la matriz A: proyección ⟺ A² = A; simetría ⟺ A² = I con A ≠ ±I. Autoespacios: Nu(A − I) y Nu(A) o Nu(A + I).
• Preimagen por una proyección: Π⁻¹(S) = (S ∩ W) ⊕ L. Para una simetría, Σ⁻¹ = Σ.
• ED: las tres formas de y_h según las raíces, y la tabla de y_p con el factor x^s y la definición del exponente crítico.

Carilla 4 · Producto interno, fibra y cuadrados mínimos (Ej 4 y 5; en 2026, sólo el 5)

• Con ⟨x,y⟩ = yᵀA x y S = {x : nᵀx = 0}: S^⊥ = gen{w} con A·w = n (se resuelve el sistema, no se invierte A). Y entonces ⟨v,w⟩ = nᵀv y ⟨w,w⟩ = nᵀw, de donde d(v,S) = |nᵀv| / √(nᵀw).
• Con S = gen{s₁,…,s_k}: Gram G_ij = ⟨s_j, s_i⟩, b_i = ⟨v, s_i⟩, resolver G c = b, P_S(v) = Σ c_is_i. Y la nota: la fórmula término a término sólo vale si la base es ortogonal en ESE producto interno.
• Área del triángulo (vale en cualquier espacio): con u y z los dos lados desde un vértice, Área = ½·√(‖u‖²‖z‖² − ⟨u,z⟩²). Y el triángulo equilátero: Área = (√3/4)·L².
• PI por evaluación ⟨p,q⟩ = Σ p(x_i)q(x_i): traducir cada polinomio a su lista de valores y trabajar con el producto escalar canónico.
• PI de la traza ⟨A,B⟩ = traza(BᵀA) = suma de los productos entrada por entrada: es el canónico de ℝ⁴ con la matriz leída como vector (simétricas ⊥ antisimétricas). PI con derivadas en 0, p(0)q(0) + p′(0)q′(0) + c·p″(0)q″(0) = a₀b₀ + a₁b₁ + 4c·a₂b₂: con c = 1/4 es el de coeficientes, con c = 1 no.
• Fibra: P_S(x) = v ⟺ x ∈ v + S^⊥ (con v ∈ S, que hay que verificar). Distancia al subespacio: ‖w‖ = k directo. Distancia al origen: Pitágoras, ‖w‖² = k² − ‖v‖², con la discusión de los tres casos.
• Cuadrados mínimos: AᵀA x̂ = Aᵀb, siempre compatible; conjunto solución x̂₀ + Nul(A). La de norma mínima es la única que cae en fil(A) = (Nul A)^⊥. Y las matrices de momentos del ajuste, recta y parábola.
• Si A = u·vᵀ: Ax = (v·x)u ▸ la ecuación normal colapsa a v·x = (u·b)/(u·u) ▸ norma mínima = [(u·b)/((u·u)(v·v))]·v.

36 de los 213 ejercicios: 29 de las 41 primeras posiciones, y en el 1C2026 pasó al Ej 2 (5 de 6), detrás de coordenadas. Está en 35 de los 41 parciales fechados; en los otros 6 el Ej 1 es de coordenadas. Casi siempre es lo mismo: dos (a veces tres) subespacios de ℝⁿ, ℝ_n[x] o ℝ^2×2, y una pregunta sobre cómo encajan entre sí. El ejercicio se juega en dos lugares: escribir bien cada subespacio y saber en qué orden se construyen las bases.

Paso 0 · Traducir cada subespacio a una base explícita

Las cinco formas del enunciado

Forma E, la única de su tipo: la inclusión gen{u, v} ⊆ gen{u, v, w} vale siempre, así que la igualdad vale si y sólo si w ∈ gen{u, v}. Chequeás que u y v sean LI, planteás w = αu + βv y despejás el parámetro. En el 5/VIII/26, con u = a + x, v = 1 + x² y w = 1 − ax + x², sale a = 0.

Forma A · el orden de construcción es el ejercicio

El teorema que sostiene todo es el del medio: si las dos extensiones parten del mismo B₀, la unión de los tres bloques es linealmente independiente y genera S₁ + S₂. Es exactamente el conteo de Grassmann: |B₀| + |B₁| + |B₂| = dim(S₁∩S₂) + (dim S₁ − dim(S₁∩S₂)) + (dim S₂ − dim(S₁∩S₂)) = dim(S₁ + S₂).

Cuando el enunciado no nombra la intersección ("una base de V que contenga una base de S₁ y una base de S₂", que es como viene en 14 de los 17 casos, incluidos los 10 desde el 6/XI/24), la receta es la misma: la intersección hay que calcularla igual, porque si S₁ ∩ S₂ ≠ {0} las dos bases tienen que compartir una base de ella; si no la comparten, la unión es LD. Caso límite del 14/V/26: S₂ (las antisimétricas) está contenido en S₁, así que la base de S₂ entra entera en la de S₁ y la intersección es el propio S₂.

Formas B y C · el certificado que hay que escribir

Para afirmar S ⊕ T = W no alcanza con exhibir T. Hay que escribir las cuatro cosas:

1. S ⊆ W y T ⊆ W, porque si no, ni siquiera pueden sumar a W.
2. S ∩ T = {0}, y esto se prueba sobre el elemento genérico de T.
3. dim S + dim T = dim W. Con eso y (2), Grassmann cierra S + T = W.

13 de los 213: 12 veces como Ej 1 (12 de las 41 primeras posiciones) y una como Ej 2 (5/VIII/26). Hasta 2025 era la alternativa ocasional a subespacios: 7 de las 35 primeras posiciones, 6 de ellas en recuperatorios, y ninguna en los parciales de 2024 ni en los del 2C2025. En el 1C2026 cambió de estatus: está en los 6 de 6 parciales, 5 veces como Ej 1 y una como Ej 2. Y aunque no toque como ejercicio propio, el tema vive adentro del de TL, donde las matrices [T]_B₁^B₂ obligan a los mismos cambios de coordenadas.

La convención, que es todo el ejercicio

El subíndice es de dónde salgo, el superíndice es adónde llego. La frase del enunciado, "la matriz de cambio de coordenadas de la base B₁ en la base B₂", se lee de B₁ hacia B₂ y coincide con la notación. La segunda igualdad sale de que [b_j]_B₁ = e_j, así que M·e_j = columna j. Y notá que M^B₂_B₁ = [id]^B₂_B₁: es la matriz de la identidad, o sea que todo lo que sabés del Ej 2 aplica tal cual.

Cómo lo escribe la cátedra. En los enunciados las coordenadas llevan la base arriba, [v]^B, y las matrices de cambio llevan la base de partida abajo y la de llegada arriba, M_B₁^B₂. Es la misma convención de esta guía, que escribe las coordenadas con subíndice: el [v]^B₂ de la hoja es el [v]_B₂ de acá.

Las cinco variantes

Variante A, cinco pasos: declarar el orden de coordenadas (en ℝ₂[x], escribir "uso E = {1, x, x²}" en el margen) ▸ calcular [v]_B₁ resolviendo v = a·b₁ + b·b₂ + c·b₃ ▸ verificar recombinando ▸ multiplicar M·[v]_B₁ ▸ entregar el vector de coordenadas, con su nombre.

Variante B: completar B₁ si falta un vector (te dan [p]_B₁ para un p conocido justamente para eso) ▸ escribir B₂ = {w₁, w₂, w₃} como incógnitas y leer las columnas de M: b_j = M_1jw₁ + M_2jw₂ + M_3jw₃ ▸ resolver el sistema tratando los w_i como escalares ▸ verificar el determinante ≠ 0 ▸ aclarar que B₂ es única dados B₁ y M.

Variante A′ (hacia atrás): la fórmula es la misma, [v]_B₂ = M·[v]_B₁, pero la incógnita está del otro lado: resolvés el sistema M·z = [v]_B₂ (no hace falta invertir M) y, si piden el vector, lo armás con B₁: v = z₁b₁ + z₂b₂ + z₃b₃. B₂ no aparece nunca. En el 16/7/25 sale [v]_B₁ = [3 0 −2]ᵀ; en el 15/VII/26, x = [3 −1 2]ᵀ.

Variante C (desde coordenadas, sin M): cada dato [q]_B = (c₁, c₂, c₃) es literalmente la ecuación q = c₁b₁ + c₂b₂ + c₃b₃. Pasando al otro lado los vectores conocidos de la base, quedan ecuaciones lineales en los vectores incógnita, que se resuelven tratándolos como escalares (igual que en la variante B). En el 6/8/25 las dos ecuaciones dan −p + q y p + q; sumando y restando salen p = −1 + 3x + 2x² y q = 1 − 4x − x².

Variante D (mismas coordenadas): con M = M^C_B, la condición [p]_C = [p]_B es M·z = z con z = [p]_B, o sea (M − I)·z = 0: un sistema homogéneo, y la respuesta es un subespacio (Nul(M − I) traducido con la base B). Si no te dan M, la armás: la columna j es [b_j]_C. En el 13/V/26 (14 hs) sale gen{2x² − x + 1}; en el 5/VIII/26, los polinomios constantes.

44 de los 213 ejercicios y 30 de las 41 segundas posiciones; en el 1C2026 pasó al Ej 3 (5 de 6). Está en 40 de los 41 parciales fechados: es el tipo más seguro de todo el parcial. Y casi siempre viene igual: te dan T : V → W definida por su matriz entre dos bases, más las dos bases explícitas (43 de los 44; la excepción, el 21/5/25 (14 hs), da las imágenes de una base). Nunca te dan una fórmula de T. Todo el ejercicio es traducir entre "vector del espacio" y "vector de coordenadas".

El diagrama, que hay que dibujar en la hoja antes de la primera cuenta

La matriz come coordenadas en B y escupe coordenadas en C. Nunca come vectores y nunca escupe vectores. Los pasos (1) y (3) son los que se saltea todo el mundo. Para la preimagen el diagrama se recorre al revés y el "×A" se convierte en "resolver el sistema A z = [w]_C".

La convención de la cátedra: en los 43 casos con matriz, sin una excepción

Paso 0 · treinta segundos que evitan el 80 % de los ceros

1. Identificar quién es el dominio mirando "T : V → W" en el enunciado.
2. Leer la matriz con la convención, y validarla con el control de filas/columnas.
3. Calcular el rango a ojo. Buscá filas repetidas o que sean suma de otras.

Las cinco variantes, con su procedimiento

Los tres lugares donde se cae la gente, con casos reales

Matrices y bases que se reciclan entre fechas

Si sabés una, sabés tres. Vale la pena practicar sobre éstas:

• [[1,2,1],[−2,4,6],[4,1,−3]] con B = {(1,−2,2),(2,2,1),(−2,1,2)}: el 31/VII/24 pide núcleo, el 16/V/24 pide preimagen. Misma matriz, misma base, distinta pregunta.
• [[1,2,1],[−2,4,6],[1,3,2]]: 10/VII/24 y 6/XI/24 (9 hs), las dos T : ℝ₂[x] → ℝ³ y las dos piden el núcleo, con otra base de ℝ₂[x].
• [[1,1,1],[2,0,−2],[2,1,0]]: 28/X/23, 5/VII/23, 20/V/23 y el Ej 3 del 6/XI/24 (9 hs).
• [[1,0,1],[0,1,1],[1,0,1]]: 16/V/24, 10/VI/23 y 13/VII/22.
• [[1,0,1,1],[0,1,1,−1],[1,1,2,0]] con B₂ = {(1,1,1),(1,1,0),(1,−1,1)}: 7/VIII/24 y 15/V/24.
• [[1,2,1],[0,3,1],[2,1,1]]: 13/V/26 (9 hs) en ℝ₂[x] y 8/VII/26 en ℝ³, con bases que se corresponden y el mismo dato. Es el mismo ejercicio en dos espacios.
• Las bases B₁ = {[1 1 1]ᵀ, [1 0 1]ᵀ, [1 1 0]ᵀ} y B₂ = {x² + x, x − 1, x + 1}: 16/7/25 y 6/8/25, con otra matriz y otra pregunta. Y B₂ = {[1 1 1]ᵀ, [1 2 1]ᵀ, [2 1 1]ᵀ} en los dos turnos del 22/5/25, con matrices que difieren en una sola entrada.
• Las bases ortogonales "de norma 3" {(−1,2,2),(2,−1,2),(2,2,−1)}, {(1,−2,2),(2,2,1),(−2,1,2)} y {(1,2,2),(2,1,−2),(2,−2,1)}, que aparecen en siete parciales.

36 de los 213: 27 veces como Ej 3, 4 como Ej 2 y 5 como Ej 4 (las cinco del 1C2026, donde bajó un lugar). Está en 36 de los 41 parciales fechados. Siempre en ℝ³, y siempre con la misma estructura de fondo: un plano W por el origen y una recta L = gen{d} con ℝ³ = W ⊕ L. La suma es directa pero no necesariamente ortogonal: por eso se llama proyección o simetría oblicua.

En la base natural B = {w₁, w₂, d} (dos vectores del plano más el generador de la recta), la matriz es diagonal: [Π]_B = diag(1,1,0) (el plano queda fijo, la recta se aplasta) y [Σ]_B = diag(1,1,−1) (el plano queda fijo, la recta se da vuelta). Todo el ejercicio, en cualquier variante, es leer o reconstruir ese par (W, L).

Las dos familias

Familia A · la fórmula única

De dónde sale: todo x se escribe de forma única como x = w + γ·d con w ∈ W; aplicás f, usás que f(w) = 0 y la linealidad, y queda f(x) = γ·f(d). Primer paso obligatorio: evaluar f(d) y comprobar que da ≠ 0. Si diera 0, d estaría en el plano y la transformación ni existiría. Ese número es además el denominador de todas las cuentas que vienen.

Familia B · reconstruir el par (W, L)

Qué te pueden pedir, y qué pasa con la dimensión

40 de los 213: 22 de las 41 cuartas posiciones y 15 de las 41 quintas (en el 1C2026 es siempre el Ej 5). Está en 33 de los 41 parciales fechados. Te dan un espacio euclídeo (V, ⟨·,·⟩) con un producto interno explícito y casi nunca canónico, un subespacio S y un vector v. Y lo que te piden, con distintos envoltorios, es casi siempre lo mismo: proyectar sobre S o calcular S^⊥.

Paso 1 · escribir el producto interno en forma utilizable

Paso 2 · elegir la ruta según cómo viene S

Ruta S^⊥ (S dado por una ecuación: 14 de los 40, más el de equidistancia entre dos subespacios; es la más rápida). Con S = {x ∈ ℝⁿ : nᵀx = 0} y ⟨x,y⟩ = yᵀA x:

La primera igualdad sale de que w ∈ S^⊥ ⟺ sᵀA w = 0 para todo s ∈ S ⟺ A·w es canónicamente ortogonal a S ⟺ A·w ∈ gen{n}. Fijate el regalo: el numerador es la ecuación de S evaluada en v. Si además piden la proyección, P_S(v) = v − (⟨v,w⟩/⟨w,w⟩)·w; y si piden la matriz en base canónica, P_S^⊥ = (1/(nᵀw))·w·nᵀ y P_S = I − P_S^⊥.

Y si S viene por generadores pero es un hiperplano (tres generadores LI en ℝ^2×2 o en ℝ⁴), también conviene esta ruta: S^⊥ tiene dimensión 1, así que buscás su generador n imponiendo ⟨s_i, n⟩ = 0 para los tres generadores, y d(v,S) = |⟨v,n⟩| / ‖n‖. Es un sistema homogéneo de 3×4 en vez de una Gram de 3×3. Pasa en 5 de los 40 (22/5/25 (14 hs), 21/5/25 (14 hs), 7/7/25, 16/7/25 y 6/8/25), y los últimos tres usan el mismo S.

Ruta Gram (S dado por generadores: 20 de los 40; en 4 ni siquiera hay un subespacio sobre el que proyectar, porque piden una norma, un área o una mediatriz, y el 5/VIII/26 da S por ecuaciones que dejan un solo generador). Con base {s₁,…,s_k} de S: armás (G_S)_ij = ⟨s_j, s_i⟩ y b_i = ⟨v, s_i⟩ (todo con el PI del enunciado), resolvés G_S·c = b, y P_S(v) = c₁s₁ + … + c_ks_k. Si la base ya es ortogonal en ese PI (chequealo primero, es una cuenta), G_S es diagonal y se parte en términos independientes: P_S(v) = Σ (⟨v,s_i⟩/⟨s_i,s_i⟩)·s_i. Ojo: en estos parciales los generadores no suelen venir ortogonales. Lo son en 6 de los 16 ejercicios fechados que dan S con dos o más generadores (20/V/23, 5/VII/23, 18/XI/23, 15/V/24, 6/XI/24 (14 hs) y 18/XII/24) y en ninguno de los 7 de 2025, así que el chequeo va siempre antes de elegir la fórmula.

Las variantes que parecen otra cosa

Equidistantes a dos puntos P y Q: ‖x−P‖² = ‖x−Q‖². Al desarrollar se cancelan los ‖x‖² y queda una ecuación lineal: 2⟨x, Q−P⟩ = ‖Q‖² − ‖P‖². Es el hiperplano mediatriz, perpendicular a Q−P en el sentido del PI dado. Equidistantes a dos subespacios de la misma dimensión: calculás las dos distancias por la ruta S^⊥ y las igualás; como hay valores absolutos salen dos planos bisectores.

"Hallar v₁ ∈ S y v₂ ∈ S^⊥ con v₁ + v₂ = v": es la descomposición ortogonal, v₁ = P_S(v) y v₂ = v − v₁. Es única porque V = S ⊕ S^⊥.

Las trampas, con el número que cambia en cada una

Los dos ocupan el mismo lugar del examen y son la misma estructura algebraica: solución particular más subespacio. La fibra de la proyección son 23 de los 213 (12 como Ej 5 y 11 como Ej 4) y cuadrados mínimos 17 (14 como Ej 5). Se fueron alternando: mínimos estuvo en los 5 parciales de 2022 y en los 5 del 2C2024, y en ninguno desde el 12/II/25 (17 seguidos); la fibra estuvo en 21 de los 29 parciales que van de 2023 al 2C2025. En el 1C2026 no apareció ninguno de los dos: el último ejercicio fue producto interno en los 6. La sección 1 explica por qué igual conviene prepararlos.

Parte 1 · La fibra de la proyección ortogonal

Te dan (V, ⟨·,·⟩), un subespacio S, la proyección ortogonal P_S, un vector v, y casi siempre un número k. Piden todos los x con P_S(x) = v, recortados por una condición de distancia.

El procedimiento, siete pasos: fijar el PI ▸ escribir S con base explícita ▸ verificar v ∈ S ▸ calcular S^⊥ ▸ parametrizar x = v + t·n ▸ traducir la condición de distancia ▸ despejar t con los dos signos.

Parte 2 · Cuadrados mínimos

Esa ecuación normal es siempre compatible, tenga o no solución el sistema original, porque Aᵀb ∈ col(Aᵀ) = col(AᵀA). Su conjunto solución es x̂₀ + Nul(A): única si las columnas de A son LI, infinitas si no.

Los 213 ejercicios de los 43 parciales relevados, transcriptos verbatim y resueltos. Salen de dos fuentes: 103 son de los 21 parciales que esta guía reunió primero (de 2021 a 2024, más dos sin fecha) y 110 son de los 22 parciales de la compilación «Ejercicios Primer Parcial» que la cátedra publicó en el campus el 14/9/2026, que va del 6/XI/24 al 5/VIII/26 y cubre cuatro cuatrimestres (2C2024, 1C2025, 2C2025 y 1C2026). Los 110 nuevos se resolvieron, se verificaron con sympy y se revisaron resolviéndolos de nuevo a ciegas. Cada ejercicio lleva su referencia, fecha del examen y número de ejercicio, para que puedas reconstruir cualquier fecha completa. Están agrupados por tipo, no por examen: el objetivo es que hagas seis seguidos del mismo tipo y le agarres el mecanismo, no que simules una fecha (para eso está la sección 10).

Cinco problemas nuevos, que no están en ninguna fecha real, armados con el esqueleto ABECD: subespacios en el 1, transformación lineal en el 2, proyección en el 3, producto interno en el 4 y fibra de la proyección en el 5. Es el esqueleto del último segundo cuatrimestre (3 de los 4 parciales del 2C2025). Si tu parcial viene con el orden del 1C2026 (FABEC), el Ej 1 de este simulacro pasa a ser tu Ej 2, la fibra no está y te falta un ejercicio de coordenadas: sumale uno de los 13 del bloque F del banco (sección 9) y dejá la fibra como extra. Los números están elegidos como los elige la cátedra: enteros chicos, matrices de rango deficiente, resultados que cierran. Todas las cuentas fueron verificadas con sympy.

ÁLGEBRA II (61.08 / 81.02) · ÁLGEBRA LINEAL (CB002)
Primer parcial · Duración: 3 horas.

Apellido y Nombres: ........................  Legajo: ..........  Curso: ..........

1. En ℝ₃[x] se consideran los subespacios S₁ y S₂ definidos por
      S₁ = {p ∈ ℝ₃[x] : p(0) = p(2) = 0},
      S₂ = {p ∈ ℝ₃[x] : p(2) = p(−2) = 0}.
   Hallar una base de ℝ₃[x] que contenga una base de S₁ ∩ S₂ y una base de S₁ + S₂.

2. Sea T : ℝ³ → ℝ³ la transformación lineal definida por
      [T]_B^E = [[1,0,1],[2,1,3],[1,1,2]],
   donde E es la base canónica de ℝ³ y B es la base de ℝ³ definida por
      B = { [1 −2 2]ᵀ, [2 2 1]ᵀ, [−2 1 2]ᵀ }.
   Hallar la preimagen por T del vector v = [2 5 3]ᵀ.

3. Sea Π la proyección de ℝ³ sobre el plano {x ∈ ℝ³ : x₁ + 2x₂ − x₃ = 0} en la
   dirección de la recta generada por [1 1 0]ᵀ. Hallar la imagen por Π del
   subespacio U = {x ∈ ℝ³ : x₁ − x₂ + x₃ = 0}.

4. Se considera el espacio euclídeo (ℝ³, ⟨·,·⟩) con el producto interno definido por
      ⟨x,y⟩ = yᵀ [[2,1,0],[1,2,0],[0,0,1]] x.
   Calcular la distancia del vector [1 1 3]ᵀ al subespacio S = {x ∈ ℝ³ : x₁ + x₂ + x₃ = 0}.

5. En ℝ³ con el producto interno canónico se considera el subespacio
      S = {x ∈ ℝ³ : x₁ − 2x₂ + 2x₃ = 0}.
   Sea P_S : ℝ³ → ℝ³ la proyección ortogonal de ℝ³ sobre S. Hallar todos los x ∈ ℝ³
   tales que P_S(x) = [2 2 1]ᵀ cuya distancia al origen sea igual a 3√2.